2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教A版选修2

1、3.1.1空间向量及其加减运算学习目的1 .矢量及其运算经过由平面向空间扩展的过程，了解空间向量、矢量模型、零矢量、相反向量、相等矢量等概念.2.用平行四边形定律、三角形定律建立矢量的和与差，了解矢量加法的交换定律和联立定律知识点的空间向量概念考虑类比平面向量的概念，给出空间向量的概念答案在空间里，有大小和方向的量叫空间向量(1)整理空间，将具有大小和方向的量称为空间向量，将向量的大小称为向量的长度或类型空间向量也由有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模型。如果向量a的起点是a，终点是b，则向量a也可以记为|a|或|。(2)一些特殊的空间向量名字定义和显示零矢量将规定长度为0的矢量称为零矢量

2、，标记为0单位矢量地震震级为1的矢量称为单位矢量相反向量将与矢量a长度相等方向相反的矢量称为a的相反向量，记为-a相等向量方向相同且类型相等的向量称为相等的向量，同方向且等长的有向线段表示相同的向量或相等的向量知识点两空间向量的加减和换算表思考1在下面给出两个空间向量a、b，做成了b a、b-a。当如图所示，将空间中的两个向量a、b相加时，我们首先将向量a、b在相同平面内平行移动，如果以任意点o为起点=a、=b，则可以设为=a b、=-=b-a。思考2从上述的运算过程总结，如何求出空间的两个矢量的和差下面两个格拉夫的算法分别使用了怎样的算法？答案是，首先将2个矢量直线移动到相同平面后，使用平面

3、向量的算法(三角形的法则、平行四边形的法则)进行运算即可，图1是三角形的法则，图2是平行四边形的法则。卡(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法=a b，=-=a-b。(2)空间向量加法交换规则a b=b a，空间向量加法耦合律(a b) c=a (b c )。类型1理解空间向量的概念例1得出以下结论若两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a、b满足|a|=|b|，则a=b。 在立方形ABCD-A1B1C1D1中，有： 如果空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p .中不正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案b解析的2个空间向量相等，由于它们的起点

4、、终点不一定相同，所以如果不正确的空间向量a、b满足|a|=|b|，则不一定能够判断为a=b，所以不正确。 在立方形ABCD-A1B1C1D1中，=必定成立，所以是正确的。 显然是正确的.所以选择b反思与感化在空间中，向量、向量的模型、相等向量的概念与平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的满足条件两向量的方向相同，模型相等。 两个向量彼此相反向量的满足条件大小相等，方向相反跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，和； 、.这里，如果彼此有n对相反向量，则n等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案b解析为和长度相等，方向相反，相互为相反向量和长度相等，方向不相反的情况和

5、长度相等，方向相同，因此相互相反向量的有2对(2)如图所示，在长方体的ABCD-abcd中，AB=3、AD=2、aa=1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，有几个单位矢量？试着写出类型的所有向量尝试导出与矢量相等的所有矢量尝试写出矢量的所有相反向量由于解是长方体的高度为1，所以对应于长方体的4个高度的向量、的校正8个向量都是单位矢量，而其它向量的模型都不是1，所以单位矢量是校正8个由于长方体的左右两侧的对折角线的长度都相同，所以模型的向量是、有与矢量相等的所有矢量(本身除外)与向量相反的向量是：、类型2空间向量的加减运算例2如图所示，已知长方体abcd-abcd ，将以下矢量式简化，将简化

6、结果的矢量绘制在图中.(1)-；(2)。解(1)-=-=。(2) =()=.向量，如图所示。补充探究利用例2题图、简化.解耦加法=、=、=0。因此=0。反省依次与感知(1)的首尾相邻的一些向量的和等于指向从开始向量的起点到末尾向量的终点的向量，即=.(2)若成功邻接的几个向量构成一个封闭的图形，则它们的和为0 .如图所示，=0(3)空间向量减法也可被视为向量的相加，即a-b=a (-b )。(4)空间任意两个矢量都能够在同一平面内平移，成为同一平面内的两个矢量，由于平面向量满足加法交换规则，所以空间向量也满足加法交换规则.(5)空间向量加法的证明：如图所示，(a b) c=()=、a (b c

7、)=()=，c等于a等于b等于c。跟踪训练2在图所示平行六面体中，求证明：=2证明六面体的六个面都是平行四边形，=、=、=、=，是() () () ()=2()。另外，=，=、=。 =2。1 .在下列命题中，假命题为()a .和平面向量一样，任何一个空间向量都不能比较大小b .两个相等向量在起点相同时终点也相同c .仅零矢量的地震震级为0d .空间中的任意两个单位矢量必须相等答案d2 .在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有()a .一个b .两个c .三个d .四个答案c与分析相等的向量有、的订正3个3 .矢量a、b相互是相反向量，如果知道|b|=3，那么下面的结论是

8、正确的()A.a=b B.a b是实数0C.a与b方向相同D.|a|=3答案d如果解析矢量a、b相互为相反向量，则a、b模式相等，方向相反.4 .在立方形ABCD-A1B1C1D1中，以下各式为人所知。()； ()； ()； () .其中运算结果为_个。答案4解析部根据空间向量的相加及立方形的性质逐一进行确定()=；()=；()=；()=。四个公式的运算结果都是五.简化二十三=_ _ _ _ _ _ _答案0分析2 2 3 3=2 2 2 2 =0。1 .一些特殊向量的特性(1)零向量并非没有方向，其方向是任意的(2)单位矢量方向不一定相同，但它们的长度都是1 .(3)两个向量模型相等，不一定

9、是相等的向量，相反地，如果两个向量相等，则它们不仅是模型，方向也是相同的。 如果两个向量模型相等，则方向相反，则它们是相反的向量。2 .空间向量加法、减法两种技巧(1)巧妙使用相反向量：矢量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，利用相反向量可以连接矢量的首尾(2)巧用平移：在利用三角形定律和平行四边形定律进行矢量加法、减法的情况下，必须注意和矢量、差矢量的方向，根据需要可以使用空间向量的自由平移得到运算结果40分钟会话的课外作业一、选择题1 .下面的说法正确的是()a .零向量是有方向的向量b .如果将空间中的所有单位矢量平移到同一起点，则它们的终点构成圆c.4点a、b、c、d构成平

10、行四边形ABCD的充分条件=d .和是相反向量的话，a、b、c、d这4点必须在一条直线上答案a由于解析定义的零向量的方向是任意的，a是正确的b中所有单位矢量的终点构成球面而不是圆，因此b对错误选项c是必要的，并不是一盏茶条件。=的情况下，a、b、c、d的4点有可能在同一条线上，所以与c错误的相反向量方向相反，不一定在同一条直线上2 .所谓连接已知的空间四边形ABCD、AC、BD是指()A. B. C. D.0答案a分析=。3 .如该图所示，点d是空间四边形OABC的边BC的中点，若=a、=b、=c，则为()a.(a b)-cb.(c a)-bc.(b c)-ad.a (b c )答案c分析=-

11、 ()=-a (b c )。4 .在立方形ABCD-A1B1C1D1中，矢量式-简并后的结果为()甲乙丙。答案a如解析图所示，|=、-=-=、=。5 .在空间中从ABC移位到abc，连接对应的顶点，=a、=b、=c、m为BC的中点，n为bc的中点，如图所示a.a.b.a.b.c.a.b.a答案d所以选择d。6 .判断下列各命题的真伪：如果矢量a和b平行，则a和b的方向相同或相反有共同的起点，而且有两个相等的矢量，其终点必定相同零矢量没有方向有向线段是矢量，矢量是有向线段A.2 B.3 C.4 D.5答案b分析假命题，a和b中有零向量时，其方向不确定真命题假命题、零向量也是向量，所以也有方向，但

12、方向不确定假命题、向量可以用有向线段表示，但不是有向线段二、填海问题7 .如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，为：答案分析=。=-(-)=-=。8 .空间中的非零向量、包括：AB=； -=； | |=|； |-| .其中，必须成立的是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(填补序列号)回答基于解析空间向量的加减运算如下：:=始终成立，相对于此，方向相同时，| |=|； 与相对，在一条直线上且与方向相反时，|-|=|。只有是绝对不成立的9 .在直三角柱ABC-A1B1C1中，=a、=b、=c的话，就是答案-a b-c分析图，=(-)=- -=-c b-a。10 .在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请选择：答案2分析- -=()-()()=-=2。三、解答问题11 .如图所示，在平行六面体ABCD-abcd中，简化了以下表达式：(一)；(2)；(三)；(4) -。解(1)=。=。=。(4) -=() () ()-=。12 .如附图所示，在三角柱ABC