09逻辑代数基础-数字部分new.ppt

1、电子技术数字部分 信电学院电工电子教学部 二零零七年八月,第一章 逻辑代数基础,概述 1.1基本概念、公式和定理 1.2逻辑函数的化简方法 1.3逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换 小结,一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）,逻辑：,事物因果关系的规律,逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系,逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态,高电平,低电平,真,假,是,非,有,无,1,0,0,1,概 述,二、二进制数表示法,1. 十进制（Decimal）- 逢十进一,数码：0 9,位权：,2. 二进制（Binary） - 逢二进一,数码：0 ，1,位权：,3. 八进制（Octal）- 逢八进一,数

2、码：0 7,位权：,4. 十六进制 (Hexadecimal) -逢十六进一,数码：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15),位权：,任意(N)进制数展开式的普遍形式：, 第 i 位的系数, 第 i 位的权,5. 几种常用进制数之间的转换,(1) 二-十转换：,将二进制数按位权展开后相加,(2) 十-二转换：,整数的转换-连除法,26,2,13,余数,2,0,6,2,1,3,2,0,2,1,1,0,1,除基数 得余数 作系数 从低位 到高位,0. 8125,2,1. 6250,2,1. 2500,2,0. 5000,取整,1,1,0

3、,0. 6250,0. 2500,乘基数 取整数 作系数 从高位 到低位,小数的转换-连乘法,快速转换法：拆分法,( 26 )10,= 16 + 8 + 2,= 24 +23 + 21,= ( 1 1 0 1 0 )2,若小数在连乘多次后不为 0，一般按照精确度要求(如小数点后保留 n 位)得到 n 个对应位的系数即可。,2,1. 0000,1,16 8 4 2 1,(3) 二-八转换:,5,7,(4) 八-二转换:,每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数,011,001,.,100,111,每 3 位二进制数相当一位 8 进制数,011,111,101,.,110,100,0,0,0,2

4、,3,4,0,6,2,（5）二-十六转换：,每 4 位二进制数相当一位 16 进制数,A,1,（6）十六-二转换：,每位 16 进制数换为相应的 4 位二进制数,编码：,用二进制数表示文字、符号等信息的过程。,二进制代码：,编码后的二进制数。,用二进制代码表示十个数字符号 0 9，又称为 BCD 码（Binary Coded Decimal ）,几种常见的BCD代码：,8421码,余 3 码,2421码,5211码,余 3 循环码,其他代码：,ISO 码，ASCII（美国信息交换标准代码）,三、二进制代码,二-十进制代码：,几种常见的 BCD 代码,1. 1. 1 基本和常用逻辑运算,一、三种

5、基本逻辑运算,1. 与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。,功能表,1. 1 基本概念、公式和定理,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,真值表,（Truth table）,逻辑函数式,与门（AND gate),逻 辑 符 号,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,2. 或逻辑：,决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。,或门（OR gate),或逻辑关系,真值表,逻辑函数式,逻 辑 符 号,0,1,1,1,3. 非逻辑：,只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生

6、的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻 辑 符 号,非门（NOT gate),非逻辑关系,1,0,0,1,二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算,1. 逻辑变量与逻辑函数,在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是 1 就是 0 。,逻辑函数：,如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函数。并记作,原变量和反变量：,字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。,逻辑变量：,(1) 与非逻辑 (NAND),(2) 或非逻辑 (NOR),(3) 与或非逻辑 (AND OR INVERT)

7、,(真值表略),1,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,1,0,0,0,2. 几种常用复合逻辑运算,Y1、Y2 的真值表,(4) 异或逻辑 (ExclusiveOR),(5) 同或逻辑 (ExclusiveNOR),(异或非),0,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,= AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,3. 逻辑符号对照,曾用符号,美国符号,国标符号,国标符号,曾用符号,美国符号,或：,0 + 0 = 0,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,与：,0 0 = 0,0 1 = 0,1 1 = 1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A

8、+ 0 = A,A + 1 = 1,与:,A 0 = 0,A 1 = A,非：,1. 1. 2 公式和定理,一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 ),三、与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,例 1. 1. 1 证明公式,解,方法一：公式法,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中),A B C,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A + A = A,A A = A,还原律,例 1. 1. 2 证明：,A B,将Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量,五、关于等式的三个

9、规则,1. 代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。,例如，已知,(用函数 A + C 代替 A),则,2. 反演规则：,不属于单个变量上的反号应保留不变,例如：已知,反演规则的应用：求逻辑函数的反函数,则,将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,3. 对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.” “0” 换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,0 0 = 0,1 + 1 = 1,六、若干常用公

10、式,七、关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,(4) 常量和变量的异或运算,(5) 因果互换律,如果,则有,= AB,一、标准与或表达式,1. 2 逻辑函数的化简方法,1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,1. 最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。,( 2 变量共有 4 个最小项),( 4 变量共有 16 个最小项),( n 变量共有 2n 个最小项),( 3 变量共有 8 个最小项),对应规律：1 原变量 0 反变量,2. 最小项的性质：,(1

11、) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,(2) 任意两个最小项的乘积为 0 ；,(3) 全体最小项之和为 1 。,3. 最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。,对应规律：原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,4. 最小项是组成逻辑函数的基本单元,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成

12、为最小项之和的形式。,例 写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,例 写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,最简或与式,最简与或非式,二、逻辑函数的最简表达式及相互转换,最简与或式,最简 与非-与非式,最简或与非式,最简或非-或非式,最简或非-或式,核心,1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法,一、并项法:,例 1. 2. 8,例,思考： 其它解法,二、吸收法：,例 1. 2. 10,例,例 1. 2. 11,三、消去法：,例,例 1. 2. 13,四、配项消项法：,或,或,例,例 1. 2. 15,冗余项,综合练习：,一

13、. 卡诺图的引出, 一变量最小项的卡诺图： （设变量为D ）, 二变量最小项的卡诺图： （设变量为C、D ）,1. 2. 3 逻辑函数的图形化简法, 三变量最小项的卡诺图： （设变量为B、C、D ）, 四变量最小项的卡诺图： （设变量为A、B、C、D ）,2. 卡诺图的特点, 一变量到多变量的卡诺图之间遵循“折叠展开”的法则。, 最小项之间具有“几何相邻，逻辑相邻”既“循环邻接”的特点。,“折叠展开”的法则演示,折叠展开法则： 1）新增加的方格按照展开方向应标以新变量 2）新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加,例：,几何相对,几何相接,在卡诺图上接在一起的最小项之间一定是逻辑相邻！,在

14、卡诺图中，两列（两行）之间各对应的两个最小项是逻辑相邻的！,几何相邻是指在卡诺图上相接和相对的关系。 逻辑相邻是指只有一个变量不同（一为原变量，二为反变量），可以应用互补律来合并的两个最小项之间关系。 在卡诺图中按照任意的循环路径，各邻接的最小项之间都是逻辑相邻。,二. 逻辑函数的卡诺图,逻辑函数的卡诺图和逻辑函数的真值表具有一一对应的关系。画卡诺图时，在函数具有的最小项的对应方格中写上1 。,例1：知逻辑函数的最小项表达式，画出真值表和卡诺图。,例2：以知逻辑函数的与或表达式如下，画出逻辑函数卡诺图。,步骤：,先画四变量的方格图，标出输出变量的符号并按照乘积项中的顺序标出输入变量。,在其他方

15、格中写上逻辑 0（可以不写）。,明确各最小项中各因子的属性（原变量、反变量）。,根据各乘积项的因子的属性逐步确定所包含的最小项对应的方格，并在方格内写上逻辑1 。,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,例3：以知逻辑函数的或与表达式如下，画出逻辑函数卡诺图。,步骤如下：,首先求原函数的反函数，从而得到反函数的最小项表达式。,根据反函数的表达式，在其最小项的方格内填入0 ，其余方格内填入1 ，即得到原函数的卡诺图。,三. 用卡诺图化简逻辑函数,1. 化简的依据,例：以知逻辑函数的卡诺图如下，化简逻辑函数，并用公式法验证。,解：,圈内4个（=22个）最小项属于循环逻辑邻接

16、，可合并为一个乘积项AD。,公式法证明：,2. 卡诺图中最小项合并规律：,(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子,总结：,3. 化简的步骤,（1） 将逻辑函数写成最小项表达式。,（2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含的最小项，其对

17、应方格填1， 其余方格填0。,（3）合并最小项，即将循环相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含 2n个方格（最小项），对应每个包围圈写出一个新的乘积项。,（4）将所有包围圈对应乘积项相加。,（1） 圈内的个数是2n个，并组成矩形。,4.画包围圈的原则,(2) 先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(3) 圈越大越好，但圈的个数 越少越好。,(4) 最小项可重复被圈，但每 个圈中至少有一个新的最小项。,(5) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真 比较、检查才能写出最简与或式。,不正确的画圈,5、 用卡诺图化简逻辑函数举例,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图,(2) 合并最小项： 画

18、包围圈,(3) 写出最简与或表达式,例 1. 2. 20,1,1,1,1,1,1,1,1,解,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,利用图形法化简函数,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或 表达式,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2) 合并函数值为 0 的最小项,(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式,

19、1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简,一、 约束的概念和约束条件,(1) 约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。,A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。,ABC 的可能取值,(2) 约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,1. 约束、约束项、约束条件,(3) 约束条件：,(2) 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为 0 的 逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,

20、或,2. 约束条件的表示方法,(1) 在真值表和卡诺图上用叉号()表示。,例如，上例中 ABC 的不可能取值为,二、 具有约束的逻辑函数的化简,例 化简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图，顺序 为：,先填 1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2) 合并最小项，画圈时 既可以当 1 ，又可以当 0,(3) 写出最简与或表达式,解,例 化简逻辑函数,约束条件,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,(2) 合并最小项,(3) 写出最简与或表达式,合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。,注意：,1.

21、3 逻辑函数的表示方法 及其相互之间的转换,1. 3. 1 几种表示函数的方法,一、逻辑表达式,优点：,书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,二、真值表,优点：,直观明了，便于将实际逻 辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运 算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,三、卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,四、逻辑图,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换

22、，所表示的逻辑关系不直观。,五、波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上 的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个 数增多时，画图较麻烦。,1. 3. 2 几种表示方法之间的转换,一、真值表,函数式,逻辑图,例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试 举才算成功。,(1) 真值表,函数式,将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的 输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得 Y 的逻辑函数式。,函数式,卡诺图化简,1,1,0,1,0,0,0,0,(2) 函数式,逻辑图,A,B,Y,C,真值表,函数式,二、逻辑图,第一章 小 结,一、数制和码制,1. 数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）,各种数制之间的相互转换，特别是十进制二进制的转换，要求熟练掌握。,2. 码制：常用的 BCD 码有 8421 码、2421 码、5421 码、余 3 码等，其中以 8421 码使用最广泛。,练习 完成下列数制和码制之间的相互转换,128 16 4 2 1