（江西专用）2014年高考数学一轮复习 5.3 平面向量数量积与综合应用课件 文 新人教A版

1、5.3平面向量数量积与综合应用,一、两个向量的夹角,1.定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则AOB=叫 做向量a与b的夹角.,2.范围:向量夹角的范围是0180,a与b同向时,夹角=0,a与b反向时,夹角= .,3.向量垂直:如果向量a与b的夹角是90,则a与b垂直,记作:ab.,1.a,b是两个非零向量,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积,记作ab,即ab=|a|b|cos ,规定0a=0,当ab时,=90,这时ab=0.,2.ab的几何意义:ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos 的乘积.,二、平面向量数量积的意义,2.若a,b是非零向量

2、,则abab=0且ab=0ab;,3.aa=, |a|= ;,4.若a,b是非零向量,则cos= ;,5.|ab|a|b|.,三、向量数量积的性质,1.如果e是单位向量,则ae=ea=|a|cos;,2.分配律:(a+b)c=ac+bc;,3.R,(ab)=(a)b=a(b).,四、数量积的运算律,1.交换律:ab=ba;,3.|a|= ;,4.若a,b是非零向量,则cos= .,五、数量积的坐标表示,设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则,1.ab=a1b1+a2b2;,2.aba1b1+a2b2=0;,1.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b与a垂直,则=.,【解析

3、】a+b=(+4,-3-2),a+b与a垂直,则(+4)1+(-3-2)(-3)=0,10=-10,=-1.,【答案】-1,2.平面向量a与b的夹角为120,a=(-2,0),|b|=1,则|a+b|等于 (),(A)3.(B). (C)7.(D).,【解析】由题意得:|a|=2,|a+b|=,= = .,【答案】B,3.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180,且|b|=3,则b= .,【解析】 向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180,向量b与向量a共线,向量b可以设为(,-2), =3,= 3.反向,=-3,b=(-3,6).,【答案】(-3,6),题型1求两向量的夹角,例1已

4、知|a|=1,ab=,(a-b)(a+b)=,求,(1)a与b的夹角;,(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.,【分析】(1)由a-b与a+b的数量积可得出|a|,|b|的关系;(2)计算a-b与a+b的模.,又|a|=1,|b|= =.设a与b的夹角为,则cos = =.又0,=.,(2)(a-b)2=a2-2ab+b2=1-2+=,|a-b|=.,【解析】(1)(a-b)(a+b)=,|a|2-|b|2=.,(a+b)2=a2+2ab+b2=1+2+=,|a+b|=.,设a-b与a+b的夹角为,则cos = = =.,【点评】本题重在对基础知识及基本运算的考查.,变式训练1已知向量a,b满足

5、:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)(2a-b)=61.,(1)求ab的值;,(2)求向量a与b的夹角.,(2)设向量a与b的夹角为,则cos = = =,又0,可知向量a与b的夹角为60.,【解析】(1)由(2a+3b)(2a-b)=61,得4a2+4ab-3b2=61.,又|a|=4,|b|=3,可得ab=6.,题型2两平面向量的平行垂直问题,例2设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac, bc,则|a+b|等于(),(A).(B) .(C)2 .(D)10.,【分析】先由向量垂直的充要条件求出x,向量平行的充要条件求出y,再由模的公式求模.,解得y=

6、-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|= = .,【答案】B,【解析】因为ac,所以ac=0, 即2x-4=0,解得x=2.由bc,得-4=2y,【点评】本题考查平面向量垂直与平行的充要条件、向量的坐标运算、向量的模等.,变式训练2已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于(),(A)(,).(B)(-,-).,(C)(,). (D)(-,-).,【答案】D,【解析】不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)b,则有3(1+m)=-2(2+n).又c(a+

7、b),则有3m-n=0,则有m=-,n=-,故答案D.,题型3向量与三角函数,例3已知向量a=(cos,sin),b=(cos,-sin)且x -,.,(1)求ab及|a+b|;,(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.,【分析】利用数量积的坐标运算及性质即可求解,在求|a+b|时注意x的范围.,【解析】(1)ab=coscos-sinsin=cos 2x,|a+b|=,= =2|cos x|.,x-,cos x0,|a+b|=2cos x.,cos x1,当cos x=时,f(x)取得最小值-;当cos x=1时 取得最大值-1.,【点评】本题是向量知识结合三角函数知

8、识及函数知识的一个综合题,考查学生的综合能力.,(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.x-, ,变式训练3已知a=(sin x,1),b=(cos x,0),0,又函数f(x) =b(a-kb)是以为最小正周期的周期函数.,(1)求函数f(x)的值域;,(2)若函数f(x)的最大值为,则是否存在实数t,使得函数f(x)的 图像能由函数g(x)=tab的图像经过平移得到?若能,求出实数t,并说明如何平移,若不能,说明理由.,f(x)=b(a-kb)=(sin x-kcos x)cos x,=sin xcos x-kcos2x,=sin

9、 2x-(1+cos 2x),= sin(2x-)-(其中tan =).,f(x)的最小正周期为,且0,=2,【解析】(1)a-kb=(sin x-kcos x,1),f(x)= sin(4x-)-.,由-1sin(4x-)1,知f(x)的值域为- -, -.,(2)由 -=,得k=1,f(x)=sin 4x-cos 4x-,=sin(4x-)-.,又ab=sin 2xcos 2x=sin 4x,当t= 时,g(x)=sin 4x,将g(x)的图像向右平移个单位,再向下平移个单位,得到f (x)的图像,故存在t=,使g(x)的图像向右平移个单位,再向下平移 个单位后得到f(x)的图像.,1.在

10、求夹角的过程中,当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得ab及|a|,|b|得出它们的关系,若已知a与b的坐标,则可直接利用公式cos =.,2.在求模的过程中,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理办法:(1)|a|2=a2=aa,(2)|ab|2=a22ab+b2,(3)若a=(x,y)则|a|=.,x1y2-x2y1=0(b0).,在证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:abab=0 x1x2+y1y2=0.,4.要注意向量应用的综合性,即向量和其他数学内容的结合,如和函数、数列、三角、解析几何等结合.这类题目往往综合度要求比较高.,3.在证明平行问题,常用

11、向量平行的充要条件:aba=b,例(12分)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4 cos ),c=(cos ,-4sin ).,(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;,(2)求|b+c|的最大值;,(3)若tan tan =16,求证:ab.,得a(b-2c)=ab-2ac=0,即4sin(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2.4分,(2)|b+c|2=(b+c)2=b2+c2+2bc=sin2+16cos2+cos2+16sin2+2(sin cos -16sin cos ),=17-30sin cos =17-15sin 2,最大值为32,所以|b+c|的最

12、大值为4.8分,【解析】(1)由a与b-2c垂直,即4cos 4cos -sin sin =0,故ab.12分,答题流程,第一步,将向量间的关系转化为三角函数式;,第二步,化简三角函数式;,第三步,求三角函数式的值或分析三角函数式的性质;,第四步,明确结论;,(3)由tan tan =16,得sin sin =16cos cos ,第五步,反思回顾,查看关键点、易错点和规范解答.,【点评】(1)本题是典型的向量与三角函数的综合题,题目难度中档,属高考的重点题型.,(2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系,转化为三角函数的问题,利用三角函数解决.,(3)易错分析.在将向量关系转化为三角

13、函数式时易出错.在第(3)问中,学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明ab,事实上是忽略了ab的条件.,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),1.(基础再现)已知向量a=(cos 75,sin 75),b=(cos 15,sin 15),那么|a-b|的值是(),(A).(B).(C).(D)1.,= =1.,【答案】D,【解析】a-b=(cos 75-cos 15,sin 75-sin 15),|a-b|=,2.(基础再现)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是(),(A).(B).(C).(D).,【答案】C,【解析】|a+b|=2|a

14、|可得a2+b2+2ab=4a2,|a-b|=2|a|也可得a2+b2-2ab=4a2,于是有ab=0,b2=3a2,所以cos= = = =-,所以向量a+b与a-b的夹角是.,3.(高度提升)已知向量a=(2,3),b=(-5,-1),若ma+nb(m0)与a垂直,则等于(),(A)-1.(B)0.(C)1.(D)2.,【解析】 ma+nb=(2m-5n,3m-n),因为ma+nb与a垂直,所以(2m-5n)2+(3m-n)3=0,解得=1.,【答案】C,4.(高度提升)已知向量a=(-2,1),b=(-3,0),则a在b方向上的投影为(),(A)-2.(B) .(C)2.(D)- .,【

15、解析】a在b方向上的投影为|a|cos= = =2.,【答案】C,5.(能力综合)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值为(),(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.,【解析】a+b+c=0,c=-(a+b).,(a-b)c,(a-b)-(a+b)=0.,即|a|2-|b|2=0,|a|=|b|=1,ab,ab=0,|c|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=1+0+1=2.,|a|2+|b|2+|c|2=4.,【答案】D,6.(基础再现)与a=(3,-4)垂直的单位向量为.,【解析】设与a=(3,-4)垂直的单位向量

16、为b=(x,y),则有解得y=,当y=时,x=;当y=-时,x=-.所以与a=(3, -4)垂直的单位向量为(,)或(-,-).,【答案】(,)或(-,-),二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),7.(基础再现)ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则 的值为.,【解析】由余弦定理得:36=49+25-257cos B,解得:cos B=,有cos(-B)=-,于是 =75(-)=-19.,【答案】-19,8.(视角拓展)若向量e1与e2满足:|e1|=2|e2|=2,(e1+2e2)2=4,则e1与e2所夹的角为.,【解析】由(e1+2e2)2=4,可得+4+4e1e2=4,

17、有4+4+421 cos=4,得cos=-,则e1与e2所夹的角为.,【答案】,9.(高度提升)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向量m=(sin(A-B),a2-b2)与向量n=(sin(A+B),a2+b2)共线,若角C=120,则角A=.,【解析】由已知得 = , = , =, = ,利用余弦定理得 = ,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则a=b或a2+b2=c2(舍),则A=B=30.,【答案】30,10.(视角拓展)已知向量m=(cos A,sin A),n=(2,-1),且mn=0.,(1)求tan A的值;,(2)求函数f(x)=cos 2x+tan

18、 Asin x(xR)的值域.,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),因为xR,所以sin x-1,1.,当sin x=时,f(x)有最大值;当sin x=-1时,f(x)有最小值-3.,故所求函数f(x)的值域是-3,.,【解析】(1)由题意得mn=2cos A-sin A=0,因为cos A0,所以tan A=2.,(2)由(1)知tan A=2得f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2(sin x-)2+.,11.(高度提升)已知a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(xR,kR).,(1)若x-,且a(b+c),求x的值.,(2)若xR,是否存在实数k,使(a+d)(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)b+c=(sin x-1,-1),a(b+c),-(2+sin x)=sin x-1,sin x=-.,x-,x=-.,(2)a+d