线性代数4-7章.ppt

1、第四章 向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标,定义1 设V为n维向量的非空集合，若V 对向量的加法、数乘两种线性运算封闭 （即运算的结果仍为V中向量）， 则称V为向量空间.,1.n维实向量全体的集合：,例1.考察下列向量的集合是否为向量空间.,是,Rn=,第四章 向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标(续1),3.V2=,例1.考察下列向量的集合是否为向量空间.,4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S.,2.V1=,是,不是,是,第四章 向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标(续2),定义2 设V1,V2是两个向量空间,且V1 V2, 则称V1为V2子空间.,例2 设L=L(1, 2

2、,., s)= k1 1+k2 2+.+ks s|kiR, iRn,则L为向量空间，且,L Rn,即L为向量空间Rn的子空间，称其为 由向量1, 2,., s生成的子空间.,第四章 向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标(续3),定义3 设向量空间V中一组向量 A0: 1, 2,., r 满足：,称k1,k2,.,kr为向量在A0这组基下的坐标,1) 1, 2,., r线性无关；, =k11 +k22+.+krr,2) V中任意向量均可由向量1, 2,., r线性表示:,则称1, 2,., r为V的一组基，,称V为r维向量空间 (V的维数为r),记作:dimV=r.,第四章 向量空间 1向量空

3、间及其基、维数、坐标(续4),1.n维实向量全体的集合Rn,2.V1=,dimRn=n,(任意n个线性无关的n维实向量均为Rn的一组基),为Rn的一组基,2, 3, n为V1的一组基.,dimV1=n-1,第四章 向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标(续5),3.n元齐次线性方程AX=0的解空间S.,4. L=L(1, 2,., s)= k1 1+k2 2+.+ks s |kiR, iRn,方程的基础解系为S的一组基. dimS=n-R(A).,1, 2,., s的最大无关组为L的一组基. dimL=R1 2 . s,第四章 向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标(续6),例3. R2中,分

4、别求向量 =(2,3)T在下列两组基下 的坐标.,解： =21+32 在基(I)下的坐标为2,3;,又 =31- 2 在基(II)下的坐标为3,-1.,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基,向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象.,性质：,定义：n维向量,几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来.,的内积,（等号当且仅当=0时成立）,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续1),性质：,定义向量 的长度：,| |=1时，称为单位向量.,称,为的单位化向量（标准化向量）.,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(

5、续2),例1 设=k ,求 的单位化向量0.,称,为的单位化向量（标准化向量）.,解：,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续3),即对任意实数t,定理1,证明：,1)0时，左式为t的二次函数f(t)，f(t)=0至多只有一个实根. 其判别式 =4 (, )2-4 (, ) (, ) 0,2) =0时，等号成立.证毕.,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续4),(, )=0时，称与 正交.,零向量与任何向量正交.,当， 均非零向量时，定义与 的夹角：,定理1,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续5),定理2 设1，2，s为两两正交的非零向量. 则 1，2

6、，s线性无关,证明：设k11+k22+kss=0. 两边与 i 作内积,得：,ki=0, i=1,2,.,s., 1， 2，s线性无关.,ki(i，i)=0,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续6),定义:设1，2，s是向量空间V的一组基,且两两正交,则称 1，2，s为V的一组正交基.,若又有|i|=1(i=1,2,s),则称 1，2，s为V的一组标准正交基.,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续7),Schmidt正交化方法,设向量组A: 1，2，r线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.,1.正交化：,则1,2, r两两正交.,.,取,第四章 向量空间 2 Rn

7、中的内积 标准正交基(续8),Schmidt正交化方法,设向量组A: 1，2，r线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.,2.标准化：,(i=1,2,.,r),e1,e2,er即为所求标准正交向量组.,令,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续9),定义:若n阶实矩阵A满足：ATA=E，,则称A为正交矩阵.,ATA=,正交矩阵,证：设A=,(1) |A|2=1；,(3) A的行（列）向量组为标准正交向量组.,所以A的列向量两两正交且长度为1.,=E,性质：设A为正交矩阵，则,(2)A-1=AT亦为正交矩阵;,反之亦然.,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续10),则A

8、TA=E, A为正交矩阵.,(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=,证：A*=|A|A-1,例1 设 A为正交矩阵，则A*亦为正交矩阵.,=E,如A=,|A|2AA-1,A*亦为正交矩阵.,第四章 向量空间 2 Rn中的内积 标准正交基(续11),例2 .设为n维列向量，且T =1, 求实数k,使 H=E- k T为正交矩阵.,解:E=HTH,-2k+k2=0,k=2或k=0.,第四章 向量空间 3 Rn上的线性变换,则称T为Rn上的线性变换.称Y为X在T下的像.,例 设A=aijnn,对任意XRn,Y=T(X)=AX,则T为Rn上的一个线性变换（从X到Y的线性变换）.,定义：若

9、对Rn中的任意向量，按照某一确定规则T， Rn中总有唯一确定的向量与之对应.记为:Y=T(X). 且满足：,A为可逆矩阵时，称Y=AX为可逆线性变换；,1）T(X1+X2)=T(X1)+T(X2);,A为正交矩阵,称Y=AX为正交变换.,设Y=AX为正交变换，则对任意, Rn,即正交变换保持内积不变，从而保持长度、夹角不变.,2）T(kX)=kT(X). (kR;X1,X2Rn),第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量,定义1.设A为n阶方阵，为数, X为n维非零列向量.若满足：,则称 为A的特征值，X为A的属于 的特征向量 .,如何求A的特征值和特征向量？,若齐次方程（2）有非零解X

10、， 则系数行列式| E-A |,（1）,（1）,（2）,=0,叫做A的特征多项式.,求特征值、特征向量方法：,1.求| E-A|=0的根：,2.求,的非零解X=,即为A的特征值,即为A的特征向量.,例,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(续1),定理1：设1, 2, n为n阶方阵A的特征值，则,定义2. 若对n阶方阵A、B, 存在可逆阵P,使得 P-1AP=B. 则称A与B相似.记作AB.,1） 反身性：AA；,2）对称性：若 AB,则BA；,3）传递性：若 AB, BC,则AC.,性质：,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(续2),即A有特征值: 1, 2, n,定理

11、2：相似矩阵特征多项式相同.,证：设P-1AP=B.则,如,当,则,第五章 特征值、特征向量 2.矩阵可对角化的条件,定理3.n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量.,P-1AP=,p1,p2,.,pn线性无关.,则 AP=P ,证：必要性.设存在可逆阵P,使,设P=p1 p2 .pn ,|P|0,由式得：Api= ipi,i=1,2,.,n,AP=Ap1 p2.pn=Ap1 Ap2.Apn,p1,p2,.,pn为A的n个 线性无关特征向量.,充分性. 设A有n个线 性无关的特征向量： p1,p2,.,pn，则有,i=1,2,.,n,令P=p1 p2 .pn,则AP=Ap

12、1 Ap2.Apn,即A与对角阵相似.,P=1p1 2p2 . npn,Api= ipi,=1p1 2p2 . npn,=P, P-1AP=,第五章 特征值、特征向量 2.矩阵可对角化的条件(续1),定理4.n阶方阵A属于不同特征值的特征向量线性无关.,(反之未必),也线性无关.,推论：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对角阵相似.,则A的以下t1+t2+.+tm个特征向量：,属于i有ti个线性无关的特征向量：,i=1,2,.,m.,定理5.设1, 2, m为n阶方阵A的互不相同的特征值.,推论：设1, 2, m为n阶方阵A的互不相同的特征值.,属于i恰有si个线性无关的特征向量，,证:n

13、阶方阵A有s1+s2+.+sm=n个线性无关的特征向量.故得证.,则A与对角阵相似.,si重特征值,第五章 特征值、特征向量 3.实对称矩阵的对角化,设A为n阶实对称矩阵：A=aijnn,aijR，AT=A.,则A的特征值、特征向量有以下性质：,(3)设为A的k重特征值，则R(E-A)=n-k,从而,(1)A的特征值全为实数.,齐次方程(E-A)X=0的基础解系有k个线性无关的解向量，,(2)A的属于不同特征值的特征向量正交.,将其正交标准化,可得属于的k个两两正交的单位特征向量.,第五章 特征值、特征向量 3.实对称矩阵的对角化(续1),证:设1, 2, m为n阶实对称矩阵A的互不相同特征值

14、.,定理6.设A为实对称阵,则存在正交阵Q,使得Q-1AQ为对角阵.,它们全为实数.,s1+s2+.+sm=n，,A有n个两两正交的单位特征向量:q1,q2,.,qn，,Q=q1 q2.qn为正交阵,且Q-1AQ=,属于i有si个两两正交的单位特征向量,i=1,2,m,第六章 二次型 1二次型的矩阵 合同矩阵,f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+ 2a12x1x2+ +2a1nx1xn+2an-1,nxn-1xn,令,令 aij=aji，记 2aij=aij+aji ,则,则 f=XTAX,实对称阵A叫做二次型f的矩阵，R(A)叫做二次型f的秩。,第六章 二次型1

15、二次型的矩阵 合同矩阵（续1）,形如 f=d1y12+d2y22+dryr2 (rn) 的二次型称为标准形。,若对n阶方阵A和B，存在可逆阵P,使 PTAP=B，则称A与B合同。,定理1 合同矩阵秩相等。,第六章 二次型 2 化二次型为标准形,令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT Y = 1y12+ 2y22+ nyn2 为标准形。(i为A的特征值),证明：A为实对称阵，存在正交阵Q,使 Q-1AQ= ，即QTAQ= ，,定理2 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换X=QY, 使f化为标准形。,推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换X=PY, 使f化为标准形:d1y

16、12+d2y22+ dnyn2,(di未必是A的特征值),第六章 二次型 3 惯性定理,f = k1y12+ kpyp2- kp+1yp+12- kryr2 （ki0）,及 f = d1z12+ dqzq2- dq+1zq+12- drzr2 (di0),则p=q.,定理3 设n元实二次型 f=XTAX的秩R(A)=r,，若可逆线性 变换X=BY及X=CZ将f分别化为标准形：,p叫作正惯性指数；r-p叫作负惯性指数； p-(r-p)=2p-r叫作符号差.,第六章 二次型 3 惯性定理 (续1),f = k1y12+ kpyp2- kp+1yp+12- kryr2 （ki0）,则 f = u12

17、+ up2- up+12- ur2,f的标准形中，作可逆线性变换：,称其为f的规范形，是唯一的。,第六章 二次型3 惯性定理（续1）,定理4 设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价： f=XTAX正定； f=XTAX 的正惯性指数为n ； 存在可逆阵P, 使A=PTP; A的n个特征值全大于0。,定义 设f=XTAX 为n元实二次型 ，若对任意n维非零列向量X，均有XTAX0,则称f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。,第六章 二次型 3 惯性定理（续2）,定理5 实对称阵A正定的充要条件为A的各阶 顺序主子式全大于0，即,a110, |A|0;,例1 判别f=3x12+6x1x3+x22-4

18、x2x3+8x32的正定性。,解：,30,|A|0;,A正定,f=XTAX正定.,第七章 线性空间与线性变换 1 线性空间定义与性质,定义 设V为非空集合， P为一数域（对四则运算封闭的数集合）。 V中有两种运算 “加法”：任意， V,唯一确定 = + V； “数乘”：任意V及任意k P,唯一确定= kV. 且满足以下8条运算律： += +； ( + )+ = +( +); V中存在零元素0，使+0= 0+=； 任意V，存在其负元素-V，使 +(- )= 0； 1 = ; 任意k , lP,(kl) =k(l)=l(k); k(+)= k+k ； (k+l)=k+l. 则称V为数域P上的线性空

19、间.,第七章 线性空间 与线性变换1 线性空间定义与性质(续1),例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。,向量空间必为线性空间。,线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。,例2 Pxn=f(x)=a0+a1x+an-1xn-1|ai P (次数小于n的多项式全体) 对多项式的加法和数乘构成P上的线性空间。,n次多项式全体不是线性空间,例3 Pmn=A=aijmn|aij P 对矩阵的加法和数乘构成P上的线性空间,第七章 线性空间 与线性变换1 线性空间定义与性质(续2),例4 设R+=全体正实数。对任意a,b R+，定义 1.加法：a b=ab; 2.数乘:ka=

20、ak. 问： R+是否是R上的线性空间？,第七章 线性空间 与线性变换1 线性空间定义与性质(续3),线性空间线性空间的性质：,1、零元素唯一；,2、任意元素的负元素唯一；,3、0=0；,4、若k=0,则 k=0或=0.,第七章 线性空间 与线性变换1 线性空间定义与性质(续4),定义：设W为线性空间V的非空子集，若W对V的加法、 数乘也构成线性空间，则称W为V的（线性）子空间。,定理1 线性空间V的非空子集W为V的子空间的充要条件为W对V的加法、数乘封闭.,如0、V均为V的子空间，叫作V的平凡子空间.又如,为Pnn的子空间.,第七章 线性空间 与线性变换2 基、维数、坐标,向量空间的理论可平

21、行移到线性空间中来.,如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等.又,1.1, 2,m线性相关的充要条件为： 存在不全为零的数k1,k2,km,使 k11+k2 2+kmm=0；,2.向量组A可由向量组B线性表示，则 rArB；,线性无关的充要条件为：k11+k2 2+kmm=0 时 ki必全为零；,3.设1, 2,m线性无关， 而1, 2,m，b线性相 关，则b可由1, 2,., m唯一地线性表示.,第七章 线性空间 与线性变换2 基、维数、坐标（续1）,定义 设V为数域P上的线性空间， V中向量 1, 2,., r 满足：,称k1,k2,.,kr为在基1, 2,., r下的坐标.,1

22、) 1, 2 , . ,r线性无关；, =k1 1 +k2 2+.+kr r,2) V中任意向量均可由1, 2,., r线性表示：,则称1, 2,., r为V的一组基，,称V为r维线性空间 （dimV=r）.,第七章 线性空间 与线性变换 2 基、维数、坐标（续2）,例1 求Pxn（次数小于n的多项式全体）的一组基与维数.,解：1,x,x2,xn-1线性无关，,(当 k0+k1x +k2x2+ +kn-1 xn-1 = 0时，ki必全为0）,又对任意f(x)=a0+a1x +a2x2+ +an-1 xn-1 Pxn,显然f(x)可由1,x,x2,xn-1线性表示，,1,x,x2,xn-1为Px

23、n的一组基，dim Pxn=n.,第七章 线性空间 与线性变换 2 基、维数、坐标（续3）,解：设Eij Pmn，且其第i行第j列元素aij=1，其余元素均为0，则Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)线性无关，,例2 求Pmn=A=aijmn|aij P的一组基与维数.,又对任意A=aijmn Pmn,A可由Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)线性表示:, Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)为Pmn的一组基，,dim Pmn=mn,第七章 线性空间 与线性变换 2 基、维数、坐标（续4）,设1, 2 , . ,r为线性空间 V的一组基,则 V =L(1, 2,., r) = k1

24、1+k22+ . +krr |kiP,第七章 线性空间 与线性变换 2 基、维数、坐标（续5）,例3 Px3中，求f(x)=2x2-x+1在 基:1,x,x2 与基: 1,x+1,(x+1)2下的坐标.,解： f(x)在基下的坐标为1，-1，2；,设f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2,则 f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2,f(x)在基下的坐标为:4,-5,2.,第七章 线性空间 与线性变换3 基变换与坐标变换,定义：设：1，2，n及：1,2,n为线性空间Vn的两组基，且有基变换公式：,记作：,称A=aijnn为从基到基的过渡阵.,第七章 线性空间 与线性变换3 基变换与坐标

25、变换（续1）,定理2 设A为从基：1，2，n到基：1,2,n的过渡阵， 则（1） A可逆；（2）若向量在两组基下的坐标分别为,及,X=AY (Y=A-1X),则,第七章 线性空间 与线性变换4 子空间的维数与基 维数公式,定理3 设： 1，2，t 与 ： 1,2,s 是线性空间V中的两个向量组，则 （1） L(1，2，t)=L(1,2,s) 的充要条件为： 组与组等价； （2）dim L(1，2，t)=r.,第七章 线性空间 与线性变换4 子空间的维数与基 维数公式（续1）,定义 设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则V的子集 W1W2= | W1且 W2， W1+W2= 1+ 2| 1 W

26、1， 2 W2 分别称为这两个子空间的交与和.,定理4 线性空间V的两个子空间W1，W2的交与和仍是V的子空间.,第七章 线性空间 与线性变换4 子空间的维数与基 维数公式（续2）,dimW1+dimW2 = dim(W1+ W2)+dim(W1W2),定理5 (维数公式)设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则,第七章 线性空间 与线性变换5 线性变换及其矩阵表示,则称T为V上的线性变换.,定义：设V是数域P上的线性空间,T是从V到V的一个变换，且满足：,1）对任意，V, 有 T( + )=T()+T();,2）对任意V及任意k P,有 T(k )=kT().,设= T()，称 为 的像，

27、为的原像.,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续1),1. T()= , T(-)= - T();,线性变换的简单性质：,2. T(k11+k22 +kss) =k1T(1)+k2T(2) +ksT(s),3. 若1,2 , s线性相关，则 T(1),T(2) ,T(s)线性相关.,反之未必.,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续2),几种特殊的线性变换：,1.单位变换（恒等变换）I:,任意V,I()= .,2.零变换O:,任意V,O()= .,3.数乘变换K:,任意V,K()= k.,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续3),例1 Pxn

28、中，f(x),定义(f(x)=f/(x),则为Pxn上的线性变换.,Rn中的线性变换Y=AX与n阶方阵一一对应.,第七章线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续4),定义：设 ：1，2，n为线性空间V的一组基，T为V上的线性变换，且,记作：,称A=aijnn为T在基下的矩阵.,第七章线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续5),任意 V ，设 =k11+k22+knn,所以T由T(1)，T(2)，T(n)确定，即由A确定.,取定V的一组基，则T与 A一一对应.,则 T() =k1T(1)+k2T(2)+knT(n),第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续6),几种特

29、殊的线性变换的矩阵：,1.单位变换I (在任何基下)的矩阵为:,2.零变换O (在任何基下)的矩阵为:,3.数乘变换K (在任何基下)的矩阵为:,E(单位矩阵).,O(零矩阵):,kE.,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续7),例1 Pxn中，f(x),定义(f(x)=f/(x),取基1,x,x2,xn-1,求在此基下的矩阵A.,解: (1)=0, (x)=1, (x2)=2x, (xn-1)=(n-1)xn-2,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续8),例2 R3中，取两组基，,： 1=(2,2,1)T, 2=(1,1,-1)T , 3=(-1,0,1)

30、T,是R3上的线性变换：,:1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T ,3=(0,0, 1)T,分别求在基, 下的矩阵A和B.,第七章 线性空间 与线性变换 5 线性变换及其矩阵表示(续9),定理6 设T为线性空间V上的线性变换， 从基：1，2，n 到基：1,2,n的过渡阵为P ， T在两组基下的矩阵分别为A和B，则,证：T(1，2，n)=(1，2，n)A,T(1,2,n)= (1,2,n)B,右边=(1，2，n)PB,左边=T(1，2，n)P) =(T(1，2，n)P =(1，2，n)AP,AP=PB,即,B=P-1AP,B=P-1AP,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示

31、(续10),:1=(2,2,1)T, 2=(1,1,-1)T , 3=(-1,0,1)T,例2 中, :1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T ,3=(0,0, 1)T,求在基, 下的矩阵A和B.,解:设 (12 3)=(123)P,得到的过渡阵,又,第七章 线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示(续11),例3 Px3中, g1=1-x-x2, g2=3x-2x2 ,g3=1-2x2为基() ，,求(f(x)=f/(x)在此基的矩阵.,解:在基 :1,x,x2下的矩阵,到的过渡阵P=,即(g1,g2,g3)=(1,x,x2)P,在基下的矩阵,1.设,2.设4维向量=(1,2,0,-

32、3)T, =(2,-1,5,0)T,则与的 内积(,)= , 夹角= .,. 4.设矩阵,5. 1,2,3,4均为3维向量，则向量组1,2,3,4必线性 关.,线性代数模拟试卷一,一、（15分）填空题：,则|A|= , A*= ,A-1= .,3.齐次线性方程组,有非零解，则a= .,初等矩阵P满足：AP=B,则P= .,1.设3阶行列式,(A),(B),(C),.,二、（15分）选择题：,，则（ ）.,2.设矩阵A的秩R(A)=r,则（ ）. (A)A中只有一个r阶子式不为零，其余的r阶子式全为零； (B) A中存在一个r阶子式不为零，其余的r+1阶子式（若有）全为零； (C) A中所有的r

33、阶子式均不为零，而高阶子式全为零.,4.设 向量组1,2,，s线性相关，则（ ）. 1一定可由2,3,，s线性表示； 1一定不可由2,3,，s线性表示； (C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.,3. 设线性方程组,有唯一解，则（ ）.,(A)a=1;(B)a=-2;(C)a1且a-2.,5.n阶方阵A与对角阵相似，则（ ）. (A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n个线性无关的特征向量.,四、（16分）设向量组1=(1,2,3,4)T, 2=(2,3,4,5)T, 3=(3,4,5,6)T, 4=(4,5,6,7)T,求该向量组的秩及一个最大无

34、关组，并将其余向量表示成 最大无关组的线性组合.,六、（18分）设二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3. 1.写出f的矩阵； 2.求A的特征值与特征向量； 3.用正交变换X=QY将f化为标准形，并写出正交矩阵Q.,三、（14分）设n维向量T=(1/2,0,0,1/2),又A=E-T, B=E+2T,其中E为n阶单位矩阵，求AB,A-1,B-1,并写出A-1与B-1的具体形式.,五、（14分）求线性方程组,的通解.,七、（8分）证明：若为A正交矩阵，则A的伴随矩阵A*也为正交矩阵.,1.在4阶行列式detaij中，含有因子a11a32的项有： .,矩阵乘积AAT= ，ATA= .,

35、4.设B,C为可逆矩阵，分块矩阵,5. 用矩阵形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x32-2x2x3,f= .,模拟试卷二,2.设矩阵,一、（15分）填空题：,3. 矩阵,，AT为A的转置矩阵，则, 则A-1= .,的秩= .,1.设=(1,2,3)T, =(1,1/2,1/3)T,A=T,则A10=（ ）.,;(C),.2.设线性方程组,(A)a=b0;(B) a0且ab;(C)a=b=0.,二、（15分）选择题：,（A）310; (B),有无穷多组解，则（ ）.,3. 向量组1,2,，s线性无关的充要条件为（ ）. (A) 1不能由2,3,，s线性表示；(B)1,2,，s的秩小于s； (C) 1,2,，s的秩等于s.,为正交矩阵，则（ ）.,b=,(B) a=b=,5.设3阶方阵A与对角阵,(A)A-1有特征值1，2，-3；(B) A+E有特征值2,3,-2；(C) A2有特征向量1,2,-3,4.设,(A)a=