3323线性规划

1、1,简单线性规划3,2,使z=3x+2y取得最大值或最小值的可行解叫 ，,复习引入,满足目标函数的解(x,y)都叫做 ；,z=3x+2y叫做 ；,上述问题中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的 ；,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为 。,线性目标函数,线性约束条件,可行解,最优解,线性规划问题,3,例1一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1

2、车皮乙种肥料，产生的利润为5000元；那么分别生产生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,应用提高,4,例1一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。可列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。,4x+y10,18x+15y 66,x0,y 0,应用提高,解：设生产甲肥料x车皮、乙肥料y车皮，能够产生利润z万元。目标函数z=x+0.5y,其中x、y满足以下条件,于是问题转化为，在x，y满足条件的情况下，求

3、式子x+0.5y的最大值。,5,目标函数z=x+0.5y,作出可行域如下,应用提高,M,答：生产甲种、乙两种肥料各2车皮，能获得最大利润3万元。,6,例1：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A原料3kg，B原料1kg；生产乙产品1工时需要A原料2kg，B原料2kg。现有A原料1200kg，B原料800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问同时生产两种产品，各多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？,7,则获得的利润总额为f=30 x+40y。 ,其中x, y满足下列条件 ：,于是问题转化为，在x，y满足

4、条件的情况下，求式子30 x+40y的最大值。,解：设计划生产甲种产品x工时，计划生产乙种产品y工时，,8,画出不等式组表示的平面区域OABC。,30 x+40y=0,令30 x+40y=z，则直线过点B时, z最大。,9,将x=200，y=300代入式子: 30 x+40y，得 zmax=30200+40300=18000.,答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18000元，此时利润总额最大。,解方程组,得点B的坐标为(200，300)。,10,例2下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素A、B的含量及单价：,营养师想购买这三种食品共10千克，使它们所含的维生素A不少

5、于4400单位，维生素B不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？,11,解：设购买甲种食物x千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物(10 xy)千克，,又设总支出为z元，由题意得 z=7x+6y+5(10 xy)， 化简得 z=2x+y+50，,x，y应满足的约束条件,12,化简得,根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。,z=2x+y+50,2x+y=0,容易看出， z=2x+y+50过直线y=2与直线2xy=4的交点时, z值最小。,13,因此，当x=3，y=2时，z取得最小值 z=23+2+50=58.,此时，10 xy=5.,答：购买

6、甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克，付出的金额最低为58元。,解方程组,得点M(3，2)。,14,例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：,今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求？,规格,应用提高,各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？,15,作出以上不等式组所表示的平面区域:,解：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,共需截这两种钢板z张，则,则z=x+y， 应满足的约束条件是,16,解：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,共需截这两种钢

7、板z张，则,则z=x+y， 应满足的约束条件是,M,17,答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是第一种钢板4张，第二种钢板8张。两种截法都最少要两种钢板12张。,18,练：某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够所托运的货物的总体积不能超过24m3，总重量不能低于650千克。甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：,问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？,19,解：设托运甲种货物x袋，乙种货物y袋，获得利润z百元。,则 z=20 x+1

8、0y。,依题意可得关于x，y的约束条件,20,容易看出，点M符合上述条件，点M是直线2x+5y=13与直线5x+4y=24的交点。,解方程组,得点M(4，1)。,21,因此当x=4，y=1时，z取得最大值，此时zmax=204+101=90.,答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋，可获得最大利润9000元。,22,练习:A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加。已知A区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；B区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务。如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多，且去敬老

9、院的往返总车费不超过37元。怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？,23,解：设A、B两区参与活动的人数分别为x，y受到服务的老人人数为z，,则z=5x+3y， 应满足的约束条件是,化简得,24,根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。,画直线l0：5x+3y=0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧。,25,该点到直线l0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值。 容易看出，点M符合上述条件，点M是直线x5y+1=0与直线3x+3y=37的交点。,解方程组,得点M(4，5)。,26,因此，当x=4，y=5时，z取得最大值，并且zmax=5