椭圆的简单几何性质.ppt

1、2 . 2 椭 圆,选修 2-1,第二章 圆锥曲线,2.2.1 椭圆简单的几何性质,注：求标准方程的过程中，我们学到了什么？,2、求曲线方程的基本方法：直接法、代入法、参数法、待定系数法.,注：求曲线方程的过程中我们要注意什么？,复习回顾,1、椭圆的定义、标准方程及其一般方程,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,椭圆的标准方程,一、椭圆的范围,由,即,说明： 椭圆位于矩形之中。,几何性质,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,椭圆的标准方程,二、椭圆的对称性,在,椭圆关于坐标轴轴对称; 关于原点中心对称.,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心,几何性质,思考:你能从椭圆的方程看出它的对称性吗?

2、,三、椭圆的顶点,在,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,几何性质,四个顶点坐标为: A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b),*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,根据的 性质说出 的性质,A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b),关于X、Y轴对称，关于原点对称,|x|a;|y|b,|x|b;|y|a,A1(0,-a)、A2(0,a)、B1(-b,0)、B2(b,0),关于X、Y轴对称，关于原点对称,y,x,o,F,1,F,2,y,x,o,F,1,F,2,

3、A2,A1,B1,B2,A1,A2,B!,B2,A2,A1,A2,A1(m-a,n)、A2(+a，n)、B1(m,n-b)、B2(m,n+b),关于x=m、Y=n轴对称，关于(m,n)对称,|x-m|a;|y-n|b,|x-m|b;|y-n|a,A1(m,n-a)、A2(m,n+a)、B1(m-b,n)、B2(m+b,n),关于x=m、Y=n轴对称，关于(m,n)对称,y,x,o,F,1,F,2,y,x,o,F,1,F,2,B1,B2,A1,B!,B2,四、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围： 因为 a c 0，所以1 e 0,2离心率对椭圆

4、形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小（？），椭圆就越扁（？） 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大（？），椭圆就越圆（？） 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）e=1呢?,几何性质,1椭圆标准方程,所表示的椭圆的存在范围是什么？,2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？,3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？,4对称轴与长轴、短轴是什么关系？,52a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？,6关于离心率讲了几点？,回 顾,例1,求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦

5、点和顶点坐标,解：把已知方程化成标准方程,这里，,则椭圆的长轴长和短轴长分别是,离心率,焦点坐标分别是,四个顶点坐标是,例 题,例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）； （2）长轴长等于20，离心率等于 。,例 题,练习:P48练习第1-5题,阅读教材P46例5。,思考：离心率为什么定义为c/a，而不是b/a? 试试从P47的例6中寻找答案！,二、对称性：,三、顶点：,一、范围：,小 结,四、离心率：,如何从方程中看出上述性质？,思考：离心率为什么定义为c/a，而不是b/a? 试试从P47的例6中寻找答案！,二、对称性：,三、顶点：,一、范围：,复习

6、回顾,四、离心率：,如何从方程中得到上述性质？,如图，点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线 l: 的距离的比是常数 .求点M的轨迹.,F,M,动画,例题推广,解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意， 所求轨迹就是集合 P=M| ,y,F,F,l,I,x,o,由此得,将上式两边平方，并化简，得,设 a2-c2=b2,就可化成,这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆,M,对于椭圆 ，相应于焦点F（c,0)的准线方程是 根据椭圆的对称性，相应于焦点 F(-c.0) 准线方程是 所以椭圆有两条准线.两准线间距离是,y,当点M与一个定点的距离的和它到一

7、条定直线(点不在直线上)的距离 的比是常数 时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。,焦点到对应准线的距离是,椭圆的第二定义,1. 椭圆 的一个焦点到两准线的距离分别 是 .,2. 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的两准线间的距离为 ，且焦点对短轴的张角为60，则椭圆的标准方程是 .,练 习,将右准线改为右焦点呢？,3. 椭圆 上的点P到左准线的距离是2.5， 则P到右准线的距离是 .,10,4. 椭圆3x2+4y2=12上一点到左焦点的距离是2.5，则该点 的坐标是 .,5. P为4x2+5y2=20上任一点，F1、F2为其焦点， 求|PF1|P

8、F2|的最值.,5, 4,练 习,例5、如图，已知点P的坐标是（-1，-3）,F 是椭圆 的右焦点，点Q在椭圆上运 动， 当 取最小时，求点Q的坐 标，并求其最小值。,Q(2,-3) 最小值9,练 习,如图，点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线 l: 的距离的比是常数 .求点M的轨迹.,F,M,动画,例题推广,椭圆的第二定义平面内到 的距离与到 . 的距离的 为一个 ( )的点的轨迹。,【小结与练习】,其中 是椭圆的焦点， 是椭圆的准线；,定点F,定直线l,比,常数e,0e1,F,l,椭圆 的准线方程是 、,椭圆 的准线方程是 、,常用结论椭圆两准线间的距离是 、 焦点到相应准线

9、的距离是 .,小 结,焦点半径公式设M(x0，y0)为椭圆 上任一点， 其焦点坐标为F1(-c，0)、F2(c，0)，则 | MF1|= 、|MF2|= .,a+ex0,a-ex0,记忆方法：左加右减,焦点半径公式设M(x0，y0)为椭圆 上任一点， 其焦点坐标为F1(0，-c)、F2(0，c)，则 | MF1|= 、|MF2|= .,a+ey0,a-ey0,记忆方法：下加上减,记忆方法：负加正减,一个中心：椭圆中心 两个基本点：两个焦点 三定：定点定直线定比值 四顶：椭圆的四个顶点 五不变：a,b,c,e,p五个不变量,小 结,练习:课本P50第3题,变式:比改为1:3.,一、直线与椭圆位置

10、关系种类,思考：不同位置关系时直线与椭圆交点的个数不同，用解析的方法如何研究呢？,二个,0个,一个,分析：,二个,0个,一个,相交,思考：直线与椭圆的交点个数与谁相等？,与直线方程和椭圆方程组成的方程组的解的个数相等。,因此，我们就有了判断直线与椭圆位置关系的方法：解方程组！,一定要解方程组吗？,二、常用位置关系判断方法,已知,1将直线方程代入椭圆方程，得到 x （或 y）的一 元二次方程,2计算一元二次方程的判别式,3若 0 ，说明直线与椭圆相交 若 = 0 ，说明直线与椭圆相切 若 0 ，说明直线与椭圆相离,例1,=122 + 416 9 0,所以，直线与椭圆有两个交点，既直线与椭圆相交。

11、,解：由直线方程得,代入椭圆方程 ，整理得,变式:求直线与椭圆相交所得的弦长.,练习1：,自学:课本P47例题例7,练习:P48第6、7 P49第8题,练习2,(1)直线,有几个交点？,答：一个。,(2)直线,有且只有一个,交点，则 m2 为？,答：3/4,(3)直线,有两个公共点，则 k 的变化范围是？,答：,当直线与椭圆相交时,求两交点中点的轨迹方程,所得弦长为 时,求k的值.,小结,（1）判断直线与椭圆位置关系的根本方法是解直线方程和椭圆方程组成的方程组,（2）把直线方程代入椭圆方程后，若一元二次方程好解，则应解方程；若一元二次方程不好解，则计算判别式。,把直线方程代入 椭圆方程,得到一

12、元二次方程,方程好解,方程不好解,计算判别式,解方程,交 点 个 数,位 置 关 系,小结,（3）求直线与椭圆相交所得弦长常用公式,例2：,解：将直线方程代入椭圆方程，得 y2 =0 ，所以 y =0 ，所以直线与椭圆只有一个交点,反思：这种情况下，还用不用判别式？,答：不用。因为，决定直线与椭圆位置关系的直接因素是交点个数。如果交点个数容易确定，当然用不着判别式。用判别式是一种间接方法。,小结一：基本元素,1基本量：a、b、c、e、p（共五个量）,2基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）,3基本线：对称轴、准线（共四条线）,请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置

13、、数量之间的关系）,椭圆几何性质的应用,1. 椭圆9x2+5y2=45的长轴长= 、短轴长= 、 离心率= 、焦点坐标是 、 顶点的坐标 、 范围是 .,巩固练习,6,2. 椭圆以坐标轴为对称轴，一个顶点为(0，13)，另一个 顶点为(-10，0)，则其焦点坐标为 、 离心率为 .,例 3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以 地 球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面439千米，远地 点B 距地面2384千米，地球半径 约为6371千米. 求卫星的轨道方程.,例题分析,A,B,F1 ,F2 ,a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|,a+c=|OB|+|OF2|=|F2

14、B|,1. 已知椭圆 的离心率为 ，求m.,2. 根据下列条件求椭圆的方程：,(1)对称轴为坐标轴，x轴上的一个焦点与短轴两端点连线 互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离为 .,(2)对称轴为坐标轴，焦点在x轴上， , 椭圆上一点M 横坐标与右焦点的横坐标相同，纵坐 标为4.,3. 在椭圆 上任取一点P，P与 短轴两端点的连线交x轴于M、N两点， 求证：|OM|ON|为定值.,N,M,P,巩固练习,椭圆2x2=1-y2的长轴长= 、短轴长= 、 离心率= 、焦点坐标是 、 顶点的坐标 、 范围是 . 椭圆的标准方程的统一形式： .,2,椭圆的另一个定义（第二定义）,例 4、点M（x,y)与定点F（c,0)的距离和它到定直线l : x=a2/c 的距离的比是常数c/