2019届高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 不等式选讲学案 理 北师大版

1、14.2不等式选讲最新考纲考情考向分析1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，bR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不

2、等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想2含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立3

3、不等式证明的方法(1)比较法作差比较法知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方法(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“

4、”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()题组二教材改编2不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D解析由题意得即解得不等式的解集为(2,1 4,7)3求不等式|x1|x5|2的解集解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原

5、不等式的解集为(，4)题组三易错自纠4若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a .答案4或6解析方法一当a1时，f(x)3|x1|，f(x)min0，不符合题意；当a1时，f(x)f(x)minf(a)a15，a4成立综上，a4或a6.方法二当a1时，f(x)min0，不符合题意；当a1时，f(x)minf(a)|a1|5，a4或a6.5已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为 答案9解析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成立6若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 答案解析设y|2x1|x2|当x5；当2x，y5

6、；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故实数a的取值范围为.题型一绝对值不等式的解法1(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而10.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围解(

7、1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解题型二利用绝对值不等式求最值典例 (1)对

8、任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|123.当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.

9、(3)利用零点分区间法跟踪训练 (2017镇江模拟)已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2题型三绝对值不等式的综合应用典例 已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)

10、当a时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围解(1)f(x)|xa|(a0)，f(xm)|xma|，f(x)f(xm)|xa|xma|1，又|xa|xma|m|，|m|1，1m1，实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)minga0，或ay，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2

11、c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立，所以原不等式成立思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野跟踪训练 (2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6

12、ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.1解不等式|x1|x2|5.解方法一如图，设数轴上与2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数显然，区间2,1不是不等式的解集把点A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|A1B|145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|B1B|5，故原不等式的解集为(，32，)方法二由原不等式|x1|x2|5，可得或或解得x2或x3，

13、原不等式的解集为(，32，)方法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图像，如图所示由图像可知，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)2(2017烟台二模)若不等式log2(|x1|x2|m)2恒成立，求实数m的取值范围解由题意可知|x1|x2|m4恒成立，即m(|x1|x2|4)min.又因为|x1|x2|4|(x1)(x2)|41，当且仅当1x2时等号成立，所以m1.即实数m的取值范围为(，13对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a

14、3b|3，所以|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，)4设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设知abcd，abcd，得()2()2.因此 .(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd；由(1)得，即必要性成立；若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|c

15、d|，即充分性成立综上，是|ab|cd|的充要条件5(2017洛阳模拟)已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0)(1)当a4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围解(1)当a4时，不等式为|2x1|x1|2.当x时，x22，解得4x1时，x0，此时x不存在，原不等式的解集为.(2)令f(x)|2x1|x1|，则f(x)故f(x)，即f(x)的最小值为.若f(x)log2a有解，则log2a，解得a，即a的取值范围是.6(2017沈阳模拟)设f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集为6,2，求实数a的值；(2)当a2时，若存在x0R，使得不等式f(2x01

16、)f(x01)73m成立，求实数m的取值范围解(1)显然a0，当a0时，解集为，则6，2，无解；当a0时，解集为，令2，6，得a.综上所述，a.(2)当a2时，令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|由此可知h(x)在上是减少的，在上是增加的，在上是增加的，则当x时，h(x)取得最小值，由题意，知73m，则实数m的取值范围是.7(2017哈尔滨三中检测)已知a，b，c为正实数，且abc2.(1)求证：abbcac；(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范围(1)证明abc2，a2b2c22ab2bc2ca4，2a22b22c24ab4bc4ca8，82a22b22c24ab

17、4bc4ca6ab6bc6ac，当且仅当abc时取等号，abbcac.(2)解由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4，4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)，当且仅当abc时取等号，a2b2c2.0aa2.同理bb2，cc2.a2b2c2abc2，a2b2c22，a2b2c2的取值范围为.8已知函数f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集为0,1(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.(1)解由f(x1)0，得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m1，当x0时，x1时，得2x1m,1x.综上可知，不等式|x|x1|m的解集为.由题意知，原不等式的解集为0,10，1，解得m1.m1.(2)证明x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，当且仅当xa，yb，zc时等号成立三式相加，得x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由题设及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1，22(axbycz)，axbycz