《n维随机向量》PPT课件.ppt

1、1,一、联合分布与边缘分布 定义3.16 n维随机向量(X1，X2，Xn) 定义3.17 n维随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn 记FXi(xi)=Fi(xi)=PXixi为关于Xi的边缘分布函数。 定义3.18 离散型n维随机向量(X1,X2, ,Xn)的联合概率函数为 p(x1,x2,xn)=PX1=x1,X2=x2,Xn=xn 记pXi(xi)=pi(xi)=PXi=xi为关于Xi的边缘概率函数。 定义3.19 连续型n维随机向量(X1,X2,Xn)的联合密度函数为 f(x1,x2,xn) 记 fXi(xi)=fi(xi)

2、 为关于Xi的边缘密度函数。,第五节*、n维随机向量,2,二、独立性 定义3.20 对于n维随机向量(X1，X2，Xn)，如果对任意的xiR, 都有F(x1, x2, , xn)=FX1(x1)FX2( x2) FXn(xn) 则称X1，X2，Xn 相互独立。 等价于：联合分布函数等于各个边缘分布函数之积,第五节*、n维随机向量,也可这样定义： 如果对于任意的aibi，i=1,2, ,n，都有 Pa1X1b1,a2X2b2,anXnbn =Pa1X1b1P a2X2b2PanXnbn 则称X1，X2，Xn 相互独立。,3,对于离散型n维随机向量(X1，X2，Xn)，则 X1,X2,Xn 相互独

3、立的充分必要条件是：对于任意的 x1,x2,xn，有 PX1=x1,X2=x2,Xn=xn=PX1=x1PX2=x2PXn=xn 即联合概率函数等于各个边缘概率函数之积。,第五节*、关于n维随机向量的独立性,对于连续型n维随机向量(X1，X2，Xn) ，则 X1,X2, ,Xn 相互独立的充分必要条件是：对于任意的 x1,x2,xn，有 f(x1,x2,xn)= fX1(x1) fX2(x2) fXn(xn) 即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。,定义3.21 (独立同分布的随机变量序列) 若随机向量序列X1,X2,Xn中任意n个随机变量(n=2,3,)都相互独立，且每个随机变量Xi都服从

4、同一种分布， 则称X1,X2,Xn,独立同分布的随机变量序列。,4,三、n维机向量函数 n维随机向量(X1，X2，Xn)的函数记为 Y=g(X1，X2，Xn) 定理3.11：设XiN(mi,si2)，i=1,2,n，且X1,X2,Xn相互独立，则它们的非零线性组合仍服从正态分布，即存在不全为零的常数a1,a2,an，有,第五节*、n维随机向量,推论：设X1,X2,Xn相互独立且同分布，XiN(m,s2)，i=1,2,n，则,5,第五节*、n维随机向量,例1：假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同服从参数p=0.4的“0-1”分布，即PXi=0=0.6,PXi=1=0.4 (i=1,2

5、,3,4)，求行列式Z的概率分布。,解：由22阶行列式表示Z=X1X4-X2X3，根据X1，X2，X3，X4的地位是等价且相互独立的，X1X4与X2X3也是独立同分布的，因此可先求出X1X4和X2X3的分布律，再求Z的分布律. 记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则Z=Y1-Y2，随机变量Y1和Y2独立同分布： PY1=1=PY2=1=PX2=1,X3=1=0.16 PY1=0=PY2=0=1-0.16=0.84,6,第五节*、n维随机向量,例1：假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同服从参数p=0.4的“0-1”分布，即PXi=0=0.6,PXi=1=0.4 (i=1,2,3,4)，

6、求行列式Z的概率分布。,随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值-1，0，1.易见 PZ=-1=PY1=0，Y2=1=0.840.16=0.1344 PZ=1=PY1=1，Y2=0=0.160.84=0.1344， PZ=0=1-20.1344=0.7312 于是行列式的概率分布为,7,第五节*、n维随机向量,例2 设X1,X2,Xn相互独立且同分布，分布函数均为F(x)，Y=maxX1,X2,Xn，Z=minX1,X2,Xn，分别求随机变量Y和Z的分布函数。 解：FY(x)=PYx=PmaxX1,X2,Xnx =PX1x,X2x,Xnx =PX1xPX2xPXnx=F(x)n PZx=PminX1

7、,X2,Xnx =PX1x,X2x,Xnx =PX1xPX2xPXnx=1-F(x)n FZ(x)=PZx=1-PZx=1-1-F(x)n,8,第五节*、n维随机向量,四、数学期望与方差 期望向量与方差向量 定义3.22：如果n维随机向量(X1,X2,Xn)中每个分量的期望、方差都存在，则称(EX1,EX2,EXn)为(X1,X2,Xn)的期望向量；称(DX1,DX2,DXn)为(X1,X2,Xn)的方差向量。 关于n个随机变量的期望与方差的性质 如果随机变量X1,X2,Xn的期望都存在，则对任意常数a1,a2,an有,特别地：,9,第五节*、n维随机向量,若随机变量X1,X2,Xn相互独立，

8、且期望都存在，则 E(X1X2Xn)=EX1EX2EXn (注意逆命题不成立),如果X1,X2,Xn中任意两个随机变量的协方差Cov(Xi,Xj)都存在，则,若随机变量X1,X2,Xn相互独立，且方差都存在，则 D(X1X2Xn)=DX1+DX2+DXn,并且对任意常数a1,a2,an有,10,五、协方差矩阵和相关系数矩阵,定义3.23 如果n维随机向量(X1，X2，Xn)中的各个分量Xi (i=1,2, ,n)的方差都存在，则以Cov(Xi,Xj)为元素的n阶矩阵称为该随机向量的协方差阵。记作V，即,其中vii=Cov(Xi,Xi)=DXi vij=Cov(Xi,Xj)=Cov(Xj,Xi)

9、=vji 如n=2时,11,五、协方差矩阵和相关系数矩阵,定义3.24 如果n维随机向量(X1，X2，Xn)中任意两个分量Xi与Xj的相关系数rij都存在(i,j=1,2, ,n) ，则以rij为元素的n阶矩阵称为该随机向量的相关系数矩阵。记作R，即,其中rii=1，rij=rji ，(i,j=1,2,n) 如n=2时,12,例题3,参见P132,例3 已知X与Y的协方差矩阵V，求X与Y的相关系数矩阵.其中,解 由X与Y的协方差矩阵V,即得DX=25，DY=36，Cov(X,Y)=12，由相关系数公式,13,例题4,参见P132,例4 已知EX=m，DX=s2，Y=3-4X，求X与Y的协方差矩阵及相关系数矩阵.,解 由DX=s2，DY=D(3-4X)=16s2 由Y=aX+b知r=-1,14,补充例题,参见P137例2,已知XN(0,1)，YN(0,1)，D(X-Y)=0，求X与Y的协方差矩阵.,解 由N(0,1)知EX=EY=0，DX=DY=1，D(X-Y)=0 而D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)，得Cov(X