1.2.1充要条件

1、选修21第一章常用逻辑用语,1.2充分条件与必要条件 （共两课时）,判断下列命题的真假.,（1）若xy，则 x2=y2 （2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x2 1，则x1 （4）若x1或x2,则 x2 3x20,问题1:条件和结论有什么关系,真,假,假,真,a = 0 ab = 0,问题1:说明条件和结论有什么关系？,（1）xy x2y2,（2）ab = 0 a = 0,（3）x21 x1,（4）x1或x2 x23x20,x1,x23x20 x1或x2,x2y2 xy,；,；,；,；,概念,一、充分条件与必要条件,一般地， “若p，则q” 为真命题， 是指由p经过推理能推出q， 也就

2、是说，如果p成立，那么q一定成立 即：只要有p就能充分地保证q的成立， 这时我们说p可推出q，,我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件,如何理解充分条件 和必要条件？,上述定义知“ ”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，但同时说q是p的必要条件是为什么呢？,理解概念,q是p的必要条件说明没有q就没有p了， q是 p成立的必不可少条件，当然有q 未必一定有p.,这时逆否命题：q，则p,是真命题！,即：“有p就有q”，那么“无q必定无p”，q对p而言是必不可少的！,充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证结论成立的。 “有之必成立，无之未必不成立”,理解概念,必

3、要性：必要就是必须，必不可少。 “有之未必成立，无之必不成立”,你能举例说明吗？生活中有吗？,你能举例说明吗？生活中有吗？,从集合角度理解：,P足以导致q,也就是说条件p充分了； q是p成立所 必须具备的前提。,二、充要条件,一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 即：如果p q,那么p 与 q互为充要条件.,一般地， 若pq ,但qp，则称p是q的充分但不必要条件； 若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件； 若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件,从集合角

4、度理解：,若pq ,但q p，则称p是q的充要条件,例题1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题p是q的充分条件？ (1)若x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在(，)上为增函数； (3)若x为无理数，则x2为无理数.,数学运用,点拨：事实上就是判断“p q”是否为真命题。,如(1)中“x1” “x2-4x+3=0”，所以“x1” 是 “x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推，故“x1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非必要条件.,例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 q是p的必要条件？ (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则

5、这两个三角形的面积相等; (3)若ab，则acbc.,点拨：还是判断“p q”是否为真命题。 但要特别注意说法：如：,（1） x=y x2=y2，我们说 x2=y2 是x=y的必要条件.,（1）xy是x2y2的_ 条件 （2）ab = 0是a = 0 的_条件 （3）x21是x1的_条件 （4）x1或x2是x23x20的_条件,充分不必要,必要不充分,既不充分又不必要,充要,例题3.填空题，试用适当的词语填空,例题4：指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （3） p：ab；q：a2b2 （4）

6、 p：四边形的四条边相等； q：四边形是正四边形.,数学运用,（1）充分不必要条件,（2）充要条件,（3）既不充分又不必要条件,（4）必要不充分条件,“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的 条件； “x5”是“x3”的 条件； “x3”是“|x|3”的 条件； “个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件； “至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；,练习,运用本节课所讲的知识填空,充分非必要,充分非必要,必要非充分,充分非必要,必要非充分,思维活动想一想,1.给出一个命题p，能否写出它的多个充分条件？这些充分条件一定有因果关系吗？,2.给出一个命题p，能否写出它的多

7、个必要条件？这些必要条件一定有因果关系吗？,不一定有因果关系！,不一定有因果关系！,素质拓展与学科渗透,现规定电路中，记“开关K 闭合”为p，“灯泡L 点亮”为q，指出下列各电路图中p是q的什么条件？,p 是q 的 充要条件,p 是q 的 必要而不 充分条件,p 是q 的 充分而不 必要条件,p 是q 的既 不充分也不 必要条件,课堂小结,1.充分条件,p是q的充分条件,p q,这时q是p的必要条件！,2.必要条件,p是q的必要条件,q p,这时 q是p的充分条件！,3.充要条件,p是q的充要条件,p q,这时p、 q互为充要条件！,选修21第一章常用逻辑用语,1.2充分条件与必要条件 （第二

8、课时）,一、复习回顾,1.充分条件 若pq , 则称p是q的充分条件；,2.必要条件 若pq , 则称q是 p的必要条件；,3.充要条件 若p q，则称p是q的充要条件.,若pq ,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；（有p就有q） 若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；（无p则无q） 若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件（p与q等价）,一般说法：,二、概念理解,注意下列说法：,1.若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件;,这时pq成立（是真命题）,2.若p是q的必要条件，那么q是p的充分条件;,这时q p成立（是真命题）,比较下列说法：,这时pq成立,q p,q p,

9、q p,充分性 p q,充分性 p q,三、问题再现,1.x2是“x3”的（ ）条件？ A.充分非必要条件；B.必要非充分条件； C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.,B,2.下列哪个条件是x5成立的必要条件？( ) A.x1; B.x8; C.x5; D.x6.,A,点评：若“xa”是“xb”的充分条件，则ab. “大于一个较大的数则必大于一个较小的数”,提示:x3 x2,提示:x5 ?,(1)下列哪个条件是x5成立的必要条件？( ) A.x1; B.x8; C.x5; D.x6.,(2)下列哪个条件是x5成立的充分条件？( ) A.x1; B.x8; C.x5; D.x6.,比较下列说

10、法：,(3) x5成立的必要条件是？( ) A.x1; B.x8;,A,提示:x5 ?,提示: ? x5,提示:x5 ?,B,A,三、问题再现,2.判断下列说法哪些是正确的？ (1)x=2是x2-3x+2=0的必要条件； (2) x=2的一个必要条件是x2-3x+2=0 ； (3) x2-3x+2=0的一个充分条件是x=2； (4) x2-3x+20的一个充分条件是x2.,点拨： “x2-3x+2=0”可以写成“x=2”或“x=1”,所以，x=2 x2-3x+2=0,但x2-3x+2=0时，x未必等于2.,三、问题再现,3.p是r的充分非必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么q是p成立的（ ） A.充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件； D.既非充分也非必要条件.,提示1：p r,提示2：r s,提示3：s q,p q,B,例3：求方程ax22x10(a0)至少有一负根的充要条件,寻找充分、必要条件,充分、必要条件的证明,反思小结：把握这种命题的结构形式，确定哪是条件，是什么条件，是抓住证明格式的关键本题证明充分性就是由“q=-1an为等比数列”，所以“q=-1”是条件；证明必要性是由“数列a