小学数学中的行程问题

1、小学数学中的行程问题小学数学中的行程问题 【基本公式】 基本概念： 行程问题是研究物体运动的， 它研究的是物体速度、 时间、 行程三者之间的关系。 基本公式：路程速度时间；路程时间速度；路程速度 时间 关键问题：确定行程过程中的位置 相遇问题：速度和相遇时间相遇路程（请写出其他公式） 追击问题：追击时间路程差速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程（船速水速）顺水时间 逆水行程 （船速水速）逆水时间 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 静水速度（顺水速度逆水速度）2 水 速（顺水速度 逆水速度）2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参

2、照以上公式。 【一般行程问题公式】 平均速度时间=路程； 路程时间=平均速度； 路程平均速度=时间。 【反向行程问题公式】 反向行程问题可以分为“相遇问题” （二人从两地出发，相向而 行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面 的公式解答： （速度和）相遇（离）时间=相遇（离）路程； 相遇（离）路程（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及（拉开）路程（速度差）=追及（拉开）时间； 追及（拉开）路程追及（拉开）时间=速度差； （速度差）追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 【列车过桥问题公式】 （桥长+列车长）速度=过桥时

3、间； （桥长+列车长）过桥时间=速度； 速度过桥时间=桥、车长度之和。 【行船问题公式】 （1）一般公式： 静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度； 船速-水速=逆水速度； （顺水速度+逆水速度）2=船速； （顺水速度-逆水速度）2=水速。 （2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大） 速度。 （求出两船距离缩小或拉大速度后， 再按上面有关的公式去解答 题目） 。 【例题精讲】 例 1、小王骑车到城里开会，以每小时12 千米的速度行驶，2 小时可 以到达。车行了

4、 15 分钟后，发现忘记带文件，以原速返回原地，这 时他每小时行多少千米才能按时到达？ 解答： 要求小王返回原地后到城里的速度， 就必须知道从家到城里的路程和 剩下的时间。根据题意，这两个条件都可以求出。 15 分钟=小时 从家到城里的路程：122=24（千米） 返回后还剩的时间：2-2=1（小时） 返回后去城里的速度:241=16（千米/时） 答：他每小时行 16 千米才能按时到达。 2相遇问题 距离=速度和相遇时间； 相遇时间=距离速度和； 速度和=距离相遇时间。 例 2、如图，从A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张

5、和小王步行，下坡的速度都是6 千米/ 小时，平路速度都是 4 千米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时。 问： （1）小张和小王分别从A， D 同时出发，相向而行，问多少时间 后他们相遇？ （2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人 离终点还有多少千米？ 解答： （1）小张从 A 到 B 需要 1660 10（分钟） ； 小王从 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660 25（分钟） ； 当小王到达 C 点时，小张已在平路上走了 25-1015（分钟） ， 走了 41（千米） 。 因此在 B 与 C 之间平路上留下 3-1 2（千米） 由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时

6、间是：2 （4 4）60 15（分钟） 。 从出发到相遇的时间是 2515 40（分钟） 。 （2）相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A 点需 要走 1260=30 分钟，即他再走 60 分钟到达终点。 小张走 15 分钟平路到达 D 点， 45 分钟可走： 2 小张离终点还有 2.5-1.5=1（千米） 答：40 分钟后小张和小王相遇。小王到达终点时，小张离终点 1.5 （千米） 还有 1 千米。 3追及问题 追及距离=速度差追及时间； 追及时间=追及距离速度差； 速度差=追及距离追及时间。 例 3、小轿车的速度比面包车速度每小时快6 千米，小轿车和面包车 同时从

7、学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早 10 分钟到 达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9 千米，问学校到城 门的距离是多少千米？ 解答： 先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间。 此时，小轿车比面包车多走了 9 千米，而小轿车与面包车的速度 差是 6 千米/小时， 因此所用时间=961.5（小时） 小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离 城门 9 千米， 说明小轿车的速度是 954（千米/小时） 面包车速度是 54-648（千米/小时） 。 城门离学校的距离是 481.572（千米） 。 答：学校到城门的距离是 72 千米。 4火车过桥问题 我们

8、在研究一般的行程问题时，是不考虑汽车等物体的本身长度的， 因为这类物体的长度很小，可以忽略不计。可是如果研究火车行程问 题，因为车身有一定的长度，一般一百多米，就不能忽略不计了。火 车行程问题中的距离，一般是要考虑火车长度的。火车通过一个固定 的点所用的时间就是火车行驶车身长度所需要的时间。 （火车长度+桥的长度）通过时间=火车速度 例 4、一条隧道长360 米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8 秒 钟，从车头入洞到全车出洞共用了 20 秒钟。这列火车长多少米？ 解答： 分析画出示意图： 如图，火车 8 秒钟行的路程是火车的全长，20 秒钟行的路程是隧道 长加火车长。因此，火车行隧道长360

9、 米，所用的时间是20-8=12 秒 钟，即可求出火车的速度。 火车的速度是 360（20-8）=30（米/秒） 。 火车长 308=240（米） 。 答：这列火车长 240 米。 5火车相遇、追及问题 错车时间=（甲车身长+乙车身长）（甲车速度+乙车速度） 超车时间=（甲车身长+乙车身长）（甲车速度-乙车速度） 例 5、客车长 182 米，每秒行 36 米。货车长 148 米，每秒行 30 米。 两车在平行的轨道上相向而行。从相遇到错车而过需多少时间? 解答： 两列火车相向而行，从车头相遇一直到车尾离开，迎面错车而过，两 列火车所行的路程是两列火车车身长度之和， 速度是两列火车的速度 之和，

10、时间是：(182+148)(36+30)=5(秒) 答：从相遇到错车而过需 5 秒。 6环形行程问题 封闭环形上的相遇问题：环形周长速度和=相遇时间 封闭环形上的追及问题：环形周长速度差=追及时间 例 6、 小张和小王各以一定速度， 在周长为 500 米的环形跑道上跑步。 小王的速度是 180 米/分。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一 次相遇，小张的速度是多少米/分？ （2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈 后才能第一次追上小王？ 解答： （1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。 75 秒=1.25 分。 小张的速度是 5001.

11、25-180=220（米/分） 。 （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈 （一个周长） ， 因此需要的时间是 500（220-180）12.5（分） 。 22012.55005.5（圈） 。 答： （1）小张的速度是 220 米/分； （2）小张跑 5.5 圈后才能追上小 王。 7流水行船问题 流水行船问题比一般的行程问题多了一个水流的影响， 因此它有 一些特殊的数量关系： 顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速； 水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速； 水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速； 船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）

12、 2。 例 7、甲、乙两港间的水路长208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺 水 8 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求船在静水中 的速度和水流速度。 解答： 顺水速度：2088=26（千米/小时） 逆水速度：20813=16（千米/小时） 船速： （26+16）2=21（千米/小时） 水速： （2616）2=5（千米/小时） 答：船在静水中的速度为每小时 21 千米，水流速度每小时 5 千米。 8重复相遇问题 例 8、两列火车从 A 城、B 城相向而行，第一次相遇在离 A 地 500 公 里处，相遇后，两列车继续前进，各自到达目的地后，又折回。第二 次相遇在离 B 城 300

13、公里处，问 A 城、B 城相距多远？ 解答： 如图，两列火车从出发到第二次相遇一共行了三个全程，分别为：第 一列火车从 A 城到 B 城；第二列火车从B 城到 A 城；第二列火车从A 城出发与从 B 城出发的第一列火车在途中相遇。 而这三个全程还可以 从另外一个角度考察，第一列火车行 500 公里时，两列火车共行了一 个全程，相遇后，两车速度依然不变，所以第一列火车行驶第二个 500 公里时，两列火车同样又共行了一个全程；当第一列火车行了第 三个 500 公里，即第一列火车行驶 5003=1500 公里时，两列火车正 好共行了三个全程，而这时，两列火车第二次相遇，由图观察可得， 这时第一列火车

14、又折回了 300 公里，即第一列火车行驶的 1500 公里 比全程多了300公里， 于是， 全程即为3500300=1200公里。 3500 300=1200。 答：A 城、B 城相距 1200 公里。 习题： 1小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地 需要 12 分钟。他们同时出发，几分钟后两人相遇？ 解答： 走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的36123 （倍） ，因此自行车的速度是步行速度的 3 倍，也可以说，在同一时 间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3 倍。如果把甲地乙 地之间的距离分成相等的 4 段，小王走了3 段，小张走了1 段，小张

15、花费的时间是 36（31）9（分钟） 。 答：两人在 9 分钟后相遇。 2小张从家到公园，原打算每分种走 50 米。为了提早 10 分钟到， 他把速度加快，每分钟走 75 米。问家到公园多远？ 解答： 方法 1：可以作为“追及问题”处理。 假设另有一人， 比小张早 10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速 度去追赶， 追上所需时间是 50 10（75- 50） 20（分钟） 因此，小张走的距离是 75 20 1500（米） 。 答：从家到公园的距离是 1500 米。 方法 2： 小张加快速度后，每走 1 米，可节约时间（ 因此家到公园的距离是 10（ ）分钟， ）1500（米） 。 3 一

16、辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶。如 果速度是 30 千米/小时，要 1 小时才能追上；如果速度是 35 千米/ 小时，要 40 分钟才能追上。问自行车的速度是多少？ 解答： 解法 1： 自行车 1 小时走了 301-已超前距离， 自行车 40 分钟走了 35-已超前距离， 自行车多走 20 分钟，走了 3035 因此，自行车的速度是： （3035 907020（千米/小时） 。 答：自行车速度是 20 千米/小时。 方法 2： 因为追上所需时间=追上距离速度差 。 ）（30）3 1 小时与 40 分钟是 32。所以两者的速度差之比是 23.请看 下面示意图： 马上可看出前一

17、速度差是 15。自行车速度是：35- 15 20（千 米/小时） 。 4上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩 托车去追他，在离家4 千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到 家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米， 这时是几点几分？ 解答： 画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4 4（千米） 。 而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米） 。 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的124 3（倍） 。 按照这个倍数计算， 小明骑 8 千米， 爸爸可以骑行 8324（千 米） 。 但事实上，爸爸少

18、用了 8 分钟，骑行了 41216（千米） 。少 骑行 24-168（千米） 。 摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟。8 81632。 答：这时是 8 点 32 分。 5小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每 小时步行 4 千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1 千米 的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。 解答： 画一张示意图 离中点 1 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走了两地距离的 一半多 1 千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米。从出发到相遇， 小张比小王多走了 2 千米。小张比小王每小时多走（5-4）千米，从 出

19、发到相遇所用的时间是 2（5-4）2（小时） 因此，甲、乙两地的距离是（5 4）218（千米） 。 6甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇 于 C 点。如果甲车速度不变， 乙车每小时多行 5 千米， 且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速 度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相 向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米。求 A，B 两地距离。 解答： 先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于 D 点，甲加速后与乙相遇于 E 点。同时出发后 的相遇时间，是由速度和决定的。不论甲加速，还是

20、乙加速，它们的 速度和比原来都增加 5 千米，因此，不论在D 点相遇，还是在E 点相 遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键。 下面的考虑重点转向速度差。 在同样的时间内，甲如果加速，就到E 点，而不加速，只能到 D 点。 这两点距离是 12 16 28（千米） ，加速与不加速所形成的速 度差是 5 千米/小时。 因此，在 D 点（或 E 点）相遇所用时间是285 5.6（小时） 。 比 C 点相遇少用 6-5.60.4（小时） 。 甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时，少走 12 千米， 因此甲的速度是：120.430（千米/小时） 。 同样道理，乙的速度是 160.

21、440（千米/小时） 。 A 到 B 距离是（30 40）6 420（千米） 。 答： A，B 两地距离是 420 千米。 7如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在 B 点同时出 发反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二 次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长。 解答： 第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来 又走了一圈。从出发开始算，两个人合起来走了一周半。因此，第二 次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程 的 3 倍，那么从A 到 D 的距离，应该是从A 到 C 距离的 3 倍，即A

22、到 D 是 803240（米） 240-60=180（米） 1802360（米） 答：这个圆的周长是 360 米。 8甲村、乙村相距6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发， 在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回） 。在出发后 40 分钟 两人第一次相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地方两人 第二次相遇。问小张和小王的速度各是多少？ 解答： 画示意图如下： 如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人 已共同走了甲、乙两村间距离的3 倍，因此所需时间是40360 2（小时） 。 从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了 62-210（千 米） 。 小王

23、已走了 62=8（千米） 。 因此，他们的速度分别是 小张 1025（千米/小时） ， 小王 82=4（千米/小时） 。 答：小张和小王的速度分别是 5 千米/小时和 4 千米/小时。 小张与小王分别从甲、 乙两村同时出发， 在两村之间往返行走 （到 达另一村后就马上返回） ，他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在 离乙村 2 千米处第二次相遇。 问他们两人第四次相遇的地点离乙村多 远（相遇指迎面相遇）？ 解答： 画示意图如下： 第二次相遇两人已共同走了甲、 乙两村距离的 3 倍，因此张走了 3.5310.5（千米） 。 从图上可看出，第二次相遇处离乙村2 千米。因此，甲、乙两村 距离是 10.5-28.5（千米） 。 每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2 倍的路程。 第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（ 322）倍的行程。 其中张走了 3.5724.5 （千米） ， 24.5=8.58.57.5 （千米） 。 就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1（千米） 。 答：第四次相遇地点离乙村 1 千米。 10绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向 而行。小王以 4 千米/小时速度每走 1 小时后休息 5 分钟；小张以 6 千米/小时速度每走 50 分钟后休息 10 分钟。问：两人出发多少时间 第一次相遇？ 解答： 小张的