山西省太原市第五中学2020学年高二数学5月月考试题 理（含解析）（通用）

1、山西省太原市第五中学2020学年高二数学5月月考试题 理（含解析）一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.若，则的值为（ ）A. 4B. 4或5C. 6D. 4或6【答案】D【解析】因为，所以 或，所以 或，选D.2.一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种（）A. 24B. 25C. 31D. 32【答案】C【解析】【分析】每盏灯有2种状态，根据乘法原理共有种状态，排除全部都熄灭的状态，得到答案.【详解】由题意有这个教室能照明的方法有种，故选：C【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题.3.若随机变量，则( )A. 2B. 4

2、C. 8D. 9【答案】B【解析】因为随机变量，所以，故故选:B4.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种【答案】B【解析】试题分析：完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有种不同的排法；所以共有种不同的排法.考点：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.排列知识.5.将多项式分解因式得，则（）A. 20B. 15C. 10D. 0【答案】D【解析】【分析】将展开，观察 系数，对应相乘，相加得到答

3、案.【详解】多项式，则，故选：D【点睛】本题考查了二项式定理，属于简单题目6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，再由条件概率公式求出【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.一袋中有5个白球

4、、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，即可求得【详解】由题意可得，取得红球的概率为，说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且第12次取得红球，故=故选：D【点睛】本题考查了n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，解本题须认真分析P（X=12）的意义，属于基础题8.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（ ）A. 60种B. 90种C. 150种D. 24

5、0种【答案】C【解析】【分析】先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.【详解】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有种；（2）2，2，1，有种.所以不同的安排方法共有种.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先分组再分配（即为排列），属于基础题.9.随机变量的分布列如下，且满足，则的值（）123A. 0B. 1C. 2D. 无法确定，与，有关【答案】B【解析】【分析】根据数学期望定义得到一个等式，概率和为1得到一个等式.计算代入前面关系式，化简得到答案.【详解】由随机变量的分布列得到：，又

6、，解得，故选：B【点睛】本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.10.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种A. 19B. 26C. 7D. 12【答案】B【解析】分析：乙只能付现金，甲付现金或用支付宝与微信，然后按丙与甲乙相同的支付方式或不同的支付方式分类详解：由题意支付方法数有故选B点睛：本题考查排列组合综合应用，属于特殊元素与特殊位置优先安排问题解题时关键是怎么分类，本题可以按乙甲丙丁顺序分步分类安排它们

7、的支付方式有一定的难度二、填空题（每小题4分，共20分）11.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有种不同的选法；从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有种不同的选法，则_【答案】72【解析】【分析】首先根据12人中选一人，计算出 ，然后根据乘法原理计算出 ，相加得到答案.【详解】高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有种不同的选法，即，从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有种不同的选法，即，即，故答案为：72【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题目.12.将4张

8、相同的卡片放入编号为1、2、3的三个盒子中（可以有空盒），共有_种放法【答案】15【解析】【分析】将4张（有空盒）转换为7张（无空盒）情况，用隔板法得到答案.【详解】由排列组合中的相同元素分组问题隔板法得：将4张相同的卡片放入编号为1、2、3的三个盒子中（可以有空盒），等同于7张卡片（无空盒）情况，隔板法：共有，故答案为：15【点睛】本题考查了隔板法，有空盒情况转化是解题的关键.13.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数，其中的各位数中出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，记，当程序运行一次时，的数学期望_【答案】【解析】【分析】的可能取值分别为0，1，2，3，4分别计算对应概率，写

9、出分布列计算数学期望得到答案.【详解】由题意知的可能取值分别为0，1，2，3，4；表示这4个数字都是0，则；表示这4个数字中有一个为1，则；同理；所以分布列为，01234计算数学期望为故答案为：【点睛】本题考查了分布列，数学期望正确计算各种情况的概率是关键，意在考查学生的计算能力.14.甲乙两人组队参加答题大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题，已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为，甲、乙在答题这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为_【答案】【解析】【分析】甲乙共答对三道题，分为甲两道乙一道和甲一道乙两道两种情况，分别计算概率相加得答案.【详解】甲、乙两

10、人共答对三个题，即甲答对2个题，乙答对1个题；或者甲答对1个题，乙答对2个题甲答对2个题，乙答对1个题的概率为；甲答对1个题，乙答对2个题的概率为，故甲、乙两人共答对三个题的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算，正确的分类是解题的关键.15.随机变量服从正态分布，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.【详解】随机变量服从正态分布，由，得，又，且，则当且仅当，即，时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.三、解答题（每小题10分，共40分）16.某

11、次文艺晚会上共演出7个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，2个曲艺节目，求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）（1）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；（2）2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻【答案】（1）240；（2）960.【解析】【分析】（1）首先安排两个歌曲节目，然后安排剩余5个节目，乘法原理得到答案.（2）将歌曲节目捆绑看成一个整体，把曲艺节目插空在其他节目中，计算得到答案.【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：要求2个歌曲节目1个在开头，另一个在最后，有种安排方法，将剩下的5个节目全排列，安排在中间，有种安排方法，则一共有种安排方法；（2）根据题意，分3

12、步进行分析：2个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有种情况，将这个整体与3个舞蹈节目全排列，有种情况，排好后有5个空位，在5个空位中任选2个，安排2个曲艺节目，有种情况，则一共有种安排方法【点睛】本题考查了乘法原理，插空法，捆绑法，知识点比较综合.17.已知的展开式前三项中的系数成等差数列（1）求的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有的有理项【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）展开式的通项公式为，则前3项的系数分别为1，成等差，即可列式求解。（2）由（1）知，则，对r赋值，即可求出所有有理项。【详解】（1）根据题意，（）n的展开式的通项为Tr+1nr（）nr（）r，其系数为nr，

13、则前3项的系数分别为1，成等差，解可得：或，又由，则，在中，令可得：。（2）由（1）的结论，则的展开式的通项为，当时，有，当时，有，当时，有；则展开式中所有的有理项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式，求展开式中某项的系数，熟练掌握展开式的通项公式是解题的关键，属基础题。18.某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的（

14、1）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？【答案】（1）；（2）甲.【解析】【分析】（1）乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，甲0个乙2个，分别计算概率相加得答案.（2）分别计算两个学生的期望和方差，选择期望大，方差小的学生.【详解】解：（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：（2）设学生甲答对题数为，则的所有可能取值为1，2，3，设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知，甲被录取的可能性更大【点睛】本题考查了概率，数学期望，方差的计算，比较数据的优劣性，首先考虑数学期望，

15、再考虑方差.19.山西省在2020年3月份的高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求全市数学成绩在135分以上的人数；（2）试由样本频率分布直方图佔计该校数学成绩的平均分数；（3）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为，求的分布列和期望附：若，则，【答案】（1）800；（2）112；（3）见解析.【解析】【分析】（1）频率作为概率，乘以总人数即得答案.（2）首先根据频率和为1计算 ，再根据平均值公式计算得到答案.（3）计算各个情况的概率，得出分布列，然后根据期望公式得到答案.【详解】（1）全市数学成绩在135分以上