流体力学基本方程.ppt

1、高级流体力学，3个流体力学基本方程，3个流体力学基本方程，流体运动定律遵循三个物理守恒定律，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。流体动力学的基本方程是用这三个定律对流体运动的数学描述。然而，流体力学的基本方程并不是封闭的，因此有必要加入辅助的物理性质，如密度、比热、粘度系数和导热系数随温度和压力的变化。目前，这一方程组还不能得到解析解，但研究这一方程组的性质具有重要意义，因为实际的流体流动过程遵循这一基本方程组。3.1系统和控制体的概念，3.1.1系统包含任何一组特定的不变的物质，这叫做系统，而系统之外的一切都统称为外部世界。系统的边界是将系统与外界隔开的真实或想象的表面。在流体力学中

2、，系统指的是由某些流体粒子组成的流体物质。3.1.1系统中，流体系统的边界具有以下特征：系统的边界随流体运动。系统的体积边界表面的形状和大小可以随着时间而改变；在系统的边界没有质量交换，也就是说，没有流体进入或流出系统的边界；在系统的边界，外界作用在系统上的表面力；在系统的边界可以有能量交换，也就是说，能量(热量或功)可以通过边界进入或离开系统。3.1.1系统，如果我们用该系统来研究连续介质的流动，就意味着采用拉格朗日的观点，即以由某些流体粒子组成的流体质量为研究对象。但对于大多数实际的流体力学问题，采用欧拉观点更为方便。因此，必须引入控制体的概念。3.1系统和控制容积的概念3.1.2控制容积

3、相对于某一坐标系流动的任何容积称为控制容积。控制体的边界曲面称为控制曲面。它总是封闭表面。占据控制体积的流体颗粒随时间变化。3.1.2控制体，控制平面有以下等待点：控制体(控制平面)的边界相对于坐标系是固定的；在控制表面上可以有质量交换，也就是说，有流体流入或流出控制表面；在控制面上，控制体外的物体对控制体内的物体施加的力；控制面上可以进行能量交换，也就是说，能量(内能、动能、热量或功)可以流入或流出控制面。3.2连续性方程，它是运动流体中质量守恒定律的数学表达式。连续性方程是一个运动方程，与力无关，所以它既适用于理想流体，也适用于粘性流体。在流动空间中，考虑体积为dxdydz的微元件控制体。

4、对于固定参考系统，它在空间中是固定的，如下图所示。3.2连续性方程，质量守恒定律可表示如下：控制体中流体质量的减少应等于流体质量从控制体的净流出量。3.2连续性方程，(1)控制体内流体密度在dt时间内的变化是控制体内流体质量在dt时间内的减少，3.2连续性方程，(2)在dt时间内通过控制平面网流出控制体的流体质量与在X方向上通过左右两侧(控制平面)流出的流体质量相同，在dt时间内通过相应的控制面在Y和Z方向流出的流体净质量分别为：3.2连续性方程；(3)流体流动的连续性方程根据质量守恒定律，从上述分析可以得出结论，这是单位时间和单位体积空间在直角坐标系中的连续性方程，可以写成矢量形式；3.2连

5、续性方程，根据求和协议，连续性方程可以用等式表示，连续性方程可以写成：3.2连续性方程。对于稳定流，连续性方程按照求和的惯例。上述公式表明，单位时间内从单位体积空间流出的质量等于流入体积空间的质量，也可以说3.2连续性方程，对于不可压缩流体流动的问题，不可压缩流体流动的连续性方程是根据求和协议，上述公式表示为上述公式，表明流体胶束的密度和质量在流动过程中是不变的，因此流体胶束的体积在运动过程中不会发生变化。在圆柱坐标系(r，z)中，流体流动的连续性方程在球面坐标系(r，z)中，流体流动的连续性方程为3.3本构方程。一般来说，所谓的本构方程是指描述物质对施加在其上的力的机械响应的方程。对于运动的

6、粘性流体，应力和变形速度之间的关系称为本构方程。3.3.1流体的表面应力张量为了建立流体动力学方程，有必要分析作用在流体胶束上的各种力。作用在流体胶束上的力可以分为两类：一类是质量力，即作用在所有流体颗粒上的非接触力，如重力、惯性力、电磁力等；另一种是表面力，即作用在流体胶束界面上的接触力，如压力和摩擦力。现在只考虑表面力。3.3.1流体的表面应力张量，如图所示，六面体流体胶束的左右侧面分别与合成应力px和3.3.1流体的表面应力张量作用，其中下标x表示应力矢量作用在垂直于x轴的微型元件平面上。因此，可以得出作用在垂直于x轴的微型元件平面上的表面力的合力是相同的，作用在垂直于y轴和z轴的微型元

7、件平面上的表面力的合力分别是3.3.1流体的表面应力张量。通过总结上述结果，可以得到px、py和pz是上述公式中的向量，它们可以沿三个坐标方向分解。也就是说，它被分解成垂直于每个微型元件平面的正应力和平行于每个微型元件平面的剪应力。例如，上图中作用在垂直于X轴的微型元件平面上的应力px可以分解为相同的原因。3.3.1流体的表面应力张量，下标规定第一个下标代表应力所在平面的外法线方向，第二个下标代表应力方向。例如，xy代表作用在垂直于y方向x轴的平面上的剪应力。从以上分析可以看出，要完整地描述微型元件上的应力，需要九个分量，它们构成应力张量。应力张量可以表示为3.3.1流体的表面应力张量，并且可

8、以证明应力张量是二阶对称张量。法向应力的正方向是活动表面之外的法向。对于剪应力，当作用面的外法线沿坐标轴的正方向时，沿坐标轴的负方向的剪应力为正。这样，单位体积流体的表面力可以写成3.3.2牛顿流体的本构方程，物质的应力与运动参数之间存在一定的关系。在弹性力学中，这种关系用胡克定律表示，也就是说，弹性固体中的应力与应变成正比；在流体力学中，有不同类型的流体具有不同的性质。对于具有简单化学结构的低分子流体，例如水、空气和润滑油，应力与变形速率成正比。也就是说，应力和变形率之间存在线性关系，服从这种线性关系的流体称为牛顿流体。3.3.2牛顿流体的本构方程，牛顿提出了粘性流体沿直线运动时两流体层之间

9、的剪应力假设。人们认为剪应力与层间速度梯度，即动态粘度系数成正比，其值取决于流体的物理性质。上述公式通常被称为牛顿内耗定律。3.3.2牛顿流体的本构方程，根据变形率张量和应力张量，上述公式的左侧对应于平面直线运动特殊情况下应力张量的切向分量，右侧的导数项对应于变形率tens的分量因此，无论如何选择坐标系，应力和变形率之间的关系是相同的。3)当流体静止时，即变形率为零时，流体中的应力为静水压力。3.3.2牛顿流体的本构方程，或方程中的负号，表示压力方向总是与微型元件表面外的法线方向相反，I是单位张量。实验证明，上述假设对大多数常见的液体和气体都是正确的。3.3.2牛顿流体的本构方程。根据应力张量

10、和变形率张量是线性的，流体是各向同性的假设，应力张量和变形率张量之间的线性关系可以写成公式中的系数A和B应该是标量。因为这种关系是线性的，所以系数a不能与张量和中的分量相关，而应该与流体运动形状无关，它是一个取决于流体物理性质的系数。参考牛顿内耗定律，让，3.3.2牛顿流体的本构方程，至于系数b，因为右边第二项中应力张量和变形率张量之间的线性关系是b和单位张量I的乘积，为了保持这个公式的线性关系，b只能由张量和分量线性组成。因为B是标量，所以它应该由张量和分量组成，当坐标系变换时，这些分量的值是不变的。对于二阶张量，主对角线上三个分量的和是它的线性不变量(即第一不变量)。3.3.2对于牛顿流体

11、的本构方程，应力张量的线性不变量是变形速率张量的线性不变量。通过以上分析，可以看出标量B的一般关系式中的b1、b2和b3是待定常数。3.3.2牛顿流体的本构方程，将标量B的表达式代入应力张量和变形率张量之间的线性关系，我们可以得到方程两边主对角线上三个分量的和，合并后我们可以得到同类项，我们可以把上面的方程写成3.3.2牛顿流体的本构方程，因为b1和b3都是常数，而且它要求处于静压p0。只有确定了这三个系数，才能得到应力张量和变形率张量之间的一般线性关系。3.3.2牛顿流体的本构方程。对于非粘性流体，一点的压力在所有方向上都是相等的。这里引入了平均压力的概念，即对于粘性流体，同样采用这种平均正

12、应力。如果要确定的常数b2写成，上述公式通常被称为广义牛顿内耗定律，它被称为膨胀粘度。3.3.2牛顿流体的本构方程，如果用ui和xi (i1，2，3)代替ux，uy，uz和x，y，z，可以写出笛卡尔坐标系中应力张量和变形率张量之间的关系，3.3.2牛顿流体的本构方程，对于不可压缩流体，3.3.3虽然在推广过程中采用了一些无法通过实验验证的假设，但基于这种关系的粘性流体动力学方程对许多问题的解已经通过实验得到了验证。因此，这些归纳的可靠性得到了间接的证明。3.4粘性流体的运动方程，运动方程(动量方程)是运动流体动量守恒定律的表达式。在一个充满流动流体的空间中，取任意一个控制封闭面，它所封闭的流体

13、体积为.根据动量守恒定律，体积流体的动量变化率等于作用在体积流体上的质量力和表面力之和。让每单位质量流体的质量力为f，当质量力仅为重力时，为fg。单位面积的表面力是n，对于粘性流体，它可以有切向分量和法向分量。作用在流体上的质量力和表面力之和为0，动量变化率为3.4。根据动量定理，存在基于张量运算的高斯公式(体积积分与面积积分的关系)。上述公式的右侧可以改写为应力张量的散度。然后，根据导数与物体的关系，3.4粘性流体运动方程，因为被积函数是连续的，体积v是任意选择的，是粘性流体运动的微分方程。在直角坐标系中，它可以写成：3.4粘性流体运动方程。当质量力已知时，不可压缩流体有12个未知数：3个速

14、度分量和9个应力分量，但只有4个方程(动量方程和3个分量的连续性方程)不足以求解12个未知数(对于可压缩流体，虽然还有另一个未知密度，但可以有另一个热力学方程而不影响上述分析)。因此，有必要用广义牛顿内摩擦定律将应力张量表示为变形率张量。3.4粘性流体运动方程，广义牛顿内耗定律是这样的，这是矢量形式的运动微分方程，其中只包括四个未知数：三个速度分量和一个压力p。因此，我们可以进一步认识广义牛顿内耗定律在粘性流体力学中的意义。3.4粘性流体运动方程，根据变形率张量的表达式，等号右边的最后一项可以转化。为简单起见，讨论仅限于直角坐标系。对于第一分量和第三分量，也就是3.4粘性流体运动方程，可以得到

15、类似的结果。因此，在直角坐标系中，粘性流体运动的微分方程可以写成3.4粘性流体运动方程，对于不可压缩流体，粘性系数可以近似视为常数。因此，矢量形式的运动微分方程可以简化为方程右端最后一项的三个分量：3.4粘性流体运动方程。考虑到不可压缩流体的连续性方程，不可压缩流体的动量方程可以写成不可压缩真实流体的动量微分方程，通常称为纳维尔-斯托克斯方程，简称为N-S方程。3.4粘性流体运动方程，不可压缩流体的动量方程可以写成直角坐标系，3.4粘性流体运动方程，不可压缩流体的动量方程可以写成圆柱坐标系，3.5能量方程，这是运动流体能量守恒定律的表达式。在充满流动流体的空间中，取任意一个封闭面A(控制面)，

16、它所包围的流体体积为V(控制体)。根据能量守恒定律，流体动能在这个体积中的变化率等于单位时间内质量力和表面力所做的功与单位时间内系统所增加的热量之和。3.5 .该体积中流体的动能包括宏观流体运动的动能和微观分子运动的动能(内能)，单位质量流体分别为(uu/2u2/2)和(E)。因此，总能量的变化率为0，单位时间内质量力和表面力所做的功为3.5能量方程。单位时间内系统增加的热量包括两部分：一是热传导；另一部分是热辐射和由化学反应、燃烧或其他物理原因引入的热量。根据傅立叶定律，可以获得在单位时间内通过控制表面a引入控制体v并通过热传导增加的热量。如果q代表由于热辐射或其他原因在单位时间内引入单位质量流体的热量，那么引入体积为v的控制体的热量是3.5的能量方程。因此，根据能量守恒定律，我们可以根据下列物体的导数写出一个相同的关系，即能量方程3.5，使用高斯公式，能量守恒关系可以写成3.5能量方程。由于控制体的体积V是任意选择的，被积函数是连续的，这就是流体流动的能量微分方程。让我们把它改写成另一种形式。根据张量和矢量的分析，可以得到下式中应力张量和变形率张量的标量积，结果是二阶张量。3.5能量方程，实际流体运动的微分方程可以看作是单位体积内作用在流体上的力的平