广东省湛江市第一中学2020学年高二数学上学期第一次大考试题 理（卓越班）（通用）

1、湛江一中2020学年度第一学期第一次大考高二级理科数学试卷(B)考试时间：120分钟 满分：150分 第卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列命题是真命题的是（ ）命题“，”的否定是“，”； 命题“，”的否定是“，”； 命题“”是真命题；命题“，”是真命题.A. B. C. D.2. 已知数列为等比数列，则（ ）A7 B5 C5 D73.“”是“是椭圆方程”的（ ）A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件4. 在中，则边上的高为（ ）A. B. C. D. 5. 已

2、知，则下列命题正确的是（ ）A. 若 则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 6.设变量满足约束条件则的最大值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 67设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与抛物线C交于M，N两点，则=A5 B6 C7 D88. 已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 79. 椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，且，则 的面积S等于( )A B C D以上都不对10. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）A. -30 B. -60 C. 90 D. 12011. 设集合，对的任意非空子集A

3、，定义为集合A中的最大元素.当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为.则（ ）A. B. C. D.12.椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （）ABCD第II卷二填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分 13.在中，D是AB边上的点，且满足，则= .14.已知，则的最小值 15.已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则双曲线C的离心率为_ 16.有穷数列前项和为.若把称为数列的“优美和”，现有一个共有2020项的数列：.若其“优美和”为2020，则有20

4、20项数列：1，的“优美和”为 .三.解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本题满分10分）已知数列的前项和为，（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，求数列的前项和为.18. （本题满分12分）在中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长.19. （本题满分12分）如图，在矩形中，ABPCDFE分别为的中点，以为折痕把折起，点到达点的位置，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.20.（本题满分12分） 已知是抛物线：的焦点， 过点作抛物线G的两条切线,其中为切点.(1)证明：直线经过抛物线G的焦点F；

5、(2)设B为抛物线G上异于原点的点，且满足,延长BF交抛物线G于点D，问当为何值时，四边形ABCD面积最小，并求其最小值.21. （本题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点和点都在椭圆上，是等腰直角三角形，直线交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，点B与点A关于轴对称，直线PB交轴于点N，证明：在y轴上存在点Q，使.22. （本题满分12分） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与CD，当直线AB的斜率为0时，（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.湛江一中2020学年度第一学期第一次大考高二级理科数学（B）参考答案一.选择题:本大题共12小题，

6、每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112答案 BDCCDCDBADAA二. 填空题:本大题共4小题每小题5分，满分20分 13. 0; 14. 3; 15. ; 16.2020 .三解答题：17. （1）证明：由及(2)-(1)得，2分由得,数列是首项为1，公差为4的等差数列，数列是首项为3，公差为4的等差数列，由此得4分 ，数列是首项为1，公差为2的等差数列，其通项公式是.5分（2），7分 .10分18.解：(1)由正弦定理及得，2分 5分（2）由（1），则，的面积为，又，解得，.9分由余弦定理得11分所以的周长为.12分1

7、9.（1）证明：E、F分别为的中点，且在矩形中，1分由翻折的不变性，又，有即3分ABPCDFEHO又，平面，平面，4分平面，平面平面.5分（2）过点P作交EF于H，由平面垂直性质定理得平面，过点P作交DF于O，连结OH，则，为二面角的平面角. 8分，由等面积法容易求得.在直角POH中，即二面角的正弦值为.12分20.解：(1) 设抛物线的切点A的坐标为,其中，则切线的方程是（为切线PA的斜率），联立方程组，消去y且将代入并整理得为抛物线G的切线，方程的判别式=，得，所以切线的方程为,即,即2分设抛物线的切点C的坐标为,其中，同理可得切线的方程为3分因为切线均过点,所以,4分所以直线经过两点.所

8、以直线的方程为.直线经过抛物线G的焦点6分(2) 由(1)知， 直线的方程为点的坐标满足方程组 消去x ，整理得，由根与系数的关系得由抛物线的定义得8分因为，所以的斜率为，同理可求得9分11分当时，等号成立所以四边形面积的最小值为12分21.解（1）由于点在椭圆上且是等腰直角三角形，所以有 又，解得，.所以椭圆的方程是.4分（2）在y轴上存在点Q，其坐标为，使.5分证明如下：点B与点A关于轴对称，直线的方程是，令，得，同理得.7分设，则， 即，10分点在椭圆上，得， 则所以在y轴上存在点Q，其坐标为，使.12分22.解：（1）由题意知，当直线AB的斜率为0时，直线CD过椭圆的右焦点且与x轴垂直，则，将代人解得，椭圆的方程是.4分（2）当两条直线中有一