2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）

1、2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是（）A2B1C1D22已知集合x|x2+ax=0=0，1，则实数a的值为（）A1B0C1D23已知tan=2，且，则cos2=（）ABCD4阅读如图的程序框图若输入n=5，则输出k的值为（） A2B3C4D55已知函数f（x）=，则f（f（3）=（）ABCD36已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A4B6C8D107四个人围坐在一张圆桌旁，每个

2、人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）ABCD8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）ABCD9设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A（0，0）B（1，1）C（1，1）D（1，1）或（1，1）10九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖

3、臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A8B12C20D2411已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0，0）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）Af（x）在上单调递减Bf（x）在上单调递减Cf（x）在上单调递增Df（x）在上单调递增12已知函数f（x）=+cos（x），则的值为（）A2016B1008C504D0二、填空题：本小题共4题，每小题5分13已知向量=（1，2），=（x，1），若（），则=14若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且

4、该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是15满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为16在ABC中，ACB=60，BC1，AC=AB+，当ABC的周长最短时，BC的长是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列Sn的前n项和Tn18某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线

5、生产产品该质量指标值的中位数；（）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（）根据已知条件完成下面22列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿B

6、D折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体（）求证：AB平面ADC；（） 若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离20已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（） 求椭圆C的方程；（） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由21已知函数f（x）=lnx+（） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（） 证明：当a时，f（x）ex选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以坐标原点

7、为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=2cos（）（） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+a1|+|x2a|（） 若f（1）3，求实数a的取值范围；（） 若a1，xR，求证：f（x）22017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是（）A2B1C1D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=1i的虚部是1故选：B2

8、已知集合x|x2+ax=0=0，1，则实数a的值为（）A1B0C1D2【考点】集合的表示法【分析】集合x|x2+ax=0=0，1，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值【解答】解：由题意，0+1=a，a=1，故选A3已知tan=2，且，则cos2=（）ABCD【考点】二倍角的余弦【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cos，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解【解答】解：tan=2，且，cos=，cos2=2cos21=2（）21=故选：C4阅读如图的程序框图若输入n=5，则输出k的值为（） A2B3C4D5【考点】循环结构【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结

9、果；直到满足判断框中的条件，执行输出【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5已知函数f（x）=，则f（f（3）=（）ABCD3【考点】函数的值【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3）的值【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1，所以f（f（3）=4=，故选A6已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|P

10、F1|=2，则|PF2|等于（）A4B6C8D10【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，a=3由双曲线的定义可得|PF2|2=6，|PF2|=8，故选C7四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，

11、3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P=，故选：B8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD，作出图形，可得结论【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C故选：C9设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A（0，0）B（1，1）C（1，

12、1）D（1，1）或（1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，导函数等于1求得点（x0，f（x0）的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论【解答】解：f（x）=x3+ax2，f（x）=3x2+2ax，函数在点（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，3x02+2ax0=1，x0+x03+ax02=0，解得x0=1当x0=1时，f（x0）=1，当x0=1时，f（x0）=1故选：D10九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑

13、，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A8B12C20D24【考点】球的体积和表面积【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC=2，球O的半径为，球O的表面积为45=20，故选C11已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0，0）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）Af（x）在上单调递减Bf（x）在上单调递减Cf（x）在上单调递增Df（x）在上单调递增【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】根

14、据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出的值，由条件和周期共识求出的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可【解答】解：由题意得，f（x）=sin（x+）+cos（x+）= sin（x+）+cos（x+）=，函数f（x）（0，0）是奇函数，则，又0，=，f（x）=，y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，T=，则=4，即f（x）=，由得4x（0，），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D12已知函数f（x）=+cos（x），则的值为（）A2016B1008C504D0【考点】数列的求和【分析】函数f（x）=+cos（

15、x），可得f（x）+f（1x）=0，即可得出【解答】解：函数f（x）=+cos（x），f（x）+f（1x）=+cos（x）+=1+0=1，则=2016=1008故选：B二、填空题：本小题共4题，每小题5分13已知向量=（1，2），=（x，1），若（），则=【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解： =（1x，3），（），2（1x）3=0，解得x=则=2=故答案为：14若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y1）2=2【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即

16、为半径，从而得出圆的方程【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，抛物线的焦点为F（0，1）即圆C的圆心为C（0，1）圆C与直线y=x+3相切，圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d=圆C的方程为x2+（y1）2=2故答案为：x2+（y1）2=215满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为3【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a1，此时阴影部分的面积S=21+（a1）a+1（3a）=5，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，不等式组或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a1时，其

17、阴影部分面积SSAOB=21=1，不合题意，必有a1，当a1时，阴影部分面积S=21+（a1）a+1（3a）=5，解可得a=3或1（舍）；故答案为：316在ABC中，ACB=60，BC1，AC=AB+，当ABC的周长最短时，BC的长是+1【考点】三角形中的几何计算【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以ABC的周长l=a+b+c=+a，

18、化简可得l=3（a1）+，因为a1，所以由均值不等式可得3（a1）=时，即6（a1）2=3，解得a=+1时，ABC的周长最短，故答案为： +1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列Sn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）Sn=2an2（nN*），可得n=1时，a1=2a12，解得a1n2时，an=SnSn1，再利用等比数列的通项公式即可得出（II）利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（I）Sn=2an2（nN*），n=1时，a1=2a12，解得a1=2n2时，

19、an=SnSn1=2an2（2an12），化为：an=2an1，数列an是等比数列，公比为2an=2n（II）Sn=2n+12数列Sn的前n项和Tn=2n=2n+242n18某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（）根据已知条件完成下面22列联表，并回答

20、是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图【分析】（）利用（0.012+0.032+0.052）5+0.076（x205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论【解

21、答】解：（）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）50.5（0.012+0.032+0.052+0.076）5=0.86，则（0.012+0.032+0.052）5+0.076（x205）=0.5，解得 （）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为： （）22列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合

22、计5050100则，因为1.32.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关” 19如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体（）求证：AB平面ADC；（） 若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（）由题意结合面面垂直的性质可得BDDC，有DC平面ABD，进一步得到DCAB，再由线面垂直的判定可得AB平面ADC

23、；（）由（）知DC平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离【解答】（）证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，又BDDC，DC平面ABD，AB平面ABD，DCAB，又折叠前后均有ADAB，DCAD=D，AB平面ADC（）解：由（）知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角依题意，AD=1，设AB=x（x0），则，ABDBDC，即，解得，故由于AB平面ADC，ABAC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，DC平面ABD，设点B到

24、平面ADE的距离为d，则，即点B到平面ADE的距离为20已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（） 求椭圆C的方程；（） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）法一：由PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称设直线PA的方程为y1=k（x2），直线AQ的方程为y1=k（x2）由，得（1+4k2）x2（16k28k）x+16k216k4=0由点A（

25、2，1）在椭圆C上，求出同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率由PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率由PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b28=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值【解答】解：（） 因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，因为a2

26、=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以椭圆C的方程为（）解法一：因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为k所以直线PA的方程为y1=k（x2），直线AQ的方程为y1=k（x2）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），由，消去y，得（1+4k2）x2（16k28k）x+16k216k4=0因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程的一个根，则，所以同理所以又所以直线PQ的斜率为所以直线PQ的斜率为定值，该值为解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率因为PAQ的角平分线总垂直于

27、x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称所以kPA=kQA，即，因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，由得，得，同理由得，由得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，由得x1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+4=0，得x1+x2=2（y1+y2）得，得所以直线PQ的斜率为为定值解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称所以kPA=kQA，即=，化简得x

28、1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+4=0把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b12k）（x1+x2）4b+4=0（*） 由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b28=0，（*）则，代入（*）得，整理得（2k1）（b+2k1）=0，所以或b=12k若b=12k，可得方程（*）的一个根为2，不合题意若时，合题意所以直线PQ的斜率为定值，该值为21已知函数f（x）=lnx+（） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（） 证明：当a时，f（x）ex【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）法一：求出函数f（x）

29、的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=xlnx，令g（x）=xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（）问题转化为xlnx+axex，令h（x）=xlnx+a，令（x）=xex，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）法1：函数的定义域为（0，+）由，得因为a0，则x（0，a）时，f（x）0；x（a，+）时，f（x）0所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增当x=a时，f（x）min=lna+1当lna+10，即0a时，又f（1）=ln1+a=a0，则函数f（x）有零点所以实数a的取值范围为法2：函数的定义域为（0，+）由，得a=xlnx令g（x）=xlnx，则g（x）=（lnx+1）当时，g（x）0； 当时，g（x）0所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减故时，函数g（x）取得最大值因而函数有零点，则所以实数a的取值范围为（） 要证明当时，f（x）ex，即证明当x0，时，即xlnx+axex令h（x）=xlnx+a，则h（x）=lnx+1当时，f（x）0；当时，f（x）0所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增当时，于是，当时，令（x）=xex，则（x）=exxex=ex（1x