概率论与数理统计+二维连续性随机变量及其分布.ppt

1、作业题评讲,解,作业题评讲,故X,Y不独立。,64页例4 设(X,Y)的密度函数为,二维连续型随机变量及其密度函数,求(1) C的值; (2) 边缘密度函数.,解,二维连续型随机变量及其密度函数,（一）随机变量的数学期望,1.离散型随机变量的数学期望,2.连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则,随机变量的数字特征,Review,3.随机变量函数的数学期望,（1）X为随机变量，Y=g(X),离散型：,连续型：,(2)(X,Y)为二维随机变量, Z=g(X,Y),离散型：,连续型：,作业题评讲,解,作业题评讲,数学期望的性质,1.E (C ) = C,2. E (aX

2、 ) = a E (X ),3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),4.当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,线性性质,（二）方差,1.定义 D(X)=E X-E(X)2,标准差：,2.计算,(2) 离散型：,(3)连续型：,随机变量的数字特征,(1) 计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).,方差的性质,(1) D(C)=0;,(2) D(CX)= C2D(X);,(3)若X, Y相互独立,则,D(X+Y)=D(X) +D(Y).,D(X-Y)=D(X) +D(Y).,例1,解,随机变量的数字特征,已知随机变量 X 的分布律为,求D

3、(X).,随机变量的数字特征,解,随机变量的数字特征,例3 设Xb(n,p),求E(X),D(X).,解 X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令,且Xi服从0-1分布，则,又Xi之间相互独立，,随机变量的数字特征,例4 已知标准正态分布N(0,1)的期望是0，方差是1。设XN(,2),求E(X),D(X).,解,随机变量的标准化：,常见分布的数学期望与方差,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 该用一个怎样的数去反映这种联系呢？,数,能反映随机变量 X , Y 之间的线性关系, 4.4,协方差的

4、概念,为 X ,Y 的协方差. 记为,称,为（X , Y ）的协方差矩阵,定义,协方差的概念,计算公式： cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).,例5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y),协方差,解 X,Y的分布律分别如下：,例5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y),协方差,例6,协方差,解,1.cov(X,X)=D(X),5.当X ,Y 独立时，cov(X ,Y ) = 0 .,对称性,协方差的性质,2.cov(X,Y)=cov(Y,X),3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y),6.cov(C,X)=0,4.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ c

5、ov(X2,Y),而当cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定独立.,X,Y线性不相关,7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y),为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差,相关系数的概念,若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 线性相关系数，记为,相关系数,1.|XY|1,2.当X ,Y 独立时， XY = 0 .,相关系数的性质,3. |XY|越大，则X ,Y 线性相关程度越好,当 |XY|=0时，X ,Y 并不是一定没有关系， 而是线性不相关。,逆命题不成立,4. (X,

6、Y) N(1,2,12,22,),就是X ,Y 的相关系数，XY = .,正相关,负相关,正弱相关,负弱相关,线性不相关,相关系数与随机变量的线性相关性,例7 设 ( X ,Y ) N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,协方差与相关系数,例8 U-,X=sin , Y=cos ,X,Y是否相关，是否独立？,相关系数,解,证明 (1),于是XY= 0，所以 X与Y线性不相关。,例9 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。,例9 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,n维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布，则Xi都是一维正态；若Xi是一维正态，且相互独立，则X1,X2,Xn服从n维正态。,多维正态分布的重要性质,n维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布的充要条件是X1,X2,Xn 的任意线性组合都服从一维正态。,对n维正态分布来说，独立与线性相关是等价的。,例10 设随机变量X和Y相互独立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。,知 Z=2X-Y+3 服从正态分布，且,解 由XN(1,2), YN(0,1)，且X与Y相互独立,D(Z) = 4D(X)+D(Y) = 8+1