代数系统和群141705.ppt

1、,Galois,第六章 群 与 环 6.1 代 数 系 统 对于代数系统而言,运算是它的决定性因素,因此,必须首先明确运算的概念。 在代数系统中二元代数运算用得最多,所以我们给出其定义并讨论其性质。 定义6.1.1 设S是一个非空集合，称SS到S的一个映射f为S的一个二元代数运 算，即,对于S中任意两个元素a,b,通过f,唯一确定S中一个元素c： f（a，b）= c，常记为a * b = c。 由于一般情况下,(a,b),(b,a)是SS中不同的元，故a * b未必等于b * a。,例如，S=a,b, 则SS=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b) 映射f为： (a,a)-a (a,b

2、)-a (b,a)-b (b,b)-b f称为S的一个二元代数运算，有 f(a,a)=a f(a,b)=a f(b,a)=b f(b,b)=b,也可表示为： a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b,例6.1.1自然数集N上的加法和乘法是N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算，因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自然数。 例6.1.2 整数集Z上的加法、减法、乘法都是Z上的二元代数运算;除法不是Z上的二元代数运算. 例6.1.3 非零实数集R*上的乘法、除法是R*上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出0。 例6.1.4 矩

3、阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。 例6.1.5 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，则集合的交运算、并运算是（S）上的二元代数运算。 例6.1.6 逻辑连接词合取、析取、蕴涵、等价都是真值集合0，1上的二元代数运算。,定义6.1.2 设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a，b，等式a * b = b * a都成立，则称运算“*”满足交换律。 例如整数上的加法。 定义6.1.3 设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式 （a * b） * c = a * （b * c） 都成立，则称运算 * 满足结合律。 例如整数上的加法

4、。,定义6.1.4 设 * 是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a * a = a 则称a是关于运算 * 的幂等元。 如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算“*”满足等幂律。 如在整数中看，1是关于乘法的幂等元，0是关于加法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。 定义6.1.5 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式 a *(b + c)= (a * b)+ (a * c)， (b + c)* a =(b * a)+(c * a） 都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。,定义6.1.6 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数

5、运算，如果对于S中任意两个元素a，b，等式 a * （a + b） = a ， a + （a * b） = a， 都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例6.1.7 整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。,例6.1.8 n阶实矩阵集合上的加法满足结合律,也满足交换律;乘法满足结合律，但不满足交换律;它们都不满足等幂律,也不满足吸收律。 例6.1.9 设S是一个非空集合，(S)是S的幂集,则(S)上的交运算、并运算都满足结合律,交换律,对、对都满足分配律,它们都满足等

6、幂律,也满足吸收律。 定义6.1.7 设 * 是集合S上的二元代数运算,如果对于S中任意三个元素a,b,c, （1）若 a * b = a * c，则b = c， （2）若 b * a = c * a，则b = c， 就称 * 满足消去律。,例6.1.10 整数集Z上的加法满 足消去律，但乘法不满足消去律， 例如，3 * 0 = 5 * 0，但35。 例6.1.11 n阶实矩阵集合上的 加法满足消去律，但乘法不满足 消去律，例如， = ,但 定义6.1.8 设S是一个非空集合，f1，fm是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，fm看成一个整体来看,叫做一个代数系统， 记为（S， f1，fm）

7、,例6.1.12 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算, 则（S），）为代数系统。 例6.1.13 设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数集,+、是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,)、(Z,+,)都是代数系统； (Z0,+)、(Z0,)、(Z0,+,)都是代数系统； (N,+)、(N,)、(N,+,)都是代数系统； 如果用 、分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么 （Z, ,）、（Z0, ,）与（N， ，）也都是代数系统。 例6.1.14 设、是真值集合0，1上的合取与析取运算，则（0，1，）是代数系统。,作业：196页，1。,习题6.1 1. 设W

8、1、W2、W3分别为是模6的剩余类集合Z6的子集：W1= ， ，W2= ， ， ，W3= ， ， ，试问剩余类加法是不是这些子集的二元代数运算？ 解：剩余类加法对W1，W2是二元代数运算，而W3不是。,2. S=2n | nN，加法是S上的二元代数运算吗？乘法呢？ 解：加法不是S上的二元代数运算，乘法是。,3. 自然数集N 上的二元代数运算 * 定义为x * y = xy， * 是否满足结合律？是否满足交换律？ 解: (a*b)*c= (ab)c= abc a*(b*c)= a*b=ab, b*a=ba 所以，都不满足。,4. 设 * 是集合S上的二元代数运算，且满足结合律,设x,y是S中任意

9、元素，如果x * y = y * x，则x = y。试证明 * 满足等幂律。 证明：由于对S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z， 故x*(x*x)=(x*x)*x， 于是有x*x=x。,5. 设 + 和 * 是集合S上的两个二元代数运算，对于S中任意元素x和y，x + y = x。证明 * 对于 + 满足分配律。 证明：设x，y和z是S中任意三个元素，则 x*(y+z)=x*y=x*y+x*z，且 (y+z)*x=y*x=y*x+z*x， 故* 对于 + 满足分配律。,6.2 群 的 定 义 6.2.1 半 群 定义6.2.1 设G是一个非空集合，若为G上的二元代数运算，且满

10、足结合律，则称该代数系统（G， ）为半群。 例6.2.1 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则（S），）为半群， （S），）为半群。 例6.2.2 设Z为整数集,+、-、是数的加法、减法和乘法,则(Z,+)、(Z,)都是半群； （Z， -）不是半群，因为减法不满足结合律。,例6.2.3 设N为自然数集，规定N上的运算“”如下： a b = a + b + ab， 其中+、是数的加法和乘法,a，b是N中任意元素。显然,为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a,b,c,有： (ab)c=(a+b+ab)c =(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c =a+b+

11、c+ab+bc+ac+abc， a(bc)=a(b+c+bc） =a+（b+c+ bc）+a（b+c+ bc） = a + b + c + ab + bc + ac + abc， 故，（ab）c = a（bc），满足结合律，因此，（N， ）为半群。,例6.2.4 设S是一个非空集合，规定S上的运算如下： ab=b， 其中a，b是S中任意元素。显然为S上的二元代数运算。对S中任意三个元素a，b，c， 有：（ ab）c =bc=c， a（bc）=ac =c， 故，（ab）c = a （bc），满足结合律，因此，（S，）为半群。,6.2.2 群 定义6.2.2 设（G,）为半群，如果满足下面条件：

12、(1) G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a = a1 = a; (2) 对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足aa-1 = a-1a = 1， 则称（G， ）为群。元素1称为G的单位元素，a-1称为a的逆元素。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。 下面用|G|表示有限群G所包含的元素个数。,例6.2.6 设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合, R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、是数的加法和乘法，则 （Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群； (

13、Q,)、（R， ）、（C，）都不是群，因为0无逆元素； (Q*,)、（R*， ）、（C*，）都是群。,例6.2.7 设S是一个非空集合， (S)是S的幂集,和是(S)上的交运算和并运算，则 (1)半群(S),)不是群,虽然存在单位元素S,但不是任意元素都存在逆元素； (2)半群(S),)也不是群,虽然存在单位元素：空集，但不是任意元素都存在逆元素。 例6.2.8 例6.2.3中半群（N， ）不是群，因为不存在单位元素。假定有单位元素，设为e，则对N 中任意元素a，都应有e a = a，即e + a + ea = a，因此，e=0，但0N。,例6.2.9 例6.2.4中半群(S,)也不是群,因为

14、不存在单位元素。 例6.2.10 设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则不难验证（A，*）是群。 例6.2.11 设S=0，1，2，m-1，规定S上的运算如下： ab= ， 其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加与减。则（S，）是群，称为模m的整数加法群。,6.2.3 群 的 性 质 定理6.2.1 设(G,)是一个群，则G中恰有一个元素1适合1a=a1=a,而且对于任意a恰有一个元素a-1适合aa-1=a-1a=1。 证明：若1和1都是单位元素，则1=11=1，故1=1。 若b和c都有a-1的性质, 则b=b1=b(ac)=（ba）c = 1c = c,故b = c.

15、这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易见（a-1）-1=a。,例如，S=0,1,2,3,4,运算是模5加运算，则单位元有且只有一个为0。 0的唯一的逆元素是0； 1的唯一的逆元素是4； 2的唯一的逆元素是3； 3的唯一的逆元素是2； 4的唯一的逆元素是1。 如果，S=0,1,2,3,运算是模4加运算,则单位元也有且只有一个为0。 0的唯一的逆元素是0； 1的唯一的逆元素是3； 2的唯一的逆元素是2； 3的唯一的逆元素是1。,定理6.2.2 群定义中的条件 （1）和（2）可以减弱如下： （1） G中有一个元素左壹适合1a=a; （2） 对于任意a，有一个元素左逆a-1适合 a-

16、1a=1。 证明：只要证明由（1）、（2）（和其余的条件联合）可以推出(1)和(2)， 即只需证明a1 = a和aa-1 = 1。,先证aa-1=1。因为(a-1a)a-1=1a-1= a-1， 故(a-1a)a-1= a-1。 由（2）， a-1也应该有一个左逆适合ba-1=1。于是,一方面有： b（a-1a）a-1）)=ba-1=l， 另一方面有： b(a-1a)a-1)=(ba-1)(aa-1) =1（aa-1）= aa-1， 因此，aa-1=1。 再证a1=a。 事实上，a1 = a（a-1a） = （aa-1）a = 1a = a。 自然，把（1）,（2） 中对于左边的要求一律改成对

17、于右边的要求也是一样。,定理6.2.3 群定义中的条件（1）和（2）等于下列可除条件： 对于任意a，b，有使 a=b， 又有 y使 ay=b。 证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取=ba-1，y=a-1b， 即得a=b，ay=b，故， 由(1)和(2)可以推出可除条件成立。 再证明由可除条件也可以推出(1),(2)，因而可以推出(1),(2)。事实上,取任意cG，命1为适合c=c的，则1c=c。今对于任意a,有y使cy=a,故1a=1(cy)=（1c）y=cy=a，即（1）成立。至于（2），只要令a-1为适合a=1的，则a-1a=1。,定理6.2.4 设G是一个群，在一个乘积a1an

18、中可以任意加括号而求其值。 证明： 要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积 (a1a2)a3)an-1)an （1） （1）式对于n=1，2不成问题；对于n=3, 由结合律也不成问题。现在对n用归纳法, 假定对少于n个因子的乘积（1）式成立， 试证对n个因子的乘积（1）式也成立。,a1an任意加括号而得到的乘积A，求证A等于(1)式。设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘： A = （B）（C） 今C的因子个数小于n，故由归纳假设,C等于按次序自左而右加括号所得的乘积 （D）an。由结合律， A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。但 （B）（

19、D）的因子个数小于n，故由归纳 假设，（B）（D）等于按次序由左而右加 括号所得的乘积 (B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1,因而 A =(B)(D)an =(a1a2)a3)an-2)an-1）an 即A等于（1）式。 当给出二元运算后，若无结合律，则三个以上元素的运算不一定有意义，本定理对有结合律的一切代数体系成立。 现在a1an有意义，当它们都相同时称n个a连乘积为a的n次方，记为an，记为an。我们规定a0=1，a-n=（an）-1(= (a-1)n) 象在普通代数中一样，可以证明对于任意整数m，n， 有第一指数律 aman=am+n， 第二指数律 （am）n=amn。,

20、定义6.2.3 若群(G,)的运算适合交换律，则称（G，）为Abel群或交换群. 定理6.2.5 在一个Abel群（G，）中，一个乘 积可以任意颠倒因子的次序而求其值。 证明：考虑一个乘积a1an。 设是1，n上的一个一对一变换， 欲证a（1） a（n）=a1an 对n用归纳法，n=1时只有一个a1定理自然成立，假定n-1时定理已真，证明n时定理亦真。,设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式 P = a（1）a（n） 因子an必在P中某处出现，因而P可以写成 P =（P）an（P） P或P中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律， P=P(anP)=P(Pan)=(PP)an， 现在P

21、P中只有n-1个元素a1,an-1,只 不过次序有颠倒，故由归纳法假定， PP= a1an-1。 因此,P =（PP）an = a1an-1an，从 而归纳法完成，定理得证。,在Abel群中，易见有第三指数律： （ab）m=ambm，m为任意整数。 如果群G的运算不写作乘而写作加+，则G叫做一个加法群，我们永远假定一个加法群是一个Abel群： a+b=b+a 在乘法群中写做1的现在写做0： a+0=a 在乘法群中写做a-1而称为a的逆的,现在写做-a而称为a的负： a+（-a）= 0 n为任意整数时，在乘法群中写作an而称为a的n次方的，现在写做na而称为a的n倍。三个指数律现在成为下面的形式

22、： （m+n）a = ma+na， m（a+b）= ma+mb， m（na）=（mn）a。,作业：201页，2。,习题6.2 1. 设（G,）是代数系统,则（GG,*）是代数系统，这里GG的运算“*”规定如下： （a，b）*（c，d）=（ac，bd）， 其中:a,b,c,d为G中任意元素。 证明：当（G,）是半群时,（GG,*）是半群；当（G,）有单位元素时, （GG,*）有单位元素；当（G,）是群时,（GG，*）是群；,证明：设（G,）是半群,a,b,c,d,e,f为G中任意元素,若有(a,b),(c,d),(e,f)属于GG，则有 (a,b)*(c,d)*(e,f)=(a,b)*(ce,df) =(a