24.1.2垂直于弦直径

1、24.1.2 垂径定理,24.1.2垂直于弦的直径,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,圆的对称性及特性,圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法可以得到:,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原

2、来的图形重合.,这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,弧：,把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， ， 分别与 、 重合,O,A,B,C,D,E,AEBE， ，,即直径CD平分弦AB， 并且平分及,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,推论：,（2)弦的垂直

3、平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?,老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,挑战自我,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,

4、平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,垂径定理的应用,例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,老师提示: 注意闪烁的三角形的特点.,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,例2：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O

5、，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD,1.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= ，,练一练,24mm,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,活 动 三,3如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的

6、半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm.,4如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,巩固训练,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分,例3：如图，圆O的弦AB8 ， D

7、C2，直径CEAB于D， 求半径OC的长。,垂径,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.,例4：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AECD于E， BFCD于F，且圆O的半径为 10，CD=16 ，求AE-BF的长。,练习4:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦AB的长。,图中相等的线段有 :,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD, 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .,弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.,船能过拱桥吗,1 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通