2018高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第35课等比数列及其前n项和教师用书

1、第35课 等比数列及其前n项和最新考纲内容要求ABC等比数列1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，则amanapa

2、qa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.答案(1)(2)(3)(4)2已知等比数列an的公比为，则的值是_22.3(2017扬州期末

3、)已知等比数列an满足a22a14，aa5，则该数列的前5项和为_31an是等比数列，由得解得S531.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.等比数列的基本运算(1)已知Sn是各项为正数的等比数列an的前n项和，a2a416，S37，则a8_.(2)已知数列an是递增的

4、等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1)128(2)2n1(1)an为等比数列，a2a416，a34，a3a1q24，S37，S23，(1q2)3(1q)，即3q24q40，q或q2.an0，q2，则a11，a827128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n1.规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练1(1)在等比数列an中，a37，前3项

5、和S321，则公比q的值为_(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_. 【导学号：】(1)1或(2)28(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.等比数列的判定与证明设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12，a25，b1a22a13.又，得an14an

6、4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于客观题中的判定变式训练2(2016全国卷)已

7、知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.等比数列的性质及应用(1)设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则_.(2)(2017苏州模拟)数列an的首项为a11，数列bn为等比数列且bn，若b10b112 017，则a21_. 【导学号：】(1)(2)2 017an是等比数列，S2

8、，S4S2，S6S4也成等比数列由3得S43S2，设S2x，则S43x，即x,2x，S63x成等比数列，S67x，.(2)bn，a21a1b20b19b18b1a1，又bn成等比数列，b1b20b2b19b10b112 017，a21(b10b11)10102 017.规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练3(1)在正项等比数

9、列an中，a1 008a1 009，则lg a1lg a2lg a2 016_.(2)(2017南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为_(1)2 016(2)2(1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016.(2)由题意得S49，所以.由a1a1qa1q2a1q3(aq3)2得aq3.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为2.思想与方法1方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解2函数的思想通项公式

10、an a1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数，即an中的各项所表示的点(n，an)在曲线yqx上，是一群孤立的点3分类讨论思想当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点易错与防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽视q1这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成

11、等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)课时分层训练(三十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1若三个正数a，b，c成等比数列，其中a52，c52，则b_. 【导学号：】1a，b，c成等比数列，b2ac(52)(52)1.又b0，b1.2(2017苏州模拟)等比数列an的公比大于1，a5a115，a4a26，则a3_.4由得得2q25q20，解得q2或q(舍去)，把q2代入得a11.a3q24.3在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a32S21，a42S31，则公比q等于_3两式相减得a4a32a3，从而求得3，即q3.4数列an满足：an1

12、an1(nN，R且0)，若数列an1是等比数列，则的值等于_2由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.5设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.3n1因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(a1a2)3a1a1a2a3.化简，得3，即等比数列an的公比q3，故an13n13n1.6在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为_. 【导学号：】5由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列

13、，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5.7(2016常州期末)已知等比数列an的各项均为正数，且a1a2，a3a4a5a640，则的值为_117an是等比数列，设公比为q，则a3a4(a1a2)q2，a5a6(a1a2)q4，a3a4a5a6(a1a2)(q2q4)40，即(q2q4)40，解得q29.又q0，q3，由a1a2得a1，117.8等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN，都有an2an12an0，则S5_.11an是等比数列，an2an12anan(q2q2)0，又an0，故q2q20，即q2或q1(舍去)，S511.9在正项等比

14、数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.14由(q3)33得q3，an1anan1(a1a2a3)q3n64n2由4n2324，得4，即n14.10(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN，则a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.二、解答题11设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1. 【导学号：】解(1)S

15、1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n12n22n2.当n1时a11，不适合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.12已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nN)，且b12，求数列bn的通项公式解(1)证明：依题意Sn4an3(nN)，n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是

16、首项为1，公比为的等比数列(2)由(1)知ann1，由bn1anbn(nN)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2)当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn3n11(nN)B组能力提升(建议用时：15分钟)1九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn_尺2n1依题意大老鼠每天打

17、洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为2n1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为2，所以Sn2n122n1.2(2017南京一模)设Sn是等比数列an的前n项和，an0，若S62S35，则S9S6的最小值为_20设等比数列的公比为q，则q0且q1.由S62S35可知，5，5，q1.则S9S6510521020，当且仅当q32，即q时取等号S9S6的最小值为20.3已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n.4已知数列an的前n项和为Sn，a11，且3