高三数学大一轮复习讲义 2.2函数的单调性与最值 理 新人教A版

1、2.2函数的单调性和最大值2014高考会这样做1 .选择函数的单调性或以填空的形式查看2 .查找函数的最大值3 .利用函数的单调性查找残奥仪表可取值的范围复习备考必须这样做1 .从数形的两个角度理解函数的单调性和最大值2 .判断复合函数的单调性3 .包括残奥仪表函数的最大值在内，对残奥仪表进行讨论1 .函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般情况下，将函数f(x )的定义域设为I，对于定义域I内的某区间d上的任意2个自变量x1、x2在x1f(x2 )的情况下，函数f(x )在时段d中是减函数图像说明从左到右看图像就上升从左向右看图像时下降(2)单调区间的定义如果函数y=f(x )在

2、时段d内是增函数或减函数，则函数y=f(x )被认为处于该时段(严格地)在单调性中，区间d被称为函数y=f(x )的单调区间。2 .函数的最大值前提条件设函数y=f(x )的定义域为I，如果存在实数m就满足了条件(1)对于任意的x-I，有f(x)M。存在(x0I )，并且f(x0)=M。(3)对于任意的x-I，有f(x)M。存在(x0I )，并且f(x0)=M。结论m是最大值m是最小值难点原本疑点清源1 .函数的单调性是局部性质所谓函数的单调性，在定义上是指函数在具有定义域的子区间的单调性，是局部的特性征.在某些区间单调，在整个定义域不一定单调2 .求函数的单调区间的方法由于函数的单调区间是函

3、数定义域的子区间，所以要求出函数的单调区间，必须先求出函数所述定义域基本初等函数的所述单调区间可直接利用诸如二次函数、对数等已知结论来求解函数、指数函数等在复合函数的情况下，应该首先通过复合函数的单调性的判定方法来判定两个简单函数的单调性，进而根据“同则增加、异则减”的法则来求解函数的单调区间3 .单调区间的显示单调区间只用区间表示，如果有多个单调区间不能用集合或不等式表示，就应该分别写，否不能用和集合符号“”连接，也不能用“or”连接1. (2012安徽)函数f(x)=|2x a|的单调增加区间如果是3，)，则a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案-6解析f(x)=|2x a|=制作函数图像，从图像中了解函数的单调递增区间三，a=-6。2. (2011 )江苏函数f(x)=log5(2x 1)的单调递增区间是答案3.(教科书改编问题)函数f(x)=在 1，2 中的最大值和最小值分别为回答1在解析f (x )=2- 1，2 中为增函数，f(x)max=f(2)=，f(x)min=f(1)=1。4 .已知函数y=f(x )在r上是减函数，且A(0，-2)、b (-3，2，2 )在图像上不

5、等式-2- B.a-c.-a0d.-a0答案d在解析a=0时，由于f(x)=2x-3在定义域r单调增加，所以在(-，4 )单调键盘增量当a0时，二次函数f(x )的对称轴为x=-，由于f(x )以(-，4 )单调增加，所以a0，并且-4，解是0 a。综合上述-0。问题型1函数的单调性判断例1试验函数f(x)=(a0 )的(-1，1 )上的单调性。思维启发：可以用定义或导函数法研究函数的单调性如果解10，则f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x )在(-1，1 )上减小在a0的情况下，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，函数f(x)=x (x0)，并且证明函数f(x

6、)处于(0，)(2)求函数y=的单调区间。设解(1)x1、x2为任意两个正数，且为00，即f(x1)f(x2)，因此，函数f(x )在(0，中为减函数。在x1a、x1-x20的情况下，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0在x10时是f(x)0、f(1)=-。(1)求证据： f(x )在r上是减函数(2)求出2)f(x )在-3，3 中的最大值和最小值。思考启发：问题(1)对抽象函数的问题，根据问题设定和求得的结论，适当取特殊值，证明f(x )是单调递减函数的优先方法，用单调性的定义来证明。问题(2)在函数的单调性中求得最大值(1)证明方法1对于函数f(x )任意的x、y-r，总是设f(x)

7、 f(y)=f(x y )、x=y=0f(0)=0。假设y=-x，则可以获得f(-x)=-f(x )。用r取x1x2的话，x1-x20、f (x1)-f (x2)=f (x1)-f (x2)=f (x1- x2)。另外，在x0时，f(x)0，x1-x20，f(x1-x2)0，即f(x1)x2，就是，一个f (x1) -两个f (x2)=两个f (x1- x2) -两个f (x2)=f(x1-x2) f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)。此外，在x0时，f(x)0、x1-x20，在f(x1-x2)0即f(x1)1的情况下，f(x)0求出(1)f(1)的值(2)判断2)f(x )的单调性如果(

8、f(3)=-1，则获得f(x )在 2，9 处的最小值。解(x1=x20 )，代入是f(1)=f(x1)-f(x1)=0，而f(1)=0。(2)任意取x1，x2(0，)，x1x2则取1，在x1时，由于f(x )为0，因此f0、也就是说，如果f(x1)-f(x2)0，那么f(x1)0是x0或x3，即函数的定义域是(-，0 )(3，)。二分因为函数t的对称轴是直线x=，所以t以(-，0 )单调减少，以(3，)单调增加。六分另一方面，函数y=logt是单调减少函数，根据复合函数的单调性可知，函数y=log(x2-3x )的单调增加区间为(-，0 )，单调减少区间为(3，).10分由于温暖的注意函数的

9、单调区间是函数定义域的子区间，所以为了求出函数的单调区间，必须求出函数的定义域。如果是复合函数，则应该基于复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，并基于同增减法则来求出函数的单调区间2 .函数的单调性和最大值典型例： (12点) (2012太原模拟)函数f(x )对于任意的m、n-r，有f(m n)=f(m) f(n)-1。并且在x0的情况下，总是有f(x)1(1)求证据： f(x )在r上是增函数如果(f(3)=4，则求解不等式f(a2 a-5)2。审查问题的视点(1)抽象函数的单调性的证明只能定义.f(x2)-f(x1)和0比较大小。(2)单调性函数不等式中的抽象函数符号“f”使用“删除”是本课题的切入点。要建构f(M)0在x 0的情况下，f(x)1、f