量纲分析法.ppt

1、4.1量纲分析建模法,1. 量及其度量 10. 模型所涉及的主要是量不是数 20. 量（物理量）可以分为： 基本量：基础的，独立的量 长度、质量、时间、 导出量：由基本量通过自然规律导出的量 速度、加速度、力、 30. 量的度量体系 单位制： 基本量及其度量单位,一. 量与量纲,40. 国际单位（SI）制 基 本 量 名称 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd 物质的量 N 摩尔 mol,导 出 量 名称 单 位 符 号 力 牛 顿 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J（kgm2s-2） 功率 瓦

2、 特 W（kgm2s-3） 频率 赫 兹 Hz（s-1） 压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）,2. 量纲： 10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式 Q=L M T I J N 为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。, , , , , , 称为量纲指数。 例. 长度=L、质量=M、时间=T、 面积=L2 体积=L3、 速度=LT-1, 加速度=LT-2、力=MLT-2, 能量=ML2T-2.,注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。 2. 对于某个物理量Q, 如果 Q=L M T I J N ， 有=0，则称之为无量

3、纲量，记为Q=1 。它将不依赖于选定的基本量。 3. 无量纲量不一定是无单位的量。,20. 量纲齐次法则 一个规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。,例如, 牛顿第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2,二. 量纲分析,量纲分析是在物理领域中建立数学 模型的方法，利用物理量的量纲提供的 信息，根据量纲齐次法则确定物理量之 间的关系。,在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的” 数,而是反映事物某一特性的度量.,用数加单位来表示具体度量；,用量纲的概念来表示被度量的特性.,量纲分析法是一种有效的物理建模方法,一.单位,SI 国际单位制（米千克秒）；,f

4、ps 英制单位制（英尺磅秒）,一个模型中单位必须统一,二.量纲,时间（T）,基本物理量,质量（M）,长度（L）,力学中，任何物理量 都可以表示为其组合形 式，称这种组合形式为 物理量的量纲.,称为 基本量纲,其中 质量= m =M, 长度= l =L, 时间= t =T,例4.1.1,加速度= a =LT2 ;,因为力 F=ma, 故 F = m a =MLT2;,部分物理常数也有量纲，如万有引力定律,中的引力常数K的量纲为,速度= v = = =LT1 ;,部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如 角度=LL1=L0,尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).,量 纲 独 立 于 单 位,三.

5、量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）,量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有 左边 = 右边,1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.,2. 无量纲化方法减少参数个数.,例4.1.2 非线性震荡运动方程,模型中有参数：m、K、C,令 x0=x(0) , w0 = , v0=x0 w0 ,根据量纲齐次性, 有, w0 =T1 , F =MLT2 , K =MT2, C = MT1.,引进无量纲量： T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0,特点？,代入原方程，有,= XAV+F0,其中，因v0=x0w0 , w0=,原方程变形为,优点：,1

6、. 减少了参数的个数；,2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.,4.2 量纲分析建模范例,量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.,对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系.,例4.2.1 单摆运动,将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用,下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式.,求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g， 假设它们之间有关式,其中1,2,3是待定常数,是无量纲的 比例常数.上式的量纲表达式为,(1),将 t =T, m=M,

7、 l =L, g =LT2 代入得,(2),按照量纲齐次性,有,求解为,代入式(1) 得,续例4.2.1 单摆运动的抽象,设变量关系为 f (t，m，l，g) =0， (3) 假设各变量间的关系如下：,(4),其中y1y4 是待定常数,是无量纲量. 各变量的量纲用基本量纲表示如下： t =L0M0T1, m =L0M1T0, l =L1M0T0, g =L1M0T2,(4) 式的量纲表达式为,根据量纲齐次性，有线性方程组成立,解得方程组的一个解为,代入(4)式有,或者,(5),将此例一般化有以下定理,Buckingham Pi定理：,设有m 个物理量 q1，q2， qm , 而 f (q1，q

8、2， qm )=0 (6),是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2, , Xn 是基本量纲,其中nm，q1，q2， qm 的量纲可表为,矩阵A=ai,jnm称为量纲矩阵. 若A的秩 Rank(A)=r,若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 mr个基本解为：,ys=(ys1, ys2, , ysm)T , s=1,2, ,mr,为 mr 个相互独立的无量纲量,且,F(1, 2, ，mr)=0 (7),与(6) 式等价, 其中F的形式未知.,例4.2.2 航船阻力,长度为l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不 考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船 的诸变量l, h, v

9、以外,还与水的参数密度, 粘性系数,以及重力加速度g有关.,下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.,1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为,(f, l, h, v, g)=0 (8),2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为,3.写出量纲矩阵,(f) (l) (h) (v) () () (g),方程有mr=73=4个基本解, 可取为,4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3,5. 给出4个相互独立的无量纲量,(9),式(9) 与 (1,2,3,4)=0 等价,是 未定的函数.两式表达了航船问题中各物 理量之间的全部关系.,为得到阻力f

10、的表达式，由式(1)及式(9)中 4的式子可写出,f=l2v2(1,2,3) 其中表示一个未定函数,用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量 之间的关系，这个结果用通常的机理分析法 难以得到,虽然函数的形式无从知道,但这个表达式 在物理模拟问题中仍有用途.,例4.2.3 物理模拟中的比例模型,利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航 船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力,量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变,模型中的各物理量： 原型中的各物理量：,有,当无量纲量,成立时,可得,原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他 有关量算出.,应用量纲分析法建立数学模型应注意：,1. 正确确定模型中所含物理量,主要靠经验和背景知识, 没有一般的方法可以 保证得到的结果是正确或有效.,2. 合理选择基本量纲,3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.,一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题 加上温度量纲，电学问题加上电量量纲Q).,量纲分析建模方法有如下优缺点:,1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂