两类曲面积分的关系及其应用

1、两类曲面积分的关系及其应用两类曲面积分的关系及其应用 学生姓名：陶其亮学生姓名：陶其亮 学号：学号：2011105412620111054126 所在院系：数学与统计学院所在院系：数学与统计学院 专业：数学与应用数学专业：数学与应用数学 指导教师：李艳梅老师指导教师：李艳梅老师 目录目录 摘要摘要.3 关键词关键词.3 ABSTRACTABSTRACT.3 KEYKEY WORDSWORDS.3 前言.4 1预备知识.4 1.1 两类曲面积分的定义与相关性质.4 （1）第一型曲面积分的定义.4 （2）第二型曲面积分的定义.4 （3）两类曲面积分的相关性质.5 1.2 两类曲面积分的关系.5 2

2、两类曲面积分关系的应用.5 2.1 将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分 .5 2.2 将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分 .10 3.小结.11 参考文献.11 致谢.12 两类曲面积分的关系及其应用两类曲面积分的关系及其应用 摘要：摘要：本文讨论了两类曲面积分的关系并给出了其应用. 关键词：关键词：曲面，侧，第一型曲面积分，第二型曲面积分 The relationship between the two kinds of surface integrals and its application Abstract：In this paper, the relationship b

3、etween the two kinds of surface integrals are discussed and the applications are given. Key words：The curved surface; side; the first type of surface integral; the second type of surface integral 0.0. 前言前言 在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题1 1.若空间区域 是V 由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，函数在上具有一阶的连续偏导数，则可S,P Q RV 以利用高斯公式计算第

4、二型曲面积分2 2.若曲面 在面上的投影为一条线，且被积函数Sxoy 及它们的一阶偏导数不连续的情况下，则通常用直接投影法来处理3 3.当曲面的方 ,P Q R 程由参数形式给出时，可以用参数形式计算4-7 4-7.当然第二型曲面积分还可以利用 stokes 公 式化为第二型曲线积分来计算5 566.如果在上述方法都无法解决的情况下，我们可以考虑利 用两类曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分8 8.下面将探讨两类曲面积分的关系以及这 种关系的应用. 1 1预备知识预备知识 1.11.1 两类曲面积分的两类曲面积分的定义定义与相关性质与相关性质 （1）第一型曲面积分的定义 定义定义 19 9 设

5、是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数.对曲面S, ,f x y zS 作分割，它把分成个小曲面块，以记小曲面块的面积，STSn i S1,2,in i S i S 分割的细度的直径.在上任取一点，若极限T 1 max i n T i S i S, iii 1,2,in 0 1 lim, n iiii T i fS 存在，且与分割及的取法无关，则称此极限为在T, iii 1,2,in, ,f x y z 上的第一型曲面积分，记作S ., , S f x y z dS （2）第二型曲面积分的定义 定义定义 29 9 设 为定义在双侧曲面上的函数.在所指定的一侧作分割，它把,P Q RSST 分

6、为个小曲面，分割的细度的直径，以Sn 12 , n S SST 1 max i n T i S 分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向, yzzxxy iii SSS i S i S 来确定.若的法线正向与轴正向成锐角时，在平面的投影区域的面积为正. i Sz i Sxy xy i S 反之，若法线正向与轴正向成钝角时，它在平面的投影区域的面积为负.在各 i Szxy xy i S 个小曲面上任取一点.若 i S, iii 000 111 lim,lim,lim, yzzxxy nnn iiiiiiiiiiii TTT iii PSQSRS 存在，且与曲面的分割和在上的取法

7、无关，则称此极限为函数ST, iii i S 在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作,P Q RS ., , , , S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy （3）曲面积分的相关性质 ()若积分曲面关于具有轮换对称性，则S, ,x y z ., , , , SSS f x y z dydzfy z x dzdxf z x y dxdy () 99设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数，,在上VSPQRV 连续，且有一阶连续偏导数，则 V PQR dxdydz xyz =， S PdydzQdzdxRdxdy A 其中取外侧. S 1.21.2

8、 曲面积分的关系曲面积分的关系 定理定理 19 9： ：设曲面为光滑曲面，正侧的法向量为，Scos ,cos,cos ，在上连续，则有, ,P x y z, ,Q x y z, ,R x y zS , , , , S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy =.(, ,cos, ,cos, ,cos ) S P x y zQ x y zR x y zdS 推论 设光滑曲面的方程为，而，S, ,0F x y z , ,P x y z, ,Q x y z 在上连续，则, ,R x y zS S PdydzQdzdxRdxdy =. 222222222 y xz S

9、 xyzxyzxyz F FF PQRdS FFFFFFFFF 定理定理 2 29 9： ：设是定义在光滑曲面：，上的连续函数，,P Q RS,zz x y, x yD 以的上侧为正侧，则S =, , , , S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy . 222222 1 , , , , 111 y x S xyxyxy z z P x y zQ x y zR x y zdS zzzzzz 2 2两类曲面积分关系的应用两类曲面积分关系的应用 2.12.1 将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分 例 1 把对坐标的曲面

10、积分 , , , , S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 化为对面积的曲面积分，其中： （1）是平面在第一卦限的部分的上侧；S322 36xyz （2）是抛物面在面上方的部分的上侧.S 22 8zxyxOy 解 （1）平面上侧的法向量为，其方向余弦为 3,2,2 3n ，于是 3 cos 5 2 cos 5 2 cos3 5 coscoscos SS PdydzQdzdxRdxdyPQRdS = 322 3 555 S PQR dS （2）因是抛物面在面上方的部分的上侧，所以其法线向量应S 22 8zxyxOy 取为，其方向余弦为2 ,2 ,1nxy

11、， 22 2 cos 144 x xy 22 2 cos 144 y xy 22 1 cos 144xy 于是 , , , , S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy =coscoscos S PQRdS = 22 22 144 S xPyQR dS xy 例 2 计算 ，为, ,2, , , S If x y zx dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdy S 平面在第象限部分的上侧,其中为上的连续函数.1xyz, ,f x y zS 解 由于是抽象函数，所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算；又, ,f x y z 因为函数是

12、连续函数，不一定有一阶连续偏导数，所以也不能应用高斯公式，, ,f x y z 因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算. 平面的法向量，则1xyz1, 1,1n ，. 3 coscos 3 3 cos 3 111 , ,2, , , 333 S If x y zxf x y zyf x y zzdS = 1 3 S xyz dS = 1 3 S dS = 1 3 3 D dxdy =. 1 2 例 3 计算曲面积分，其中 222 22 S xyz dydzz dxdy 2 , ,Sx y z zx ，取上侧. 2, 0,1yz 解 如果直接计算，需要把分别投影到和平面上，且积分Syozxoy 需

13、要分前侧与后侧，现在利用两类曲面积分的关系，先转化为第 22 22 S xyz dydz 一型曲面积分，再统一计算二重积分. ，2 x zx2 y zy =I 222 2222 1 22 11 x S xyxy z xyzzdS zzzz = 2 222222 222 D xyxyxxydxdy = 2 2222 32 D xyxxydxdy = 1 24 32 cos D rrrrdrd = 1 45 6cos D rrdrd = 21 45 00 6cosdrrdr =. 3 例 4 计算出积分，其中 22222222 S xyxz dydzxzdzdxzyxz dxdy 为圆锥面介于，取

14、外侧.S 222 xzy0yh 解 的方程为，选取外侧，则， .S 22 yxz 22 x x y xz 22 z z y xz 令,. 222 Pxyxz 22 Qxz 222 Rzyxz 原式= 222222 1 111 xz S xzxzxz yy PQRdS yyyyyy = 222222 xz D x xzyxzz xzydxdz = 2 222222 D xzxzxzdxdz = 1 222 D rrrrdrd = 2 53 00 h drrdr =. 64 32 hh 例 5 计算曲面积分，其中 2222 11 xyxy S yexy dydzxexy dzdxzdxdy 是旋转

15、抛物面介于平面及之间的部分的下侧.S 22 1 2 zxy0z 2z 解 ，,令 22 1 2 zxy x zx y zy ，. 22 1 xy Pyexy 22 1 xy Qxexy Rz 原式= 2222 11 y x S xyxy z z PQR dS zzzz = 222222 1 11 2 xyxy D yexyxxexyyxydxdy = 22 1 2 D xydxdy = 1 2 1 2 D rrdrd = 22 3 00 1 2 dr dr =.4 例 6 计算 ， 222 S Ix dydzy dzdxz dxdy 其中 1）是顶点为，的三角形的下侧.S1,0,00,1,00

16、,0,1 2）是的外侧.S 2222 xyzR 解 1）因曲面的方程为或，关于为轮换对称，S1xyz1zxy , ,x y z 有 . 222 SSS x dydzy dzdxz dxdy 由对称性，只需计算 ， 22 1 cos SS Iz dxdyzdS 由于取的是的下侧，所以法向量为.S1, 1, 1n 在平面上的投影为Sxy ，,0,0,1Dx y xyxy 于是有 2 1 1 D Ixydxdy = 11 2 00 1 x dxxydy =， 1 3 0 11 1 312 xdx . 1 1 3 4 II 2) 外侧的单位法向量为S ，cos ,cos,cos, xyz n R R

17、R 得 ， 3 22 cos0 SSS x x dydzxdSdS R ， 3 22 cos0 SSS y y dzdxydSdS R . 3 22 cos0 SSS z z dxdyzdSdS R 这是因为的方程中换为形式不变，而被积函数将换为要变号，于是有Sxx 3 x R xx . 3 0 S x dS R 同理其余两个积分为零，最后得.0I 2.22.2 将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分 利用第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的关系，可以把第一类曲面积分转化为第 二类曲面积分计算，即 =,coscoscos S PQRds S Pdydz

18、QdzdxRdxdy 其中，和是有向曲面处于点处的法向量的方向余弦.coscoscosS, ,x y z 例 7 求，其中为上半球面取下侧. 3 S z dS S 222 10 xyzz 解 将第一型曲面积分化为第二型曲面积分，表示上半球面的下侧，这时法线与S 轴成钝角，,故zcosz =. 3 S z dS 2 S z dxdy 22 22 1 1 xy xydxdy 21 2 00 1drrdr 2 例 8 计算，其中曲面为. 22 222 44 S xy dS xyz S 222 222xyz 解 将所围成的空间闭区域记为.SV 令 ， 222 , ,222F x y zxyz 则选取在任一点处的外法向量为S, ,x y z ，,2 ,4 ,4 xyz F F Fxyz 将其单位化为 222 1 cos ,cos,cos,2 ,2 44 xyz xyz 而此时 2 222 44 S x dS xyz =cos S xdS = S xdydz = V dxdydz =， 4 2 3 2 222 44 S y dS xyz = 1 cos 2 S ydS = 1 2 S ydzdx = 1 2 V dxdydz =, 2 2 3 故有 . 22 222 2 2 44 S xy dS xyz 3.3.小