高等数学-幂级数.ppt

1、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第二十七讲,2,习题课,级数的收敛、求和与展开,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和付式级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十一章,3,常数项级数,函数项级数,一 般 项 级 数,正 项 级 数,幂级数,三角级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,一、主要内容,4,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,5,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,性质2: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响

2、级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,敛散性不变.,原来的和.,6,常数项级数审敛法,正 项 级 数,任意项级数,1.,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,5.交错级数 (莱布尼茨定理),3.按基本性质;,一般项级数,4.绝对收敛,7,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,8,(2) 比较审敛法的极限形式,设,与,都是正项级数，如果,则 (1) 当,时，二级数有相同的敛散性,(2) 当,时，若,收敛则,收敛。,(3) 当,时，若,发散则,发散。,9,10,11,定义 正 、负项相间

3、的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,12,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,13,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,14,(3) 和函数,15,(1) 定义,6、幂级数,16,(2) 收敛性,17,推论,18,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,19,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,20,乘法,(其中,除法,21,b.和函数的分析运算性质:,22,7、幂级数展开式,(1) 定义,23,(2) 充要条件,(3) 唯一性,24,(3) 展开方法,a.直接法(泰勒级数

4、法),步骤:,b.间接法,方法,求展开式.,根据惟一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等,25,(4) 常见函数展开式,26,27,(1) 三角函数系,三角函数系,8、傅里叶级数,28,其中,称为傅里叶级数.,(2) 傅里叶级数,定义,三角级数,29,(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),30,(4) 正弦级数与余弦级数,31,32,奇延拓:,(5) 周期的延拓,偶延拓:,33,34,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,35,一、

5、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,36,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法: 若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,37,例1. 若级数,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,收敛 .,38,利用比值判别法, 可知原级数发散.,用比值法, 可判断级数,因 n 充分大时,再由比较法可知原级数收敛 .,发散,收敛,P322 题2. 判别下列级数的敛散性:,39,用比值判别法

6、可知:,时收敛 ;,时, 与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,时发散.,P322 题2. 判别下列级数的敛散性,40,P322 题3. 设正项级数,和,也收敛 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当n N 时,41,P322 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:,P 1 时, 绝对收敛 ;,0 p 1 时, 条件收敛 ;,p0 时, 发散 .,因各项取绝对值后所得强级数,故原级数绝对收敛 .,提示:,42,又因,单调递减, 且,所以原级数仅条件收敛 .,由Leibniz判别法知级数收敛 ;,解,P322 题

7、5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,即原级数非绝对收敛,43,因,所以原级数绝对收敛 .,P322 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,44,解: 原式=,的和 .,P323 题9(2). 求级数,45,例2.,设,在,的某个邻域内有连续二阶导,数，且,证 绝对收敛。,证：,利用麦克劳林公式：,（下证收敛，略）,46,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,P323 题7. 求下列级数的敛散区间:,练习:,47,解:,当,时, 原式=,时原级数收敛 .,令,原级

8、数发散.,48,解:,当,因此级数在端点发散 ,时, 原式=,故收敛区间为,同理级数发散.,49,解法1:,故收敛区间为,中一般项,不趋于0,令,原级数收敛,P323 题7. 求下列级数的敛散区间:,50,解法2: 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,51,例1.,解法2 利用根值判别法, 其收敛半径,52,例2、设,解：,由阿贝尔定理，,试求在,在,处的收敛，,处的敛散性。,在如上范围内绝对收敛，,故,时，原级数绝对收敛。,53,解:, 收敛半径为,例3. 求,发散。, 原级数的收敛域为,的收敛域.,收敛。,54, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和, 映射

9、变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数 求和,去分子常积分,55,解,例1,收敛域为,56,例2,解,57,求,的和函数。,解:,例3,58,求,的和函数。,解:,逐项求导得,再逐项求导, 得,分部积分 , 得,例3,59,例4. 求幂级数,先求出收敛区间,则,设和函数为,解,60,的和函数。,解:,例5 求,61,例6 P323 题8.,解:,显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,62,例6 P323

10、题8.,解:,x0,求下列幂级数的和函数：,可见收敛半径,63,显然 x = 0 时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x = 1 时,级数也收敛 .,即得,64,其收敛域为(-1，1)，和函数为,，则,的和 .,例7 求级数,65,四、函数的幂级数和付式级数展开法, 直接展开法, 间接展开法,练习:,1. 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,1. 函数的幂级数展开法,66,2. 函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,上的表达式为,将其展为傅氏级数 .,P323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数,它在,解答提示,67,68,思考: 如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有,提示:,69,例2、设,是周期为,的周期函数