高三数学 圆锥曲线中的最值问题复习学案

1、江苏省苏州市第五中学高三数学 圆锥曲线中的最值问题复习学案美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线”。探索得来的知识最难忘、最深刻，比教师直接给出的更有效，学生能体会到 “发现”的真正乐趣。而探索并不神秘，又非不可高攀。教学中，可以从最基本的问题开始，这也许就是数学探索课的可行之路。下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。LABP图1问题1 如图1，如何在直线L上求一点P，使最小。图2LPBA问题2目如图2，如何在直线L上求一点P，使最大。 学生1：对于问题1，只要过A作关于L的对称点，再连结交直线L于P点，即所求。因为两点之间线段最短。对于问题2，只要连结AB并延长交直线L于P点，即所

2、求。因为三角形任意两边之差小于第三边。LYOXPFDA图3教师：看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最大对我们来说很容易，现在看下面的问题。问题3 若A（3，2），F为抛物线的焦点，在抛物线上找一点P，使最小及取得最小值时P点的坐标。学生2：过A点作抛物线的准线L的垂线AD交抛物线于P点，此时，就是最小的。因为点到直线的所有线中，只有点到直线的距离最短。教师：与问题1比较，你发现了什么？学生3：（3分钟后）我认为问题3与问题1的本质是一样的，都是在线（直线和曲线）找一点到两个定点的距离之和最小。并且解决的方法也一样，问题3中的D点就“好比”是F点关于抛物线（曲线）的“对称”

3、点。如果我们把问题1中的直线想象成是拉直的曲线，那问题1不就是问题3的特殊情况吗？问题3不就是问题1的推广吗？（全班给予热烈的掌声）变式问题：已知A（3，2），F（2，0），在双曲线上求一点P，使其的值最小。学生4：与问题3的解题思路完全一样，只不过，此处要利用双曲线的定义来作“对称”。（后略）APXYO图4问题4：已知双曲线，是左焦点，A（-3，-1），在双曲线上求一点P使的值最小。（2分钟后）学生5：此题应作出双曲线的右焦点，连结交双曲线于P点，即为所求。因为由双曲线定义知，即，此题是利用双曲线定义作的关于双曲线的“对称点”，转化成问题1的形式来求解的。教师：你分析得很好！请大家课后去解答

4、完。下面谁来谈谈解决这类问题的收获？学生6：老师，我觉得还有一点没有考虑到，对于问题1，如果A、B两点在直线L的两侧，就用不着作对称，而直接连接AB交直线L于P就行了。同样对于问题3中的A、F和问题4中的A、也是一样的，如果它们在曲线的同侧，就用不着那么做了。学生7：（连忙站起来）看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧，而其中有一个点必是焦点，也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。教师：刚才两位同学都说得很好，对我们讨论的问题进行了补充，希望同学们也要有这种严谨的学习态度。谁再来谈收获。学生8：我认为在曲线（包括直线）上找一点到两个定点（这两个定点在曲线的同侧）的距离之和最大的问题，一

5、般说来可以作出其中一点关于曲线的“对称点”，对于曲线来说，是广义上的对称，是利用曲线的定义（第一和第二定义）来作对称的。OAXY图5P教师：非常好！我已无话可说了。请大家给予热烈的掌声。问题5：在椭圆上找一点P，使它到的距离之和最大。（5分钟后）学生9：此题应属于问题2的类型，因为是求曲线上一点到两个定点的距离之和最大，故应连结交椭圆于点P，即为所求。这样就把和最大的问题转化为差最大的问题了。即而只有当、A、三点在同一直线上时，才最大。教师：好！把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决，这是我们解决数学问题常用的思想方法。哪位同学来把把这类问题小结一下？（下面有很多同学都跃跃欲试，我抽了一位平时数学成绩一般的学生）学生10：我认为在曲线（包括直线）上找一点到两个定点（这两点在曲线的同侧）的距离之差最大的问题，就是连结这两点并延长和曲线的交点，如果不是差最大，而是和最大，就应转化为差