高等数学数量积向量积.ppt

1、二、两向量的向量积,74 数量积 向量积,一、两向量的数量积,数量积、,数量积与投影、数量积的性质、数量积的运算律,数量积的坐标表示、两向量夹角的余弦的坐标表示,向量积、,向量积的性质、数量积的运算律,数量积的坐标表示、数量积的行列式符号,设一物体在常力 F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2以 s,一、两向量的数量积,数量积的物理背景：,表示位移 由物理学知道，力 F 所作的功为,W| F | | s |cos ，,其中为 F 与 s 的夹角,数量积：,对于两个向量 a 和 b ，,它们的模| a |、| b |及它们的夹角,记作 a b ，即,a b | a | | b |cos ,(0

2、 ) 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积，,数量积与投影： 由于| b |cos | b |cos(a, b)，当 a 0 时，| b |cos(a, b)是向 量b 在向量 a 的方向上的投影，于是a b|a| Prj ab 同理，当b0时，a b|b| Prj ba即两个向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在此向量方向上的投影的乘积,数量积的性质(1)a a|a| 2 (2)对于两个非零向量 a、b，如果 a b0，则 ab； 反之，如果ab，则a b0如果认为零向量与任何向量都垂直， 则aba b0（充分必要条件）,数量积的运算律： (1)交换律 a bb a； (2)分

3、配律：(ab) ca cb c (3)(a) ba (b)(a b)， (a) (b)(a b)，、为数,数量积的坐标表示： 设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k 按数量积的运算规律可得 a b( ax i ay j az k) (bx i by j bz k) ax bx i i ax by i j ax bz i k ay bx j i ay by j j ay bz j k az bx k i az by k j az bz k k ax bx ay by az bz ,两向量夹角的余弦的坐标表示： 当a 0 、b 0 时，由于 a b | a | | b

4、 |cos ，所以,cos,两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积之和,例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ,因为,所以,解 AMB 就是向量 MA 与 MB 的夹角,MA MB11 10 01 1，,二、两向量的向量积,向量积的物理背景：,量 M ，,设O为一根杠杆L的支点,有一个力F 作用于这杠杆上P点处,力 F 对支点O的力矩是一向,它的模,M 的指向是的按右手规则从,由力学规定，,平面，,F 与 OP 的夹角为 ,OP 以不超过 的角转向 F 来确定的,而 M 的方向垂直于 OP与 F 所决定的,| M |OP | | F |sin ，,向量积

5、：,设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式确定：,c 的模,| c | a | | b |sin ，,其中 为 a 与 b 间的夹角；,规则从 a 转向 b 来确定,那么，向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积，,记作 a b ，,即 c = a b ,c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面，,c 的指向是的按右手,M = OP F,因此，上面的力矩阵 M 等于 OP 与 F 的向量积，即,向量 a 与 b 的向量积的模的几何意义为：以向量a与b为邻边的平行四边形面积，即S= a b ,向量积的性质： (1)a a0 （a a=a*a） (2)对于两个非零向量a、a，如果a b

6、0，则a / b； 反之，如果a / b，则a b0(充分必要条件) 如果认为零向量与任何向量都平行，则a / ba b0 a b=ab sin=0,向量积的运算律： (1)交换律a bb a； (2)分配律：(a b) ca c b c (3)(a) ba (b)(a b) (为数),讨论： i i j j k k ? i j ? j k ? k i ?,数量积的坐标表示： 设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k 按向量积的运算规律可得 a b( ax i ay j az k) ( bx i by j bz k) ax bx i i ax by i j ax b

7、z i k ay bx j i ay by j j ay bz j k az bx k i az by k j az bz k k (ay bzaz by)i(az bxax bz)j(ax by ay bx)k,为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成,ab,(ay bzaz by)i(az bx ax bz)j(ax byay bx)k,例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求三角形ABC的面积,解 根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积,因此,4i 6j 2k，, | AB AC |,S ABC | AB | | AC |sinA,由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，,AB AC =,于是 S ABC | 4i 6j 2k |,解,设点M 到旋转轴 l 的距离为a ，,再在 l 轴上任取一点O作向量,并以 表示w 与 r 的夹角，,a| r |sin ,| v | w | a| w | r |sin ；,设线速度为 v ，那么 v 的大