向量范数与矩阵范数的相容性.ppt

1、,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉 空 间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉(正交)变换与正交投影,向量范数与矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；,3, 理解

2、正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；,在矩阵范数中,相容性 尤为重要，那么 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？,若 是 上的矩阵范数， 是 上的向量范数，由于 仍是 上的向量， 所以：,设 是 上的矩阵范数， 是 上的向量范数。如果对任意的 都有： 则称矩阵范数 与向量范数 是相容的,例1 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。,证明：设 ，,例2 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。,证明：设 ，,|A|F 与 |x|2 相容的性质反映了 |A|F 是像 A

3、x 的2-范数 |Ax|2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即,因此，可以用|A|F来刻画变换A 的结果。,对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵范数？,任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？,给定 上的向量范数 ， 定义,则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，称 为由向量范数 导出的算子范数或从属于向量范数 的矩阵范数,从属于向量范数的矩阵范数,定理1,定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实值函数是一种矩阵范数，它与已给的向量范数是相容的。,证明 (1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax0 ，从而有,即|A|满足正定性；另外，显然|A|=0当且仅当A

4、=0。,(2) 对任意的常数kC，,即|A|满足齐次性。,(3) 对任意的方阵A，BCnn，,即|A|满足三角不等式。,(4) 对任意的方阵A，BCnn，,即|A|满足相容性。,再证|A|与| x |v的相容性。,由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不同的计算公式。,定理2: 设 是 上的向量范数,则,(1),证(1),(2) 显然,由(1)可知，,故有，,例3 证明由n维向量的1-范数， -范数和2-范数所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)nn),列模和之最大者：列和范数,为从属于向量2-范数的矩阵范数，也称谱范数。,为A的最大正奇异值。,(3),行模和之最大者：行和范数,证明 (

5、1) 设A的各列向量为i，即,则 ，且有 ，于是,另外，设 ，并取单位向量,且,即有,即|Ax|1在单位球面 x | |x|1=1 上的极大值点为ek，,(2) 假设i=k时， 取得最大值，即,则对于满足|x|=1的任意n维向量x，有,取x0的第j个分量xj为,则有|x0|=1， 且Ax0的第k个分量为,设与之对应的标准正交特征向量为 ，即有,(3) 任取 ，且 | x |2=1，则,作酉阵 ，则有AHA=UHDU，其中,令 ，则,由于AHA为Hermite阵且正定，故可设AHA的特征值为,从而有,故得,即 ，从而证得,因为 ，所以,又由x的任意性可得,若取 x=u1 ，则显然有,设 是定义在

6、 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容的向量范数,证明：用构造法证明。取定 ,则 就是 上与 相容的向量范数。 首先, 证明 是 上的范数：,与矩阵范数相容的向量范数的存在性,三角不等式,3, 正定性,2, 绝对齐性,再证 与 的相容性,由矩阵范数定义中的第4条,定理3 设A为n阶方阵，则,证明 (1) 由于,而|A|2为|Ax|2在|x|2=1上的最大值，因此，存在x0，使得,取,故,(2) 因为,又由于,且对任意,存在,故,又由于,故有,(3) 由矩阵范数定义和(2)，有,故有,(4) 由(2)和(3)，可得,故有,矩阵ACnn的谱半径(A)是,是A的特征值,证明 设为矩阵A的一个特征值，相应的特征向量 为x0，则,定理4 如果| |是任意的矩阵范数，且ACnn，则,若