《MATLAB的运算基础》PPT课件.ppt

1、第三讲 MATLAB的运算基础,1. 简单的数学运算 常用的数学运算符 ，*（乘），/（左除），（右除），（幂） 在运算式中，MATLAB通常不需要考虑空格；多条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔开；逗号告诉MATLAB显示结果，而分号则禁止结果显示。 常用数学函数 abs, sin, cos, tan, asin,acos, atan, sqrt, exp, imag, real, sign,log,log10,conj等,elfun函数库中提供一系列复数函数,real 复数的实数部分 real(b) imag 复数的虚数部分 imag(b) abs 绝对值或模 abs(b) angl

2、e 幅角 angle(b) 结果为弧度 angle(b)*180/pi 结果为角度 conj 复数共轭 conj(b),在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（）之後，并按入Enter键即可。例如： (5*2+1.3-0.8)*10/25 ans = 4.2000 MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans，代表MATLAB运算後的答案（Answer），并显示其数值于屏幕,运算是定义在数据结构上的，数组是其中最重要的一种数据类型。 MATLAB的基本运算单元是 复数矩阵，标量、向量、常数矩阵都是其中的特例。 注意：在运算时，数组与矩阵有显著不同，矩阵运算是从矩阵整体出发

3、；数组运算时从数组的元素出发。,矩阵的建立可以通过赋值语句实现，赋值符号左边为变量名，右边为矩阵元素。矩阵元素应用方括号()括住。,y=2,4, 5 3 6 8 y= 2 4 5 3 6 8,2.1 矩阵的输入,2. MATLAB矩阵运算,a=1; b=2; c=3; x=5 b c; a*b a+c c/b x= 5.000 2.000 3.000 2.000 4.000 1.500,a. 在命令窗口中输入,矩阵生成不但可以使用数字（含复数），也可以使用变量（或者说采用一个表达式），表达式可以由数字、变量、运算符和函数等组成。 矩阵同行内的元素间用逗号或空格隔开，行与行之间用分号，矩阵的元素

4、直接排列在方括号内，大的矩阵可以用分行输入，回车键代表分号。,例 在命令窗口输入语句 x=-1.3 1+2+3 sqrt(5),%sqrt是求平方根函数,按回车键，指令被执行，MATLAB命令窗中显示以下结果,x = -1.3000 6.0000 2.2361,（1）用线性等间距生成向量矩阵（start:step:end） a=1:2:10 a= 1 3 5 7 9,其中start为起始值，step为步长，end为终止值。当步长为1时可省略step参数；另外step也可以取负数。,b. 语句生成,（2）a=linspace(n1,n2,n) 在线性空间上，行矢量的值从n1到n2，数据个数为n，

5、缺省n为100。 a=linspace(1,10,10) a= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,（4）函数库elmat提供的常用的特殊矩阵生成函数 单位矩阵：eye(m,n); eye(m) 零矩阵：zeros(m,n); zeros(m) 一矩阵：ones(m,n); ones(m) 对角矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V) 随机矩阵：rand(m,n)产生一个0、1间均匀分布的mn的随机矩阵,rand(m),（3）a=logspace(n1,n2,n) 在对数空间上，行矢量的值从10n1到10n2，数据个数为n，缺省n为50。这个指令为建立对数频域轴坐标提

6、供了方便。 a=logspace(1,3,3) a= 10 100 1000, eye(3,4) ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 zeros(2) ans = 0 0 0 0 ,ones(3,2) ans = 1 1 1 1 1 1 diag(2 3 6) ans = 2 0 0 0 3 0 0 0 6 rand(2,3) ans = 0.9501 0.6068 0.8913 0.2311 0.4860 0.7621 ,（5）用于专门学科的特殊矩阵 魔方矩阵 magic(n) 功能：魔方矩阵的元素由1到nn 的自然数组成，魔方矩阵的每行、每列及两条对角线上的元素和都

7、相等。其每行、每列及对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。 m1=magic(2) %产生2阶魔方阵 m2=magic(3) %产生3阶魔方阵, m=magic(3) m = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 ,范得蒙矩阵 vander(V) 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵，矩阵元素最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。 v1=vander(1;2;3;5) v2=vander(1:3) v3=vander(1:4),v1 = 1 1 1 1 8

8、 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1,v2 = 1 1 1 4 2 1 9 3 1,v3 = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1,希尔伯特矩阵 hilb(n) 生成n阶的希尔伯特矩阵 invhilb(n) 求n阶的希尔伯特矩阵的逆 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 format rat %以有理形式输出 H=hilb(4) invH=invhilb(4),H = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 invH = 16 -120 240 -140 -120 12

9、00 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 ,帕斯卡矩阵 n阶帕斯卡矩阵的生成函数的格式：pascal(n) 求(x+y)4的展开式。 p1=pascal(4) p1 = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 由执行结果可知，矩阵次对角线上的元素1,4,6,4,1即为展开式的系数。,c 通过MAT数据文件加载矩阵,通过load命令或选择菜单FileImport Data命令加载MAT数据文件来创建矩阵。,d 在M文件中创建矩阵,M文件实际上是一种包含MATLAB代码的文本文件；通过在MATLAB

10、命令窗口中运行M文件创建矩阵。,例: 用linspace和logspace函数生成向量,t1=linspace(0,2*pi,5) t2=linspace(1,4,5) t3=logspace(0,2,3) %从1到100（即 100到102）按对数等分成3个点,eye(2,3) ans= 1 0 0 0 1 0 zeros(2,3) ans= 0 0 0 0 0 0 ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 V=5 7 2; A=diag(V) A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2,eye(2) ans= 1 0 0 1 zeros(2) ans= 0 0 0 0 ones(

11、2) ans= 1 1 1 1,如果已知A为方阵，则V=diag(A)可以提取A的对角元素构成向量V。,(1) 转置：对于实矩阵用（）符号或（.）求转置结果是一样的；然而对于含复数的矩阵，则（）将同时对复数进行共轭处理，而 （.）则只是将其排列形式进行转置。,a=1 2 3;4 5 6 a = 1 4 2 5 3 6,a=1 2 3;4 5 6. a = 1 4 2 5 3 6,b=1+2i 2-7i b = 1.0000 - 2.0000i 2.0000 + 7.0000i b=1+2i 2-7i. b = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 7.0000i,2.2 矩阵的运

12、算,+ - * 和 / .* . 和 ./ . 如：a=1 2;3 4；b= 3 5; 5 9 c=a+b d=a-b c= d= 4 7 -2 -3 8 13 -2 -5 a*b=13 23; 29 51 a/b=-0.50 0.50;3.50 1.50 ab=-1 -1;2 3 a3=37 54; 81 118 a.*b=3 10;15 36 a./b=0.33 0.40;0.60 0.44 a.b=3.00 2.50;1.67 2.25 a.3= 1 8; 27 64,(2) 四则运算与幂运算,只有维数相同的矩阵才能进行加减运算。 注意只有当两个矩阵中前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相

13、同时，才可以进行乘法运算。ab运算等效于求a*x=b的解；而a/b等效于求x*b=a的解。只有方阵才可以求幂。 点运算是两个维数相同矩阵对应元素之间的运算，在有的教材中也定义为数组运算。,(3)逆矩阵与行列式计算 求逆：inv(A)； 求行列式：det(A) 要求矩阵必须为方阵,4、矩阵超越函数 在MATLAB中exp、sqrt等命令也可以作用到矩阵上，但这种运算是定义在矩阵的单个元素上的，即分别对矩阵的每一个元素进行计算。 超越数学函数可以在函数后加上m而成为矩阵的超越函数，例如：expm, sqrtm。矩阵的超越函数要求运算矩阵为方阵。,a=1 2 3; 4 5 6; 2 3 5; b=i

14、nv(a) b = -2.3333 0.3333 1.0000 2.6667 0.3333 -2.0000 -0.6667 -0.3333 1.0000 det(a) ans = -3,A(m,n)：提取第m行，第n列元素 A(:,n)：提取第n列元素 A(m,:)：提取第m行元素 A(m1:m2,n1:n2)：提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2列的所有元素（提取子块）。 A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。 矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这个数，而且在其他没有指定的位置补零。 消除子块

15、：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵 ，则相当于消除了相应的矩阵子块。,2.3 矩阵的操作,(1) 矩阵下标 MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子块，提取子块和重排子块的操作。,(2) 矩阵的大小 m,n=size(A,x)：返回矩阵的行列数m与n，当x=1，则只返回行数m，当x=2，则只返回列数n。 length(A)=max(size(A)：返回行数或列数的最大值。 rank(A)：求矩阵的秩,a=1 2 3;3 4 5; m,n=size(a) m = 2 n = 3,length(a) ans = 3 max(size(a) ans = 3,rank(a) ans = 2,(3

16、) 了解矩阵操作函数：flipud；fliplr；rot90 a=1 2 3;3 4 5; a1=flipud(a) a2=fliplr(a) a3=rot90(a),运行结果： a1 = 3 4 5 1 2 3 a2 = 3 2 1 5 4 3 a3 = 3 5 2 4 1 3,在MATLAB中，多项式使用降幂系数的行向量表示，如：多项式,p=poly(r) p = 1 -12 -0 25 116,（1）多项式的建立与表示方法,r=roots(p) r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i,表示为：p=1 -12 0 25

17、116，使用函数roots可以求出多项式等于0的根，根用列向量表示。若已知多项式等于0的根，函数poly可以求出相应多项式。,3. MATLAB多项式处理,（2）多项式的运算,相乘conv a=1 2 3 ; b=1 2 c=conv(a,b)=1 4 7 6 conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a,b),c) 相除deconv q,r=deconv(c,b) q=1 2 3 商多项式 r=0 0 0 余多项式 求多项式的微分多项式polyder polyder(a)=2 2 求多项式函数值polyval(p,n)：将值n代入多项式求解。polyval(a,2)=11,（3）*多项

18、式的拟合 多项式拟合又称为曲线拟合，其目的就是在众多的样本点中进行拟合，找出满足样本点分布的多项式。这在分析实验数据，将实验数据做解析描述时非常有用。 命令格式：p=polyfit(x,y,n)，其中x和y为样本点向量，n为所求多项式的阶数，p为求出的多项式。 a=0 2 4 5 12 11 6 5;b=7 8 0 6 1 2 3 4; p1=polyfit(a,b,3) p2=polyfit(a,b,5),p1 = -92/20803 81/721 -1123/903 4597/601 p2 = 35/9043 -281/2311 590/449 -841/151 2780/399 1175

19、/166 ,（4）*多项式插值 多项式插值是指根据给定的有限个样本点，产生另外的估计点以达到数据更为平滑的效果。该技巧在信号处理与图像处理上应用广泛。 所用指令有一维的interp1、二维的interp2、三维的interp3。这些指令分别有不同的方法（method），设计者可以根据需要选择适当的方法，以满足系统属性的要求。Help polyfun可以得到更详细的内容。 y= interp1(xs,ys,x,method) 在有限样本点向量xs与ys中，插值产生向量y，所用方法定义在method中，有4种选择： linear：默认值，在样本点上斜率变化很大 nearest：执行速度最快，输出结

20、果为直角转折 spline：最花时间，但输出结果也最平滑 cubic：最占内存，输出结果与spline差不多,xs=0 2 3 5 8 9 12; ys=3 6 9 8 0 6 9; x=0:0.1:12; y1=interp1(xs,ys,x, nearest); y2=interp1(xs,ys,x, linear); y3=interp1(xs,ys,x, spline); plot(xs,ys, o,x,y1, b, x,y2, k, x,y3, r),4* MATLAB数据处理 4.1、矩阵分解 （1）奇异值分解 U,S,V=svd(A),求矩阵A的奇异值及分解矩阵，满足U*S*V=

21、A，其中U、V矩阵为正交矩阵（U*U=I），S矩阵为对角矩阵，它的对角元素即A矩阵的奇异值。,例：a = 9 8 6 8 u,s,v=svd(a) u = 0.7705 -0.6375 0.6375 0.7705 s = 15.5765 0 0 1.5408 v = 0.6907 -0.7231 0.7231 0.6907,可以验证 u*u=I v*v=I u*s*v=a,（2）特征值分解 V,D=eig(A) 例： a = 9 8 6 8 v,d=eig(a) v = 0.7787 -0.7320 0.6274 0.6813 d = 15.4462 0 0 1.5538,求矩阵A的特征向量V及特征值D，满足A*V=V*D。其中D的对角线元素为特征值，V的列为对应的特征向量。如果D=eig(A)则只返回特征值。,可以验证：A*V=V*D,（3）正交分解 Q,R=qr(A) 例： a = 9 8 6 8 q,r=qr(a) q = -0.8321 -0.5547 -0.5547 0.8321 r = -10.8167 -11.0940 0 2.2188,将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。,norm(q) ans = 1,q*r