19 刚体的平面运动

1、例 曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度w转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在任意位置j = w t 时，求滑块B的速度。,解：,因为A点速度vA已知，故选 A 为基点。,其中 vA=R w 。,(1) 基点法,由速度合成矢量图可得,所以,其中,可求得连杆AB 的角速度,顺时针转向。,应用速度投影定理，有,将 vA= R w ， a 90o -y - j ， b y,(2) 速度投影法,求得,代入上式有,例 如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速 前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。,速度瞬心法求解,（顺时针）,速度瞬心为C点，车轮的角速度为

2、,解：,车轮上点B的速度方向垂直于连线CB，大小为,同理，可求得轮缘上其它各点的速度。,例 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。,解：,(1) 基点法,( 逆时针 ),解法一、选 A 点为基点，A 点的速度 ，则B点的速度可表示为,式中 方向沿OB向下， 方向垂直于杆AB，由速度合成矢量图可得,解法二、选B点为基点，则A点的速度可表示为,( 逆时针 ),且vBA=wABAB，,AB杆的速度瞬心在p 点。,所得结果与前相同，但求解步骤却简单得多。,(2) 速度瞬心法,( 逆时针 ),注意到 ，所以可以求得,例 如图

3、所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R 的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度wO 转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3 M4垂直于线段M1M2。,行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮 II 上各点的速度。为此先求轮 II 的角速度。,解:,因为A点的速度,因此轮 II 的角速度,（逆时针）,各点的速度方向如图所示。,所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 点的速度分别为：,图示平面图形在自身平面内的运动都可以分解为随基点A的平动（牵连运动）

4、和绕基点 A的转动（相对运动）。,四、平面图形上各点的加速度,因牵连运动为平动：,以及对应关系,可得,即，平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。,其中,例1车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度为 ，加速度为 。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。,其角速度,取中心O为基点，则C点的加速度,解：,车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的接触点C。,因轮心O作直线运动，,式中,由于aO与 大小相等方向相反，于是有,方向向上。,注：加速度瞬心概念,例2 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O = l，以匀角速度w

5、1绕O1轴转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在轮上只滚不滑。设A和B是轮缘上的两点，A点在O1O的延长线上，而B点则在垂直于O1O的半径上。试求点A和B的加速度。,轮的速度瞬心在C点，则轮的角速度,轮作平面运动，其中心O的速度和加速度分别为：,解：,1. 求A点的加速度。,选O为基点，应用加速度合成定理,因为w1和w 都为常量，所以轮的角加速度为零，则有,A点相对于基点O的法向加速度沿半径OA，指向中心O，大小为,所以由图可知A点的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为,2. 求B点的加速度,选O为基点，应用加速度合成定理,所以B点的加速度大小为,它与半径OB 间的夹角为,其中,例3 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速度10rad/s，绕O轴转动。求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度。,解：AB作平面运动，瞬心在 点，则,AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为,其中,解之得,于是,方向如图所示。,例4 图示四连杆机构，已知AC杆角速度2rad/s，AC=20cm，BD=40cm，在图示位置时，AC及BD处于水平位置，=30，试求此瞬时BD杆的角速度及角加速度。,B,A,C,D,例5 图示机构，已知OA杆角速度