2019版高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率 第56讲 二项式定理学案

1、第56讲二项式定理考纲要求考情分析命题趋势1.能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.2017全国卷，62017全国卷，42017山东卷，112016全国卷，142016天津卷，102016山东卷，12对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题.分值：5分1二项式定理二项式定理(ab)n_CanCan1bCankbkCbn(nN)_二项式系数二项式展开式中各项系数_C_(k0，1，n)二项式通项Tk1_Cankbk_，它表示第_k1_项2二项式系数的性质1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)在二项展

2、开式中第k项为Cankbk.()(2)通项Cankbk中的a和b不能互换()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(5)(ab)n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同()解析 (1)错误在二项展开式中第k1项为Cankbk，而第k项应为Cank1bk1.(2)正确通项Cankbk中的a与b如果互换，则它将成为(ba)n的第k1项(3)错误由二项展开式中某项的系数的定义知；二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项(4)正确因为二

3、项式(ab)n的展开式中第k1项的二项式系数为C，显然它与a，b无关(5)正确因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数2已知7的展开式的第4项等于5，则x(B)ABC7D7解析 7的展开式中T4Cx435，所以x.3化简：CCC的值为_22n1_.解析 因为CCC22n，所以CCC22n1.4.5展开式中的常数项为_40_.解析 Tr1C(x2)5rrC(2)rx105r，令105r0，得r2，故常数项为C(2)240.5(2017山东卷)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_4_.解析 由题意可知C3254，C6，解得n

4、4.一二项展开式中的特定项或系数问题(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第k1项，再由特定项的特点求出k值即可(2)已知展开式中的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k1项，由特定项得出k值，最后求出其参数【例1】 (1)(2018广东惠州模拟)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(A)A10B10C5D20(2)8的展开式中的有理项共有_3_项解析 (1)Tr1C(x2)5r(x1)rC(1)rx103r，令103r4，得r2，所以含x4项的系数为C(1)210，故选A(2)展开式的通项为Tr1C()8rrrCx(r0,1,2，8)，为使Tr1为有理项，r必须是

5、4的倍数，所以r0,4,8，故共有3个有理项二多项展开式中的特定项或系数问题(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决【例2】 (1)48的展开式中的常数项为(D)A32B34C36D38(2)(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为(C)A80B40C40D80(3)(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为

6、(C)A15B20C30D35解析 (1)4的展开式的通项为Tm1C(x3)4mmC(2)mx124m，令124m0，解得m3，8的展开式的通项为Tn1Cx8nnCx82n，令82n0，解得n4，所以所求常数项为C(2)3C38.(2)当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(y)3；当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(y)2，所以x3y3的系数为C23C2210(84)40.(3)(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30，故选C三二项式系数的和与性质赋值法的应用(1)形如(axb)n，(

7、ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.【例3】 (1)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m(B)A5B6C7D8(2)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a1a2a3a4_0_.解析 (1)由题意得：aC，bC，所以1

8、3C7C，13，解得m6，经检验符合题意，选B(2)令x1可得a0a1a2a3a41；令x0，可得a01，所以a1a2a3a40.四二项式定理的应用(1)整除问题的解题思路：利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断(2)求近似值的基本方法：利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.【例4】 (1)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整数，则a(D)A0B1C11D12(2)1.028的近似值是_1.172_.(精确到小数点后三位)解析 (1)512 012

9、a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除，且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.1(2018河南商丘检测)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是(D)A74B121C74D121解析 展开式中含x3的项的系数为C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.2(2018安徽安庆二模)将3展开后，常数项是_1

10、60_.解析 36展开后的通项是C()6kk(2)kC()62k.令62k0，得k3.所以常数项是C(2)3160.3(2018广东广州综合测试)已知n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为_8_.解析 二项式n的展开式的通项是Tr1C(2x3)nrrC2nr(1)rx3n4r，依题意，有3n460，得n8.4C3C5C(2n1)C_(n1)2n_.解析 设SC3C5C(2n1)C(2n1)C，S(2n1)C(2n1)C3CC，2S2(n1)(CCCC)2(n1)2n，S(n1)2n.易错点不能灵活使用公式及其变形错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误【例1】 求5展开式中常数项解析 x

11、3，原式(x1)15，则常数项为C(1)53 003.【例2】 求9192被100除所得的余数解析 (901)92C9092C9091C902C90C，前91项均能被100整数，剩下两项和为929018 281，显然8 281除以100所得余数为81.【跟踪训练1】 (x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为(C)A10B20C30D60解析 (x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.课时达标第56讲解密考纲对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式

12、的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现一、选择题1二项式10的展开式中的常数项是(A)A180B90C45D360解析 10的展开式的通项为Tk1C()10kk2kCx5k，令5k0，得k2，故常数项为22C180.2设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(B)A16B10C4D2解析 2n展开式的通项公式为Tk1Cx2nkkC(1)kx，令0，得k，依据选项知n可取10.3.6的展开式的第二项的系数为，则x2dx的值为(B)A3BC3或D3或解析 该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5，解得a1，因此x2dxx2dx|.4已知(1x)10a0a1

13、(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8(D)A5B5C90D180解析 (1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22(1)8180，故选D5若()5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为(D)解析 ()5的展开式的通项为Tr1Cxy，则T3Cxy10，即xy1，由题意知x0，故D选项的图象符合6在(2xxlg x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x(C)A1BC1或D1解析 二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5C(2x)4(xlg x)41 120，x4(1lg x)1，两边取对数可知lg2xlg

14、x0，得lg x0或lg x1，故x1或x.二、填空题7(2017浙江卷)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_16_，a5_4_.解析 由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4C12C22C13C216，a5是常数项，所以a5C13C224.8(2016全国卷)(2x)5的展开式中，含x3项的系数是_10_(用数字填写答案)解析 由(2x)5得Tr1C(2x)5r()r25rCx5，令53得r4，此时系数为10.9若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于_32_.解析 对于Tr1C()nrrC2rx，当rn时展

15、开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n5m，则有r3m，则23mC80，因此m1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n2532.三、解答题10已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解析 (1)依题意知n的展开式的通项为Tr1C()nrrrCx，又第6项为常数项，则当r5时，0，即0，解得n10.(2)由(1)得Tr1rCx，令2，解得r2，故含x2的项的系数为2C.(3)若Tr1为有理项，则有Z，且0r10，rZ，故r2,5,8，则展开式中的有理项分别为T3C2x2x2，T6C5，T9C8x2x2.11已知(12x)7a0a1xa

16、2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解析 令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.12已知 n，求：(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系