空解(第1次课).ppt

1、祝同学们：,新年快乐,身体健康,学习进步,龙年吉祥！,几点要求：,正确理解数学概念,掌握数学理论，掌握解题方法 和技巧,一定要做到举一反三.,2. 要多做题目.,3. 一定要不懂就问.,本学期教学内容.,主要内容,一. 矢量的有关概念,二. 矢量的运算,三. 矢量在轴上的投影与投影定理,四. 空间直角坐标系,一、矢量的有关概念,1.矢量的定义,量,数量,仅用一个数就可以表示的量.如体温、 体重、质量、功等,矢量,仅用一个数表示还不够,还需要表示 它的方向.如力、速度、位移、力矩,既有大小又有方向的量称为矢量(或向量),定义1.,2.矢量的表示,用一条有方向的线段即 有向线段来表示,模长为1的矢

2、量:,零矢量：,模为0的矢量:,矢量的模：,矢量的大小称为模.,单位矢量：,或,或,或,用,来表示,称为以A为起点B为终点的矢量,记为,方向任意,自由矢量：,不考虑起点位置的矢量.,固定矢量:,起点位置固定的矢量.,相等矢量：,大小相等且方向相同的矢量,记为A = B,负矢量：,大小相等但方向相反的矢量,记为,向径：,空间直角坐标系中任一点M 与原点构成的 矢量OM,二. 矢量的运算,1. 加法：,在力学中,两个力的合力是按照平行四边形法则 确定,由此可以定义两个矢量的加法.,设 a,、b,具有相同的起点,以 a,、b,所在线段,为邻边作平行四边形,则对角线矢量 c,为 a,与b,的和,记为:

3、,-平行四边形法则,特别地：若,分为同向和反向时,则,三角形法则:,b,同向:,反向:,矢量加法的运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,(4) 三角不等式:,b,a+b,证明结合律(2):,a,b,a+b,b+c,2. 减法,减法是加法的逆运算,定义为:,b,- b,a,即a b 的起点为b 的终点,它的终点为a 的终点.,3.矢量与数的乘法,特殊情况:,(1),(2),(3),(4),且,数与矢量乘积的运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,(3) 两个矢量的平行关系,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,例1 化简,解,例2 试用矢量方法证明：对角线互相平分的四边形必是

4、平行四边形.,证,结论得证.,同理：,例3,o,A,B,C,x,y,r1,r2,r3,G,D,证:,三.矢量在轴上的投影与投影定理,1. 空间两矢量的夹角的概念：,类似地，可定义矢量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个矢量中有一个零矢量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,设,2. 空间一点在轴上的投影,3.空间一矢量在轴上的投影,矢量的投影定理1:,证,矢量AB在轴u上的投影AB,等于AB的模与AB与轴u夹角的余弦的乘积.,（project),定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零,(4) 相等矢量在同一轴上投影相等；,矢量的投影定理2:,（可推广到有限多个）,横轴,纵轴,竖轴,原点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,四. 空间直角坐标系,1.空间直角坐标系,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊