期末数理统计.ppt

1、复习课,第五章 统计量及其分布,5.1 总体与样本 5.2 样本数据的整理与显示 5.3 统计量及其分布 5.4 三大抽样分布 5.5 充分统计量,样本均值的分布,样本方差的分布,n取不同值时 的分布,证明：,所以,例2,解,例3,解,例4 设x1, x2, , xn是取自总体U(0, )的样本， 即总体的密度函数为,于是样本的联合密度函数为,取T =x(n)，并令 g(t ; )= (1/)nIt, h(x)=1， 由因子分解定理知T =x(n) 是 的充分统计量。,p(x1;)p(xn;)=,0, 其它,(1/)n, 0minximaxxi,由于诸xi0，所以我们可将上式改写为,p(x1;

2、)p(xn;) = (1/)nI,x(n),练习： 设x1, x2, ,xn 是来自泊松分布 P()的一个样本,证明,是充分统计量。,取T(x)= xi , h(x)=,P(X=x) =T(x)e-nh(x),由因子分解定理，T(x)=xi 是的充分统计量。,则上式可改写为,6.1 点估计的几种方法 6.2 点估计的评价标准 6.5 区间估计,第六章 参数估计,点估计的几种方法,替换原理和矩法估计,替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如： 用样本均值估计总体均值E(X)，即 ； 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数.,矩法估计

3、的基本思想：,用样本矩,代替母体矩,即,从中解出 .,例5 x1, x2, , xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a, b的矩估计：,解：,练习,极大似然估计的关键点,X1, X2, Xn出现的可能性：,(1) 离散场合：,(2) 连续场合：,称以上 L 的为似然函数。,例6 求泊松分布中参数l的最大似然估计. 解 已知总体x的概率函数为,泊松分布(续),例7：指数分布,已知,x1,x2,.,xn为x的一组样本观察值, 求q的最大似然估计.,解 似然函数,解 似然函数为,对数似然函数为,练习： 设X1,X2,Xn是取

4、自总体X的一个样本,求 的最大似然估计值.,其中 0,求导并令其为0,=0,从中解得,即为 的最大似然估计值 .,对数似然函数为,1、相合性（大样本的角度） 2、无偏性 （从期望的角度） 3、有效性（从方差的角度） 4、均方误差准则 （角度）,点估计的评价标准,解 似然函数 要使L()达到最大，即1/n尽可能大，所以的取值应尽可能小，但不能小于X(n)，由此给出的极大似然估计：,例8 设 x1, x2 , , xn 是来自均匀总体U(0, )的样本，证明 的极大似然估计是相合估计。,由次序统计量的分布，我们知道 x(n) 的分布密度函数为 p(y)=nyn-1/n, y , 故有,故X(n)是

5、 的相合估计。,例9 对均匀总体U(0, )，由 的极大似然估计得到的无偏估计是 ，它的均方误差 现我们考虑的形如 的估计，其均方差为 用求导的方法不难求出当 时上述均方误差达到最小，且其均方误差 所以在均方误差的标准下，有偏估计 优于无偏估计 。,正态总体未知参数的置信区间,共分四种情况：,(1) 已知， 的置信区间,(2) 未知， 的置信区间,(3) 已知， 2的置信区间,(4) 未知， 2的置信区间,例10 设总体 X N(, 0.92)，X1, X2, , X9 为X 的 一个样本，样本均值为5，求 的95%的置信区间。,解 因为 的1 置信区间为,所以由 u0.975 = 1.96，

6、得,4.412,5.588,所求置信区间为,(4.412， 5.588), 2未知时 的置信区间,这时可用t 统计量，因为 ，因此 t 可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。,例11 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0

7、.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）,正态总体参数假设检验,参数假设检验常见的有三种基本形式,(1),(2),(3),(1) 关于 ，2巳知 用 u 检验,iii) H0： = 0 H1： 0,i) H0： 0 H1： 0,ii) H0： 0 H1： 0,拒绝域为 W3 = |u| u1/2,拒绝域为 W1 = u u1,拒绝域为 W2 = u u,二、 未知时的t 检验,由于 未知，一个自然的想法是将（7.2.4）中未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验统计量,(7.2.9),三种假设的检验拒绝域分别为,例7.2.2 某厂生产的某种铝材的长度

8、服从正态分 布，其均值设定为240厘米。现从该厂抽取5件 产品，测得其长度为（单位：厘米）,239.7 239.6 239 240 239.2,试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？,解：这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题。 采用t 检验，拒绝域为:,现由样本计算得到:,由于2.79512.776，故拒绝原假设， 认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。,若取 =0.05，则 t0.975(4)= 2.776.,故,单个正态总体方差的检验,设 是来自 的样本，对方差亦可考虑如下三个检验问题：,通常假定 未知，它们采用的检验统计量是,相同的，均为 若取显著性水平为 ，则对应三个检验问题的拒绝域依次分别为,1000位高中生的性别与色盲调查数据,解：用A表示性别情况，它有两个水平： 表示 性别为男， 表示性别为女；B表示视觉情况, 它有两个水平， 分别表示表中两种 情况。沿用前面的记号，首先建立假设 H0：性别与色盲无关联，即A与B独立的。 统计表示如下：,在原假设H0