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1、红楼梦研究20121211a,概率论与数理统计辅导,王晓谦 ,红楼梦研究20121211a,引言 数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。在自然科学、技术科学、经济科学、社会科学的应用不断深入。与计算机的结合，使以前只有理论而无法计算的内容找到了广阔的应用领域。 概率和统计具有不同于其他数学分支的思维方式。我们在教学实践中既要体会概率和统计思想与其他数学思想的不同，但也必须注意到它们与其他数学分支之间的密切关系。要培养利用概率、统计的思想思考、处理问题的能力。,红楼梦研究20121211a,第一部分 概率 第一节 随机事件及其概率 A. 随机现象与随机事件,概率论就是研究随机现象的数

2、学分支。,红楼梦研究20121211a,研究随机现象的第一步：定义事件 在给定条件下，可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，这就是随机现象。 特点：一个随机现象，我们知道所有可能的结果有哪些，但是在条件没有实现之前，无法判断会出现哪个结果。 随机事件：我们把在给定条件实现之后，可以判断是否发生的结果叫做随机事件，用大些英文字母表示。,红楼梦研究20121211a,例如，研究某个射击运动员的射击水平。 在正常条件下，他射出一发子弹，落点会是随机的，都有哪些随机事件呢？无穷多个随机事件：A:十环 B:九环，E:没有脱靶，F:脱靶，等等等等，这些都是可能发生的结果，都是随机事件。 只要实现一次条

3、件，即在正常条件下，他射出一发子弹，哪个事件发生，哪个没有发生，一目了然。,红楼梦研究20121211a,两个特例： 不可能事件：用字母表示。 例如上面例子里，“既没有脱靶，也没有上靶”这个事件就是不可能事件。 必然事件：用字母表示。 例如上面例子里，“脱靶或没有脱靶”就是一个必然事件。,红楼梦研究20121211a,红楼梦研究20121211a,B. 事件的概率 事件的概率就是刻划该事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。设A是一个事件，用P(A)表示这个事件的概率。 概率的第一个基本性质：对于任意事件A，,这是一种要求！,红楼梦研究20121211a,例：七个有变异的豌豆特征（P89）

4、 子的形状，子的颜色，豆荚的形状，豆荚外衣的颜色，未成熟豆荚的颜色，花的位置，豆梗的长度 孟德尔把绿色豌豆与黄色豌豆杂交，结果下一代都是黄色豌豆。 对其他六个特征做试验，也有类似的结果。 我们把这一代叫做杂交第一子代，简称为子一代。问题是，用它们作为种子，下一代会怎样呢？这是中学教师孟德尔的问题，这个问题的解决让他名崔青史。（18221884）,红楼梦研究20121211a,孟德尔把杂交黄色豌豆作为第一子代F1，培育出第二子代F2。在第二子代中豌豆会是什么颜色的呢？他提出了一种遗传学理论，用这个理论来预测第二子代的颜色。他的预言是： 75%的黄色豌豆 25%绿色豌豆 即两者比例为3：1。,红楼

5、梦研究20121211a,【用G代表绿色基因，Y代表黄色基因，则第一子代F1可表示为YG。 这样的豌豆自由杂交，在第二子代F2中会出现四种情况：YY,YG,GY,GG。每种情况出现的机会均等。其中 黄色：YY,YG,GY； 绿色：GG 所以黄色豌豆与绿色豌豆数量的比例应该是3：1。】 课本上89页表7-1-1的数据就是试验观测结果。这里用的是频率估计概率的思想。,红楼梦研究20121211a,我们不知道当初老孟是先有的数据还是先做的理论分析。不过大多数人相信是 1、先做的试验， 2、然后利用观测到的现象（概率统计思想）提 出大胆的理论， 3、利用提出的理论对观测结果作出解释， 4、再利用理论作

6、预测， 5、然后通过试验验证理论预测的可靠性。 这是科学研究的一种基本方法。,红楼梦研究20121211a,为了估计事件A发生的概率，我们在相同条件下进行重复试验，记录试验次数n和事件A发生的次数m，然后用事件A在这n次试验中发生的频率作为事件A发生的概率的估计值,求概率之基本方法试验法。有误差。,红楼梦研究20121211a,概率的第二个基本性质 ：,这不是公式，是一种规范化要求。,红楼梦研究20121211a,第二节 古典概型 试验或观测只有有限多种可能的基本结果，这些结果具有以下特点： （1）、这些可能结果有限多个； （2）、每次试验，这些结果中必有一个会发生，而且 只有一个会发生； （

7、3）、每个结果的发生是等可能的。 满足前两条的结果叫基本事件。假设共有n个基本事件。如果还满足第三条的话，这样的随机现象的概率计算模型就叫做古典概型。,红楼梦研究20121211a,古典概型里，每个基本事件的概率都是,.,如果事件A的发生等价于m个基本事件之一发生，那么事件A发生的概率就是,红楼梦研究20121211a,第三节 几何概型 试验或观测有无限多种可能的基本结果，这些结果具有以下特点： （1）、这些可能结果有无限多个； （2）、每次试验，这些结果中必有一个会发生，而且 只有一个会发生； （3）、每个结果的发生是等可能的。 这样的随机现象的概率计算模型就叫做几何概型。,红楼梦研究201

8、21211a,方程有实根的概率是多少？,例一、方程,中的系数,分别在,区间随机取值，那么这个,解：我们把,放到一起考虑,，那么任取,中的,两个值作为,矩形区域 S 中任取一个点，把横坐标作为,，可以看作是在平面直角坐标系中,，纵坐,。,坐标作为,红楼梦研究20121211a,方程有实根等价于,这等价于要求点必须取在区域A中。所以,红楼梦研究20121211a,例二、怎样求一个不规则图形的面积？ 做正方形S，随机向图中投点，计算落在A中的点的频率，A的面积的近似值就是该频率与S的面积的乘积。,红楼梦研究20121211a,例三 贝特朗奇论 在圆内任取一弦，问其长度超过内接等边三角形 边长的概率是

9、多少？ 贝特朗给出了三中求解方法。,设该圆半径为,则内接等边三角形边长为,记弦的长度为,红楼梦研究20121211a,（1）、由于弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因而可假定弦垂直于某直径EF。如图所示：,当且仅当弦AB与圆形的 距离小于,时，有,所以所求概率为,红楼梦研究20121211a,(2)、弦长由其中点唯一确定。当且仅当弦的中点落到 半径为,的同心圆内时，弦长,所以，如图所示，,所求概率为,红楼梦研究20121211a,（3）、因为任何弦都交圆于两点，并且具有对称性， 所以不妨固定弦的一端A于圆周上，另一端在圆周上任 意取。如图，考虑等边三角形ADE，如B落在角A所对 应的弧

10、,上，则弦长,所以所求概率为,红楼梦研究20121211a,第四节 互斥事件与概率 两个事件互斥 一组事件是互斥的 设是A,B是两个互斥事件，我们用 A+B表示一个新 的事件，即 “A,B中至少有一件发生” 这个事件。,红楼梦研究20121211a,是一组互斥事件，那么,中至少有一个发生这个事件。,表示,概率的第三个基本性质要求,红楼梦研究20121211a,例如，,表示某射击运动员打中k环这个事件，k=1， 2，10. 那么它们是10个互斥事件。如果知道每个 事件的概率，我们就可以算出许多其它事件的概率。 例如打到8环以内这样的事件的概率。,例如，,红楼梦研究20121211a,对立事件：如

11、果两个事件互斥，而且每次试验或观测两个事件中必有一个发生，那么这两个事件就叫做一对对立事件。如果用A表示其中的一个事件，另一个就用,来表示。显然,所以,或等价地,红楼梦研究20121211a,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。 解法一、用A表示“500人中至少有一人生日在今天”， 用,表示“500人中恰有k人生日在今天”， k=0，1,500。,互斥，而且,所以,则不难发现这501个事件,红楼梦研究20121211a,由于,所以,红楼梦研究20121211a,解法二、显然,表示,所以,“500人中没有一人在今天过生日”，,我们可以求出,红楼梦研究20121211a,比较这两个结果你可

12、以发现一个公式,即,事实上，,红楼梦研究20121211a,第五节 独立性概念 积事件：设A,B是两个随机事件，称 “事件A与B同时发生” 这个事件为事件A与事件B的积事件，记作AB。类似地，用,表示一个新事件，该事件的发生等价于,这n个事件同时发生。,红楼梦研究20121211a,例如：,表示第k次投掷硬币出现正面，k=1,2,就表示“连续投掷硬币n次都出现正面”这个随机事件。,那么,红楼梦研究20121211a,定义：称事件A,B相互独立，如果,一般地，称一组事件相互独立，如果其中任意有限个同时发生的概率等于它们每一个发生的概率的乘积。 所以，如果知道事件相互独立，那么事件同时发生的概率就

13、等于每一个发生的概率的积。,红楼梦研究20121211a,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。,表示,不难理解,也是相互独立的一组事件，而且,方法三、用,第k个人在今天过生日，k=1,2,500。,则我们一般认为这500个事件相互独立。显然,红楼梦研究20121211a,所以，,红楼梦研究20121211a,连续投掷一枚硬币n次，计算其中恰好出现 k次正面的概率，,这个问题有如下三点要注意： （1）.每次试验（或观测）只有两种可能的结果，其 一记为 A,另一个就是,（2）.每次试验（或观测）结果不受其它试验（或观 测）结果的影响。即各次试验或观测相互独立。,（3）.每次A发生的概率都相

14、同，记为,红楼梦研究20121211a,这个问题的答案就是二项概率公式：,这种随机试验或观测我们叫做独立试验序列。在研究独立试验序列时，一个基本问题就是，n次试验中事件A恰好发生k次的概率是多少？,红楼梦研究20121211a,特别地,所以,每个人是否在今天过生日相互独立。所以500人中恰有k人在今天过生日的概率为,方法四、每个人在今天过生日的概率都是,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。,红楼梦研究20121211a,某车间有十台机床，彼此独立工作。据统计每台机床每小时有12分钟在工作，工作时需8千瓦的电力。供电部门供多少电给该车间合适呢？,该车间恰好有k台机床在同时工作的概率为,解

15、：用A表示一台机床在工作，则,红楼梦研究20121211a,我们把恰好有0，1，2，10台机床在同时工作的概率都计算出来，列在下表里：,从表中数据可以看出，,所以，供给,千瓦电力就可以保证有0.9936的,概率不会误事。完全没有必要供给80千瓦的电力。,红楼梦研究20121211a,第五节 随机变量简介 随机变量是这样的一种“函数”，它把随机试验的每一个基本结果对应成一个实数。 例如，掷一枚硬币有两个基本结果，正面和反面。我们取X是这样的一种对应法则： 如果掷出正面，取X=1，如果掷出反面，取X=-1. 则X就是一个随机变量，取-1和1两个值，到底取哪个 在实验没有结束之前不能确定，即取值是随

16、机的。,所有可能取值的概率总和必为1。,红楼梦研究20121211a,我们关心的是随机变量的取某个值或取值落在某个范围里的概率。怎样计算，依不同情况而定。 随机变量有两种类型，一种是它的所有可能的取值可以一一列举出来。例如上面提到的。这样的随机变量叫做离散型随机变量。对于这样的随机变量，我们要搞清楚它可能取的每一个值，而且要求出取每一个值的概率。 例如，投掷一个硬币100次，用X表示其中出现的正面次数，则所有可能的取值是0，1，2，100，且,所有可能取值的概率总和必为1。,红楼梦研究20121211a,对于随机变量，我们常常会求它的取值的平均值，还要考虑它的取值的分散程度。,那么这个运动员的

17、水平该怎样评价呢？我们计算一下他打一枪平均来说可能的环数：,这个数叫随机变量X的数学期望。,例如，X表示一个射击运动员命中的环数，则它是一个随机变量。假设我们已经知道X取每一个值的概率，如下表所示：,红楼梦研究20121211a,相对于数学期望，随机变量的取值有时偏大，有时偏小，那么平均偏差该怎样计算呢？先把这些偏差做平方，然后再平均。考虑到每一个偏差出现的可能性实际上就是原先的取值对应的概率，所以也要用求数学期望那样的方法来求偏差平方的平均值。例如，上面的X，,由上表可见，偏差平方的平均值为,这个数叫随机变量X的方差。,红楼梦研究20121211a,随机变量的数学期望反映了它取值的平均大小，

18、是一个平均值； 随机变量的方差反映了它相对于平均值而言的分散程度。方差越小，取值的分散程度越小。如果方差为0，那这个随机变量就几乎是一个常数。,红楼梦研究20121211a,例： 据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下三种方案： 1、运走设备，需花费3800元； 2、建一保护墙，需花费2000元。但无法抵御大洪水，大洪水来临的话，设备受损，损失60000元； 3、不采取任何措施，祈祷不发生洪水。大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。 试比较哪种方案好。,红楼梦研究20121211a,解：分别用X,Y

19、,Z表示三种方案下可能带来的费用，则都是随机变量。我们把各个随机变量的分布列在下表里：,则 E(X)=3800 E(Y)=2600 E(Z)=3100 平均来说，方案二比较好。,红楼梦研究20121211a,第二部分 统计 统计在我们国家有两种意义： 社会统计 数理统计 我们要讨论的是数理统计。,红楼梦研究20121211a,引言 你要研究什么？ 研究对象总体 由全体成员构成。 例如 1、某地区高中学生的身高发育情况 2、袁隆平新水稻品种的亩产量 3、某班学生的数学学习成绩 4、某个学生的数学学习成绩 5、姚明的技术水平（投篮，三分球，命中 率， 篮板等） 6、学习成绩与性别的关系 7、红楼梦

20、前80回与后40回的用字、用词的 差异,红楼梦研究20121211a,为什么要学习统计？ 1、当我们要对总体进行研究时，由于种种原因，不 可把每个个体的特征都记录研究； 2、不可能收集到所有数据； 3、可能收集到所有数据，但是要花费大量的财力物 力； 4、即使收集到了所有的数据资料，面对大量的杂乱 无章的数据，不用科学的方法处理，我们也无法 得到想要得到的信息。,红楼梦研究20121211a,统计正是处理上面遇到的窘境的理想手段： 1、怎样收集数据资料； 2、怎样对收集到的数据资料进行科学的分析处理； 3、合理解释处理结果。,红楼梦研究20121211a,样本 从总体中抽取一部分个体出来，测量

21、其相应的数量指标和特征并记录。这一部分个体放到一起就叫做一个样本。 一般来说，我们总是把测得的数据全体叫做样本。 样本中所考虑的个体的数目叫样本容量。,红楼梦研究20121211a,例如：1、随机抽查某地区100名高中二年级学生测量身高得到的200个数据； 2、将水稻新品种种植在其他条件相同的10块试验田里，收割后测得的10个亩产量数据；,红楼梦研究20121211a,第一节 抽样方法 A、简单随机抽样法 从有N个个体的总体中不重复地取出n个个体，nN，每个个体都有相同的机会被抽到。 抽签法： 编号、制签、搅匀、随机抽签k次 随机数表：省掉制签、搅匀、随机抽签过程,红楼梦研究20121211a

22、,随机数表是一个重要工具。 它是一张由数字0到9构成的数表，可能三个三个地由三位数构成。也可能由四位数构成 。 我们可以用某种编程语言产生随机数表。 用Excel就可以方便地产生随机数表：,红楼梦研究20121211a,1、在单元格C1里输入 =RAND() 产生一个0到1之间的随机数，拖拽C1的填充柄就可以产生不同的随机数。65536行，可产生大量随机数。（0，1之间随机数） 2、输入 =INT(100*RAND()产生0到99之间的整随机数。 （两位随机数） 3、随机数发生器 选择 工具数据分析随机数发生器 （随机数） 4、 计算器可能会有不同的方法，要参考有关说明书。,红楼梦研究2012

23、1211a,B、系统抽样 分成相同的n组，每组随机抽取一个。 C、分层抽样 总体由差异明显的几个部分组成，各部分称为层。根据比例在各层进行抽样。,红楼梦研究20121211a,第二节 总体分布的估计 统计的任务： 在统计里我们感兴趣的是：如果从总体中任取一个个体，这个个体的某个或几个数量指标会有什么特征？我们不知道其指标会是多少。统计的任务就是希望搞清楚，任取一个个体，其指标会遵循什么规律。 当然不会是一个确定性的规律，而是一个“统计规律”，就是一个具有概率意义的规律。例如某地某段时间里高温出现概率；某校高一年级男生的身高在某个范围里的概率。,红楼梦研究20121211a,从总体中任取一个个体

24、，其指标不知道会是多少，就把它作为一个随机变量对待。 对总体的研究，就是要达到搞清楚这个随机变量的分布的目的。这就是统计的基本目的。 在概率论里，我们研究各种分布。在统计里，我们要利用样本数据确定表示总体指标的那个随机变量到底应该是什么分布。如果分布完全是已知的，那统计就没有任何意义了。,红楼梦研究20121211a,参数问题：对总体指标的数字特征，比如数学期望，方差，中为数等的估算、刻画。 非参数问题 多个随机变量之间的关系问题,红楼梦研究20121211a,所以，要知道我们会遇到的问题： 刻划总体分布 刻划总体数字特征 刻划各种关系 在所有的问题中，归根结底是估计概率的问题，而估计概率最基

25、本的方法，就是利用频率。要计算频率，就要抽样做实验获取数据。,红楼梦研究20121211a,由于我们是从样本出发做出的结论，结论势必会有出错的可能。 数理统计的结论不同于其他的结论，其精华就在于： 在给出结论的同时，还会告诉你， 这个结论出错的概率有多大。,红楼梦研究20121211a,总体分布的估计方法 频率分布表 全距 组距 频数 频率 频率/组距 频率分布直方图与折线图 频率直方图,红楼梦研究20121211a,红楼梦研究20121211a,第三节 总体特征数的估计 总体分布的特征数有各种各样，我们在概率论里叫它们作数字特征。例如数学期望，方差，中位数，众数，等等。 在统计里这些往往都是

26、不知道的。统计的任务之一就是利用样本数据来估计这些数字特征。在这里就是要向学生介绍其中最基本的几种估计量。,红楼梦研究20121211a,A、平均数的估计 平均数指总体X平均数，即数学期望E(X)，一般用希腊字母表示。怎样用样本值来估计这个数呢？ 设我们得到的样本为,那么我们就用,来做为的估计值，有时记为,这个公式叫做样本均值或样本平均数。,红楼梦研究20121211a,在统计研究中我们正是要讨论这种公式的意义和价值，而不会对具体的计算结果说它的优劣。 为什么？因为再好的公式也会有计算出糟糕结果的时候。例如抽样的时候碰巧样本取的不好，这是有可能的。,红楼梦研究20121211a,样本均值的最大

27、优点有两个，无偏性和最小方差性：,红楼梦研究20121211a,总体X的方差是,描述了总体取值相对于其平均值的离散程度。我们要估计方差，就要先算出的估计来，然后看看样本值相对于这个估计值的离散程度有多大。所以就用,作为总体方差的估计值。这就是样本方差。对其开方，就得到样本标准差。,红楼梦研究20121211a,例如，要对一种新的水稻品种和一种老的品种做比较，看看新品种到底好不好，怎样比？ 我们需要进行抽样，得到样本： 对每个品种种植试验，例如，新品种种m块试验田，得到m个亩产数据，老品种种n块试验田，得到n个亩产数据。我们就有了两个样本。 分别计算相应的样本均值和样本方差。样本均值越大越好，样

28、本方差则越小越好。,红楼梦研究20121211a,MODE键 +3键：进入统计模式 SHIFT键+KAC键：开始输入数据 每输入一个数据按一次 DATA键 输完后，KOUT键+n键，显示数据个数 SHIFT+1键：显示样本均值 SHIFT+2键：显示样本标准差，再按平方键可得样本方差。 KOUT+2键可计算样本值的总和,红楼梦研究20121211a,叫回归方程。,第四节 线性回归方程 有两个量 x 和 y，x 的变化会导致 y 发生变化。但 是，并不是每一个x值唯一地对应一个y值，即使已知x的取值，也无法完全确定y的取值，它有随机性。y与x之间不是我们以前学过的函数关系，这种关系我们叫相关关系

29、。对于具有相关关系的 y 和 x ，我们怎样利用数学知识比较准确地刻画它们之间的关系呢？我们希望能够搞清楚，如果不考虑随机因素，y与x之间的确定性关系是什么？,红楼梦研究20121211a,.,叫回归方程。,这就是传说中的回归模型。相应的函数叫回归函数，而把,设这个确定性关系可以用函数f(x)表示。那么y与x之间的相关关系应该用下式来刻画：,红楼梦研究20121211a,回归分析的基本理论任务有三个： 1、确定到底有没有这种回归关系？ 2、如果有，回归函数是什么样子的？ 3、误差项作为随机变量服从什么分布？至少应该估 计出它的数学期望和方差。 至于它的应用，非常广泛。,红楼梦研究2012121

30、1a,为了解决以上问题，必须有样本！作n次观测，每次观测一个x值和它相应的y值，依次记为,这就是样本。在这一章我们假设已经得到了样本，下面解决相应的问题。样本一般用一张表列出。,红楼梦研究20121211a,的形式。这样的回归分析叫线性回归分析，相应的关系叫线性回归关系。,我们要先考虑选择一个适当的函数，然后看看这个函数是不是合适。在中学课本里，我们选择线性函数，就是取,红楼梦研究20121211a,如果y与x之间完全没有任何线性依赖关系，那么给定x对计算y没有任何意义。这时b自然应该是0。所以在线性回归里如果b几乎是0，那么线性回归就没有什么意义了。,我们也正是通过数据计算这两个系数的，而且

31、也是通过判断 b与 0的接近程度来判断 y 与 x 之间有没有线性回归关系的。,红楼梦研究20121211a,散点图,红楼梦研究20121211a,回归系数的计算 选用怎样的直线最好呢？假如我们选定了一条直线是,那么如果不考虑随机因素，把x带入这个方程计算出来的,应该与观测到的y值越接近越好。如果把样本里的所有x的取值依次带入，就可以计算得到相应的,好的直线应该使得这里计算出来的值与相应的观测值,相差不大。,红楼梦研究20121211a,把所有的误差的平方累积起来就是,我们要取这样的,，使得,达到最小。,最小二乘思想,红楼梦研究20121211a,红楼梦研究20121211a,红楼梦研究201

32、21211a,红楼梦研究20121211a,红楼梦研究20121211a,其中,红楼梦研究20121211a,不难看出，为使,达到最小，只要取,就可以了。而且这时,达到最小值,。,红楼梦研究20121211a,我们得到的回归直线为,带入到此方程，即可得到一个相应的,此值可以看作是,的计算值。,把样本中的,红楼梦研究20121211a,我们把,叫做残差平方和。回归直线就是使残差平方和达到最小的那条直线。,红楼梦研究20121211a,越小，说明直线回归越好。这就部分地解决了我们判断线性回归好不好的问题。,这里还得到一个副产品：,从而,所以,红楼梦研究20121211a,相关系数,红楼梦研究20121211a,可见,|r|越接近于1，直线回归越好。,如果|r|接近于1，F值就会比较大。但是如果没有线性相关关系，F值较大的可能性很小。所以据此判断有线性相关关系。,事实上，如果没有线性相关关系，那么,红楼梦研究20121211a,例：教材73页例一的数据。用 Excel计算：