(定稿)2.4.2-抛物线的简单几何性质(1)解析.ppt

1、2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）,定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,抛物线的定义及标准方程,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),一、温故知新,y,复习,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,

2、y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,

3、y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,利用抛物线的顶

4、点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论,14,例3、正三角形的一个

5、顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。,A,B,解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 ，,又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22,即 ：x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,X10，X20，2p0,15,A,B,由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且 ，所以 ，,16,4、直线与抛物线的位置,5、中点弦及弦长问题,6、焦点弦,21,22,这一结论非常奇妙,变中有

6、不变,动中有不动.,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法 二：,练习：,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .,2、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P= 。,4,练习: 3.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_ 4.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直线AB的方程.,y2 = 8x,X=3,四、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率

7、是确定的，等于e=1；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,再见！,例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,例题3,这时，直线 与抛物线只有一个公共点.,解得,于是，当 且 时，方程（）有2 个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线 与抛物线有2个公共点.,由 即,解得,于是，当 时

8、，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点.,综上可得：,当 时 ，直线 与抛物线只有一个公共点;,当 时，直线 与抛物线有两个公共点;,当 时，直线 与抛物线没有公共点.,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,巩固与练习：,1)过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为 ;,3）抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）,16,1.(2009年山东卷（文）10）设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点 ，且和 轴交于点 若 的面积为4，则抛物线方程为（ ）,A,高考欣赏:,1.已知M为抛物线 上一动点，F为抛物线的焦点， 定点P(3,1),则 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6,B,.,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。,例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛