平行四边形三角形和梯形的面积公式教学研究

1、平行四边形、三角形和梯形面积公式的教学研究校本教研活动(2)在本周的活动计划中，笔者主要阐述了两个方面：一是讲授平行四边形、三角形和梯形面积公式的总体思路；二是如何教平行四边形面积公式。本课程主要讲授三角形和梯形面积公式。一.活动目标1.体验阅读、思考和回答，并与同伴交流三角形和梯形面积计算公式教学的相关信息和问题。2.有什么不同的方法可以用来推导三角形和梯形的面积公式？3.理解三角形和梯形面积计算公式教学的不同思路。二、活动内容、形式和时间1.数学组的每位老师独立回答三角形和梯形面积计算公式教学的相关问题，不集中。每个老师花大约两个小时的时间用书面形式回答问题。2.与同事独立交流问题的答案，

2、时间约1小时；3.教研组确定一个人将有一个(或两个)三角形(或梯形)面积公式的教研班，数学组的其他老师将参加该班。时间大约是40分钟；4.评估和沟通。(1)结合课堂讲稿，独立写大约15分钟的课堂评价提纲；(2)数学组的所有老师都进行了一次课堂评价交流，大约持续45分钟。(如果一个年级有两个或两个以上的数学教师，可以在独立编写教学大纲的基础上与年级组的数学教师交流，并确定一人代表年级组在全体数学教师交流会议上发言。最后，所有的数学老师都进行评估和交流。(根据学校教研活动的时间和教研组教师的情况，可以回答和交流以下“活动前准备”中的一些问题。三.活动前的准备回答以下问题，准备交流。(注：以下*表示

3、问题很难解决。(a)法院1.根据你们学校使用的这套教材，在学生学习三角形面积计算公式之前，哪些经验、知识和能力与三角形面积计算公式的推导密切相关？2.在三角形面积公式课之前，老师要准备一些白纸做的三角形学习工具，让学生在课堂上操作。你认为：(1)我们应该给学生准备三种不同类型的三角形，即分别准备几个锐角、直角和钝角，还是只准备一种锐角？为什么？(2)是应该给学生准备一些空白纸三角形，还是应该在纸三角形上标出一组底部和高度长度？为什么？(3)如果你想标记一组底部和高度的长度，哪些数据是合适的？就数据的奇偶性而言，选择偶数还是奇数作为底部和顶部的长度合适吗？它是奇数还是偶数并不重要。为什么？(4)

4、我们是否应该准备一些有网格背景的三角形(即在网格纸上画三角形)？原因是什么？会不会有一些学生找不到空白三角形的面积，但在网格背景下，他们可以找到三角形的面积？如果有这样的学生，根据你的经验，这些学生占全班的百分比是多少？3.*查看不同版本的教材，教学三角形区域，哪些版本的教材给出网格背景？哪些版本的教科书给出了带有一组底部和高度数据的三角形？这些数字是奇数还是偶数？想一想，写一写。通过比较，你发现了什么？你认为什么操作材料适合学生在三角形区域课前准备？为什么？4.如果你在正方形纸上画一个三角形，并标出三角形底部的长度和底部的高度，让学生找出三角形的面积。(1)学生可以有什么方法？(2)阅读下面

5、的每个变换过程，和第一种变换方法一样，请根据图表写出相应的三角形面积计算公式。问题：如下图所示，三角形的面积是多少？第一种转换方法的图形表示：计算三角形的面积：三角形面积=矩形面积=6(42)=底部(高度2)=基础高度2第二种转换方法的图形表示：第三种转换方法的说明：第四种转换方法示意图：这种变换方法是把这个三角形的面积变换成两个矩形的面积。也就是说，沿着三角形水平对折中线，然后向左或向右折叠左右三角形。这样就得到一个矩形，三角形的面积是矩形的两倍。第五种变换方法的图形表示：在三角形的底边画出高度，并与整个矩形相连，就可以知道三角形(1)的面积等于三角形(2)的面积，三角形(3)的面积等于三角

6、形(4)的面积。5.在上面的问题中有五种不同的方法来计算三角形的面积公式。如果在教学中要引导学生理解推导过程，虽然这些方法不同，但教师在引导学生理解时有什么相似之处呢？想想看，以下指导过程对教授这些方法来说是常见的吗？(1)为学生准备一些所需的区域图形，并将变换前后的两幅图形呈现给学生观察，不要因为剪切和拼写而呈现原始图形；学生可以在展示之前想象原始图形。(2)引导学生观察和比较两个图形变换前后的面积是否有变化；(3)为了指导学生观察和分析，需要知道变换后的图形区域需要哪些线段，这些线段的长度是否已知；(4)如何从变换图的面积计算公式中得到三角形的面积计算公式；(5)虽然变换过程不同，计算公式

7、也不同，包括三角形面积等于底部(高度2)和三角形面积等于底部(高度2)，但它们都可以统一为三角形面积等于底部高度2的公式。6.众所周知，三角形的面积计算公式可以用两个相同的三角形组成一个平行四边形来推导。这种解决问题的方法在学习平行四边形面积公式时没有被学生所触及。这是第一次用这种方法来计算平面图形的面积。该方法为寻找梯形面积公式奠定了方法论基础。(1)你认为我们如何引导更多的学生思考用两个相同的三角形组成平行四边形的推导方法？(2)有些人认为，在学习矩形和平行四边形的概念时，要求学生弄清楚一个矩形可以被切成两个相同的直角三角形，一个平行四边形可以被切成两个相同的锐角三角形或两个相同的钝角三角

8、形。相反，两个相同的三角形可以组合成一个平行四边形(包括一个矩形)。在概念教学中，让学生进行这样的运算活动，会使更多的学生在计算三角形面积时想到用两个三角形组成一个平行四边形的求导方法。你同意这个观点吗？为什么？人们还认为，在学习三角形面积计算公式的课程开始时，让学生进行上述运算，如切割和拼写，也可以让更多的学生想到这种推导方法。如果我们称前者为远寝具，后者为近寝具，你喜欢远寝具还是近寝具？为什么？(3)推导三角形面积计算公式有两种教学思路：第一种思路是将平行四边形分成两个相同的三角形，根据平行四边形面积等于底部乘以高度，三角形面积等于底部乘以高度除以2；第二种思想是用两个相同的三角形组成一个

9、平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式得到三角形的面积计算公式；你认为这两个推导过程是一样的吗？如果存在差异，主要的差异是什么？7.推导三角形面积计算公式的方法有很多。如果按照“独立思考-小组交流-课堂报告”的顺序进行教学，你认为学生报告时有必要特别注意一种或几种推导方法(如两个相同的三角形拼接成平行四边形的方法)吗？还是每种方法只要求学生理解，而不要求学生自己推导？为什么？8.在推导三角形面积计算公式时，能否先解决直角三角形面积的计算问题，然后通过将锐角三角形和钝角三角形转化为直角三角形来计算面积，再总结出三角形面积的计算公式？想想看，如果三角形区域是根据这个想法设计的，那么教学过程是什么

10、？下面的教学过程能体现上述设计思想吗？(1)开门见山，揭示今天研究的主题：三角形区域。矩形和平行四边形都有自己的面积计算公式，即只要知道矩形和平行四边形中几条线段的长度，就可以计算它们的面积。有计算三角形面积的公式吗？今天我们将在这个班一起学习。(2)什么样的三角形可以分成？想想看，什么样的三角形区域可能容易找到？用下图引导学生学习直角三角形的面积。(3)在下面的网格中，如果一个小正方形的边长是1厘米，下图中两个直角三角形的面积是多少？如果你想知道矩形和平行四边形等图形中几条线段的长度，并计算面积，那么当你计算直角三角形的面积时，你应该知道(测量)哪些线段的长度？公式是什么？在求第(1)个直角

11、三角形的面积时，引导学生用不同的方法来求它的面积：计算正方形，这个直角三角形的面积是8平方厘米；通过切割和拼写得到一个24的矩形，其面积为24=8平方厘米；取这个直角三角形的三个顶点作为一个矩形的三个顶点，然后确定这个矩形的第四个顶点，得到一个44的矩形(正方形)。这个直角三角形的面积是这个矩形的一半，也就是说，442=8平方厘米。然后得出结论，直角三角形的面积等于底部高度2。然后让学生用公式求出(第二个)直角三角形的面积，并用其他方法验证用公式求面积的正确性。最后，要求学生找到第三个直角三角形的面积。直角三角形的面积=底部高度2，那么计算其他类型三角形面积的公式是什么？进一步推测：锐角(或钝

12、角)三角形面积=底部高度2。(4)展示下图，让学生自己研究锐角三角形的面积；学生求这两个三角形的面积有不同的方法，其中要注意引导学生通过做高把一个锐角三角形转化为两个直角三角形，并通过求直角三角形的面积来求锐角三角形的面积。最后得出结论，锐角三角形的面积=底部高度2。(5)展示下图，让学生学习钝角三角形的面积。就像求一个锐角三角形的面积一样，引导学生转化成直角三角形来求一个钝角三角形的面积。当计算两个钝角三角形(2)和(3)的面积时，根据已知的不同底部和高度有许多方法来计算面积。如果与钝角相对的边的长度(作为底部)是已知的，并且其相应的高度是高的，那么计算图(2)或(3)的面积的方法与图(1)

13、的方法相同。如果你知道面对锐角的边的长度(作为底部)和它相应的高度，你可以从一个大的直角三角形面积中减去一个小的直角三角形面积，得到一个钝角三角形的面积。最后，得出钝角三角形的面积=底高2。因此，得到了计算三角形面积的一般公式。(二)乙9.根据你们学校使用的这套教材，在学生学习梯形面积计算公式之前，哪些经验、知识和能力与梯形面积计算公式的推导密切相关？用裁剪和拼写变换的思想方法，从矩形、平行四边形和三角形面积公式推导梯形面积公式，有没有不同的方法？10.在梯形面积的课堂上，你会创设什么样的情境，让学生感到需要解决梯形面积的计算问题？以下是几套当前的教材，设计的问题情境，你喜欢哪种情境，为什么？

14、教材问题的设计人教版窗玻璃是梯形的。面积是多少？青岛版鱼塘的形状是梯形的。它的面积是多少？北京师范大学版水坝的横截面形状是梯形的。它的面积是多少？浙江教育版大坝的横截面是什么？它的面积是多少？苏教办剪下梯形，看看哪些可以拼成平行四边形。拼写出来。平行四边形和每个梯形的面积是多少？西南师范大学版直接给出一个梯形。你会用这个学习工具来探索梯形面积的计算吗？11.想一想，有什么不同的变换方法可以用来推导梯形的面积计算公式？12.如果已知梯形的上底部为4厘米，下底部为6厘米，高度为2厘米，那么以下不同图表中所表达的所有思想能否用于推导梯形面积的计算公式？请根据这些图表写出相应的推导公式。例如，根据图(

15、3)，计算梯形面积的公式如下：梯形面积=两个三角形面积的总和=422 622=上底部高度2下底部高度2=(上底部和下底部)高度2对于另一个例子，根据图(9)，梯形面积的计算公式推导如下：梯形面积=平行四边形面积减去三角形面积=(62)-(6-4)22=(底部高度)-(底部-顶部)高度2=下底部高度-下底部高度2上底部高度2=下底部高度2上底部高度2=(上底部和下底部)高度213.在课堂教学系统中，有些学生经常知道计算梯形面积的公式，而有些学生不知道。对于知道公式的学生来说，有必要验证公式的正确性，并解释为什么计算梯形面积的公式可以是这样的。对于不知道公式的学生，他们需要探索并找出公式可能是什么样子。这两种想法是不同的，前者是寻找公式成立的原因，而后者是寻找公式。你认为如果老师在课堂上考虑这两个想法，学生的每个部分都能在原有的基础上发展吗？14.有人认为梯形的面积计算公式可以用来“支配”矩形、平行四边形和三角形的面积计算公式。也就是说，矩形、平行四边形和三角形的面积计算公式可以视为梯形面积计算公式的特例。你同意这个观点吗？为什么？读完以下内容，你认为这个观点合理吗？梯形面积=(上底部和下底部)高度2，当(1)当上底部等于下底部时，从图形角度看，梯形变成平行四边形或矩形；从面积公式的角度来看，梯形面积此时=2底高=2底高或