2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.3.1幂函数的概念2.3.2幂函数的图象和性质学案湘教版必修

1、23幂函数23.1幂函数的概念23.2幂函数的图象和性质学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小知识链接函数yx，yx2，y(x0)的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性yxRR递增奇yx2R0，)在(，0)上递减偶在0，)上递增yx|x0y|y0在(，0)上递减奇在(0，)上递减预习导引1幂函数的概念一般来说，当x为自变量而为非0实数时，函数yx叫作(次的)幂函数2幂函数的图象与性质幂函数yxyx2yx3yyx1图象定义域RRR0，)(，0) (0，)值域R0，)R0，)y

2、|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性递增x0，)递增；x(，0递减递增递增x(0，)递减；x(，0)递减定点(1,1)要点一幂函数的概念例1函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3，在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合要求f(x)的解析式为f(x)x3.规律方法1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系，导致解题受阻2幂函数yx(R)中，为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函

3、数的重要依据和唯一标准幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错跟踪演练1已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f(100)_.答案10解析由题意可知f(9)3，即93，f(x)，f(100)10.要点二幂函数的图象例2如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，答案B解析考虑幂函数在第一象限内的增减性注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0时看|n|的大小根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，yxn递增速度越快，故c1的

4、n2，c2的n，当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n，曲线c4的n2，故选B.规律方法幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x1的右侧，yx的图象由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1的左侧，yx的图象由上到下，指数由小变大(2)当0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当01时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸跟踪演练2如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n0，m1Dn1，m1答案B解析在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交

5、点，如图所示根据点低指数大，有0m1，n1.要点三比较幂的大小例3比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)1与1；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.解(1)y是0，)上的增函数，且，.(2)yx1是(，0)上的减函数，且，11.(3)0.252，6.252.5.yx是0，)上的增函数，且22.5，22.5，即0.256.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，又y0.3x是减函数，0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.规律方法1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同

6、而底数相同，则构造指数函数2若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量跟踪演练3比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)3.143与3；(3)与.解(1)yx0.5在0，)上是增函数且，0.50.5.(2)yx3是R上的增函数，且3.14，3.1433，3.1433.(3)yx是减函数，.y是0，)上的增函数，.1下列函数是幂函数的是()Ay5xByx5Cy5xDy(x1)3答案B解析函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2下列函数中，其定义域和值域不同的函

7、数是()AyByxCyDyx答案D解析yx，其定义域为R，值域为0，)，故定义域与值域不同3设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A1,3B1,1C1,3D1,1,3答案A解析可知当1,1,3时，yx为奇函数，又yx的定义域为R，则1,3.4若a()，b()，c(2)3，则a、b、c的大小关系为_答案abc解析yx在(0，)上为增函数()()，即ab0.而c(2)3230，abc.5幂函数f(x)(m2m1)xm22m3在(0，)上是减函数，则实数m_.答案2解析f(x)(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，当m1时

8、，f(x)x01不符合题意综上可知m2.1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.一、基础达标1已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为()A16B.C.D2答案C解析设f(x)x，则有2，解得，

9、即f(x)x，所以f(4)4.2下列命题中正确的是()A当0时，函数yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点C若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域上是增函数D幂函数的图象不可能在第四象限答案D解析当0时，函数yx的定义域为x|x0，xR，其图象为两条射线，故A选项不正确；当0时，函数yx的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数yx1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x0，R时，yx0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确3下列幂函数中yx1；yx；yx；yx2；yx3，其中在定义域内为增函数的个数为()A2B3C4D5

10、答案B解析由幂函数性质知在定义域内为增函数4当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的大小关系是()Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)g(x)h(x)答案D解析在同一坐标系中，画出当0x1时，函数yx2，yx，yx2的图象，如图所示当0x1时，有x2xx2，即f(x)g(x)h(x)5下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2Byx1Cyx2Dy答案A解析由于yx1和y都是奇函数，故B、D不合题意又yx2虽为偶函数，但在(0，)上为增函数，故C不合题意yx2在(0，)上为减函数，且为偶函数，故A满足

11、题意6幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)27的x值等于_答案解析设f(x)x，由题意可知2，3，即f(x)x3.由x327可知x.7比较下列各组中两个值的大小：(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；(2)3.5与5.3；(4)0.180.3与0.150.3.解(1)幂函数yx在(0，)上单调递增，且1.51.6，1.51.6.(2)幂函数yx1.3在(0，)上单调递增，且0.60.7，0.61.30.71.3.(3)幂函数yx在(0，)上单调递减，且3.55.3，3.55.3.(4)幂函数yx0.3在(0，)上单调递减，且0.180.15，0.180.30.

12、150.3二、能力提升8设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCabcDbca答案C解析函数yx在R上是减函数，又，即ab.又函数yx在R上是增函数，且，即cb，abc.9函数y的图象是()答案B解析方法一代入选项验证即可方法二y1，利用函数图象的变换可知选B.10若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”那么函数解析式为f(x)x2，值域为1,4的“同族函数”共有()A7个B8个C9个D无数个答案C解析值域为1,4，其定义域由1，1,2，2组成，有1,2，1，2，1,2，1，2，1，1，2，1，1,2，1,2，2，1,2，2，1，1,2

13、，2，共有9种情况11已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)f(2lgx)，求g(x)的定义域、值域解(1)设f(x)xa，则由题意可知25a5，a，f(x)x.(2)g(x)f(2lgx)，要使g(x)有意义，只需2lgx0，即lgx2，解得0x100.g(x)的定义域为(0,100，又2lgx0，g(x)的值域为0，)三、探究与创新12已知幂函数yf(x)x2m2m3，其中mx|2x2，xZ，满足：(1)是区间(0，)上的增函数；(2)对任意的xR，都有f(x)f(x)0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x0,3时f(x)的值域解因为mx|2x2，xZ, 所以m1,0,1.因为对任意xR，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数当m1时，f(x)x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m1时，f(x)x0条件(1)、(2)都不满足当m0时，f(x)x3条件(1)、(2)都满足，且在区间0,3上是增函数所以x0,3时，函数f(x)的值域为0,2713已知幂函数f(x)xm22m3(m