第十三章 光的衍射.ppt

1、13.1 光波的标量衍射理论 13.2 典型孔径的夫琅和费衍射 13.4 光学成像系统的衍射和分辨本领 13.5 多缝的夫琅和费衍射 13.6 衍射光栅 13.8 菲涅耳衍射,第十三章 光 的 衍 射,学习目的和要求 1、认识光的衍射现象，了解衍射与干涉的联系和区别。 2、阐明从惠更斯原理如何发展为菲涅尔原理，理解菲涅尔-基尔霍夫衍射公式的意义，掌握菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的近似条件。 3、学会分析衍射光强分布问题的复振幅积分法、和半波带法。 4、掌握单缝夫琅禾费衍射的光强分布规律。 5、掌握圆孔夫琅禾费衍射的光强分布规律，理解光学仪器的分辨本领及有关计算。 6、掌握光栅方程，理解光栅分光性能

2、、色散本领和分辨本领。了解闪耀光栅的工作原理。 7、掌握圆孔的菲涅尔衍射规律，认识菲涅尔波带片。,概述： 1、衍射现象,2、衍射实验,结论：光波偏离直线传播进入几何影区，影区边缘出现强度的强弱分布。,1、衍射的定义 光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向弯入障碍物的几何影区内，并在几何影区和几何照明区内形成亮暗相间的条纹，这种现象称为光的衍射。,2、发生衍射的原因 1）波面发生了破损 2）光波的复振幅发生了不均匀的变化,3、衍射系统图,入射光波,衍射屏（障碍物）,衍射图样 观察屏,4、衍射三要素：入射光波、衍射屏、衍射图样。 衍射屏：导致衍射发生的障碍物，即能改变光波波面复振幅分布

3、的屏。用复振幅透射系数来表征其特征。,导致衍射发生的障碍物即衍射屏的特性可用复振幅透射系数t(x1，y1) 表示：,（x1，y1）代表衍射屏上的空间坐标。,衍射系统基本装置：光源、衍射屏、接收屏。,衍射屏,接收屏幕,照明空间,衍射空间,5、衍射研究的问题： 照明光场、衍射屏特性 观察屏上的衍射光场分布。 衍射屏、观察屏上衍射光场的分布 照明光场分布。 照明光场、要求的衍射光场分布 设计、制造衍射屏。,关键问题：从一个面上的光场分布求取传播到另一个面上时的分布。,6、两类衍射：按光源、衍射开孔（或衍射屏）和观察屏 （可以叫做衍射场）三者之间距离的大小，通常分为两种类型： 菲涅尔（Fresnel）

4、衍射，这种光源和衍射场或者二者之一到衍射开孔（或衍射屏）的距离都比较小的情况； 夫琅和费（Fraunhofer）衍射，这种光源与衍射场都在离衍射物无限远处的情况。,7、两种研究方法,S,R,Q,Z,Z，,r,P,第一节：光波的标量衍射理论,一、惠更斯原理 1、波阵面的形成 2、波面的传播方向,二、惠更斯-菲涅尔原理 波前外任一点的光振动应该是波面上所有子波相干叠加的结果。,因单色点光源S对空间任一点P的作用，以波面 上各点发出的的子波在P点的相干叠加的结果替代。设S在波面 上任一点Q产生的复振幅为,S,R,Q,Z,Z,r,P,惠更斯-菲涅尔原理的数学表达式：,上 大小的面元对P点的贡献为,子波

5、振幅随面元法线与QP的夹角 的变化,子波法线方向的振幅,子波向P点的球面波公式,菲涅耳还假设：,实验证明这是错误的,若S发出的光源振幅为A（单位距离处），复振幅的总和为,两类衍射的特点： 1、菲涅尔衍射:光源或接收屏或两者距衍射屏有限距离，以致入射波的波面曲率不可略的衍射。 特征：衍射光强的大小范围和形式随距离变化而变化。,说明：衍射问题的本质还是干涉问题，是波面上无数个子波源发出的子波的干涉。,2、夫琅和费衍射：光源、接收屏距衍射屏足够远，入射波、衍射波均可视为有效平面波的衍射。,特征：衍射光强的大小范围随距离变化而变化。而形式不变,两类衍射的近似计算公式： （1）傍轴近似（单色平面波入射）

6、 当孔径范围及观察范围远小于两者之间距的实际情况 a)平面波正入射孔径（衍射）屏,对振幅的影响可略。,b)同时取 ，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响不可略。 则,（2）菲涅耳近似和菲涅耳衍射积分公式,当满足：,相应的衍射为菲涅耳衍射，满足近似条件，能观察到衍射的区间为菲涅耳衍射。,3）夫琅和费近似与夫琅和费衍射积分公式 当满足,相应的衍射为夫琅和费衍射，这一近似成立的区域为夫琅和费衍射区。,小结：,菲涅耳衍射 条件 公式,夫琅和费衍射 条件 公式,第二节：典型孔径的夫琅和费衍射,观察夫琅和费衍射孔径与观察屏的距离由 决定， 通过如图所示装置来实现：,S,L1,L2,P,P0,f,（x

7、1，y1）,（x，y）,一、夫琅和费衍射公式的意义 按照夫琅禾费衍射公式:,夫琅禾费衍射实验装置图,由于平面波垂直照射在孔径 上， 应为常数，令 ，同时 ，于是上式可以写为：,式中,在衍射屏孔径 处的透镜L2的后焦面上某点P（x，y）的复振幅分布为,上式表示孔径面 内各点发出的子波在方向余弦 代表的方向上的叠加，叠加结果取决于各点发出的子波和参考点C发出的子波的相位差，由于透镜的作用， 代表的方向上的子波聚焦在透镜的焦面上的P点。,表示C处的子波源发出的子波到达P点的相位,表示孔径内任一点Q和原点C发出的子波到达P点的相位差,二、矩孔衍射 （P点强度） 夫琅禾费矩孔衍射装置如图 在观察平面上的

8、P点的复振幅为,P0,P,O,L2,C,Q,a,b,x1,y1,x,y,对于透镜光轴上的P0点（ ),该点的复振幅为,b,a,a、b为矩孔的宽度和长度。,则对于接收屏上的P点的复振幅为,P点的光强为,由上面的式子知道：P点的光强依赖于x、y两个坐标。,分别为x、y方向的衍射角。,其强度分布曲线如图所示： 1）主极大位置 ，当x=0,y=0 时，I ， 有主极大。I/I0=1。 2)极小值位置 在 x轴上， 有极小值I=0，即零强度点（暗纹处）满足的条件是：,3)次极大位置 在相邻零强度点之间有一个强度次极大，次极大的位置为,强度分布曲线,下面首先研究沿x轴上各点的强度分布： 此时强度公式为,4

9、）暗条纹间隔 由极小值条件知：除 级暗纹以外，在x轴上，相邻两暗纹之间的宽度为,5）主极大宽度：即 级暗纹之间的距离，,6）沿x、y轴光强分布具有对称性，在整个xy平面上任意点的相对光强值等于其对应x、y坐标轴上相对光强值的乘积。,用同样的法子也可以研究沿y轴上各点的强度分布。中央亮斑可以认为是衍射扩展的主要范围，它的边缘在x轴和y轴上分别由下式决定：,中央亮斑的角半宽度为,相应的中央亮斑的半宽尺寸为,即，衍射效应正比于入射光波，反比于孔径限度，总的强度取决与x、y方向分项的共同作用。,三、单缝衍射 若矩孔一个方向的宽度比另一个方向的宽度大得多，如ba，矩孔就变为狭缝，如图所示，由于ba，所以

10、沿y方向的衍射效应可忽略，衍射图样只分布在x轴上，其衍射强度分布式为,单缝衍射因子,其光强分布特点： 1）主极大位置：当x=0时，I有主极大值Imax=I0. 2）极小值条件：当,3）中央主极大半角宽度： 中央主极大的宽度 4）次极大方程 次极大的位置由方程 确定，解得次极大位置,5）暗条纹间距,例题1 波长 的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔上，在光轴（它通过孔中心并垂直于孔平面）附近离孔z处观察衍射，求夫琅和费衍射区的大致范围。,解:因为夫琅和费衍射应满足的条件是,所以，,例题2 波长 的平行光垂直入射到宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察。1

11、）求单缝衍射中央亮纹的半角宽度；2）第1亮纹到衍射场中心的距离是多少？若场中心强度为I0，第1亮纹的强度是多少？,解:1）中央亮纹的半角宽度为,2）第1亮纹最亮点的位置对应于 即,所以，,或者，,则第1亮纹到场中心的距离为,第1亮纹的最大强度为,四、 圆孔衍射,：艾里斑直径,Q,C,P0,O,L2,y1,y,x1,x,1、光强分布 如图，采用极坐标讨论较方便，在衍射屏圆孔上任一点Q的位置：,类似的在接收屏上任一点P的位置：,上式中的积分域 是圆孔的面积： 而,将它们代入上式得到,P点的复振幅为,P点的光强为,式中 是轴上点P0的强度。a是圆孔半径，k为波 数， 为衍射角。,2、衍射图样的分析

12、由贝塞尔函数表求出的圆孔衍射强度分布的头几个极大和极小见p349表12-2。,分析光强分布表示式： 其中,1）当z=0处， ，在中心有极大强度点。 2）当 时， ，这就是暗环位置。 3）出现次极大位置是,结论：相邻暗环间隔不等，次极大光强比中央主极大小得多。,圆孔衍射形成不等间隔的同心圆环，其光强分布特点是： 1）主极大位置 当r =0时，I有主极大值Imax=I0。 2）极小值条件 设,3）次极大位置 由方程 确定，可通过查表求解。 4）爱里斑半径,例题3 波长 的平行光垂直入射到宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的凸透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：1）衍射图样中央亮纹的半

13、宽度；2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度比。 解：1）中央亮纹的半宽度 则有,2）亮纹方程为 满足此方程的第一次极大 第二次极大,一级次极大 二级次极大,第三节 夫琅禾费衍射与傅里叶变换,一、夫琅禾费衍射的意义 夫琅禾费衍射公式：,当单位平面波垂直入射时， 所以上式有可以写为,其中,将上式与下式进行比较：,表明：夫琅禾费衍射场的复振幅分布 为孔径面上（或刚刚透过衍射屏）光场的复振幅分布的傅里叶变换，也表明透过孔径的波场 或衍射屏 被分解为一系列具有不同空间频率 的基元函数 的线性叠加。 所以理想的夫琅禾费衍射系统是一个傅里叶频谱分析器。,二、夫琅

14、禾费衍射图样的特点,由于夫琅禾费衍射场与衍射屏之间的傅里叶变换关系，为计算夫琅禾费衍射图样的强度分布提供了一种简洁的方法。 下面以矩孔衍射为例： 矩孔的复振幅透射系数为,则,设 为常数，相应的光强分布为,其中,夫琅禾费衍射具有如下特点： 1、衍射现象扩展程度与孔径大小成反比 2、孔径（衍射屏）在自身平面内评议不改变衍射图样的位置和形状 3、倾斜平面波照射孔径，是衍射图样产生平移 4、互补屏的夫琅禾费衍射图样的强度分布相同。,第四节 光学成像系统的衍射和分辨本领,一、在像面观察的夫琅禾费衍射,S,L,R,D,C,Q,S,x1y1,xy,由于该系统所成的像S是会聚球面波通过孔径光阑D在像面上的衍射

15、光斑，而光阑D到像面的距离使之不能用夫琅禾费衍射公式，只能利用菲涅尔衍射的计算公式，如图，根据菲涅尔衍射公式：,则像面上的复振幅分布为,与夫琅禾费衍射公式比较发现两式的积分一样，表明在像面上观察到的近处点物的衍射像也是孔径光阑的夫琅禾费衍射图样。相应的爱里斑半径为,小结：成像系统对无穷远处的点物在焦面上所成的像是夫琅禾费衍射像，同时成像系统对近处点物在像面上所成的像也是夫琅禾费像，即成像系统对点物在它的像面上所成的像是夫琅禾费衍射图样。,由于光学系统对点物所成的“像”是一个夫琅禾费衍射图样，则两个靠的很近的点物，他们的像（衍射图样）就有可能分辨不开。,二、成像系统的分辨率,若两物点距离很近，对

16、应的两个爱里斑可能部分重叠而不易分辨；当一个点物衍射图样的中央极大与近旁另一个点物衍射图样的第一极小重合，作为光学成像系统的分辨极限，认为此时系统恰好可以分辨开两个点物，这个分辨标准就是瑞利判据。如图。,瑞利判据,可分辨,刚可分辨,不可分辨,对于两个等光强的非相干物点,如果一个像斑中心刚好 落在另一像斑的第一级暗纹处上时,就认为这两个像刚刚能够被分辨。,在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度， 称为最小分辨角0 ，等于爱里斑的半角宽度。,D为光学仪器的透光孔径,最小分辨角的倒数 称为光学仪器的分辨率,下面分别对三种典型光学系统进行讨论： 1、望远镜的分辨率 根据瑞利判据，两点物对望远镜物镜

17、的张角为,2、照相物镜的分辨率 若照相物镜的孔径为D，则它能分辨的最靠近的两直线在感光底片上的距离为,3、显微镜的分辨率,第五节 多缝的夫琅禾费衍射,L1,L2,G,一、强度分布公式 多缝按光栅常数d将入射光波波面分成N个部分，每一部分成为一个单峰产生单缝夫琅和费衍射，而这N个单缝衍射场是相干场，所以它们在接收屏上P点处相干叠加。,设位于光轴上的中心单峰的夫琅禾费衍射图样在P点的复振幅为,式中,相邻单峰在P点产生的夫琅禾费衍射的幅值与中心单峰的相同，只是产生一个相位差,因此，多缝在P点产生的复振幅是N个振幅相同、相邻光束相位差相等的多光束干涉的结果。,因此P点的光强为,单缝衍射因子,多光束干涉

18、因子,二、多缝衍射图样 该图样中的亮纹和暗纹的位置分别为：,光栅方程,可以看到，各级主极大的强度受到单缝衍射因子的调制，各级主极大的强度为,缺级现象：当干涉因子的某级主极大值刚好与衍射因子的某级极小值重合，这些著极大值就被调制为零，对应级次的主极大消失了，这就是缺级。即,干涉与衍射的区别和联系 干涉和衍射都是波的相干叠加，因而其物理本质都是相同的，所以，无论是应用广的叠加原理还是采用惠更斯菲涅耳衍射积分公式，都遵循振动矢量叠加的原理。如果仅从这一点来看的话，实在没有必要将干涉和衍射加以区分。之所以区分，无非是基础以下几种考虑； 其一、从实验所采用的装置和方法看，两者有区别； 其二、从采用的数学

19、手段上看，两者有区别； 其三、从物理结果上看，两者有区别。,干涉是“光束”之间的相干叠加，因而要求每一条“光束”都要足够细，因而，样式干涉实验装置中，每一个狭缝或针孔都要足够小，以至于可以认为其中仅包含有一个振动源。这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是离散的、不连续的、可数的。,而衍射则是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。所以每一个衍射单元可以比较大，例如菲涅耳圆孔、夫琅和费单缝、圆孔、矩孔等等，其中每一个衍射单元中包含有许多（无限多）个扰动源。 由于干涉的“光束”是离散的，因而其叠加的过程可以在数学上用求和的方法解决，既可以直接应用波的叠加原理；而衍射的

20、扰动源是连续分布的，则在数学上必须采用积分（曲面积分）的方法求解，所以需要求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式。 从最后的效果看，干涉之后光的能量在空间均匀分布，无论杨氏干涉还是薄膜干涉，各级亮条纹有相差不大空间角宽度和强度；而衍射所产生的一系列亮条纹中，有一个条纹具有较大的强度和角宽度，例如夫琅和费圆孔衍射的爱里斑、单缝衍射的零级条纹，这个特殊的衍射级就是系统的几何像点上，因而衍射的结果更接近于几何成像的情况，或者，几何光学就是衍射的零级近似。,第六节 衍射光栅,在种种结构复杂的衍射屏中，有一类是具有空间周期性结构的，其衍射的结果又比较简单的规律，而且容易进行数学上的分析，所以获得了很广泛的应用。

21、这种衍射屏就是衍射光栅。,衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 衍射光栅可以具有反射或透射结构，可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。这类光栅由于使透射光或反射光的振幅改变，因而统称为振幅光栅。 还有一类光栅，对于入射光而言，是全透或全反的，但是透射光或反射光的相位将被改变，因而被称作相位光栅。,一、光栅的分光性能 （一）光栅方程,前面推导光栅衍射的复振幅及强度分布时，为了表达简单，假设入射光是沿着平行于系统的光轴方向入射的。实际上，入射光可以沿任意方向，设入射光与系统光轴的夹角为 ，如图所示，则对于透射式光栅 斜入射时，相邻光束间的光程差 入射、出射在光栅平面法线

22、同侧，,入射、出射在光栅平面法线异侧，,反射式光栅,同侧取“+”。,正入射时,（二）光栅的色散,，不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。,1） ，角色散率，光栅的分光能力。 定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。 由光栅方程，可以得到,（1）,零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线都集中于同一位置。原因是零级谱的干涉的光程差等于零。,（2）,对于固定的衍射级数m，角色散率为常数。角色散率与N无关。,2）线色散率 ，光谱线在焦平面上分开的距离。,（三）光栅的色分辨本领 入射光是白光，则同一级衍射谱中，不同的波长成分有不同的衍射角。设波长差为 的同级衍射光谱线的角距离为 则

23、由光栅方程可以得到,用Rayleigh判据，如果由于色散所分开的距离正好使一条谱线的强度极大值和另一条谱线旁边的极小值重合，它们刚好能分辨，一般用分辨本领表示光栅对不同波长光谱线的分辨能力，分辨本领的定义是,分辨本领是针对波长的分辨，因而也称作色分辨本领。 N越大，j越大，分辨本领越大；分辨本领与光栅常数d无关。,(四）光栅的自由光谱范围 将入射光的波长范围表示为,则衍射后有,为了使光谱线不重叠，即第m级的长波 的谱线与第m+1级的短波 的谱线不重叠，就要求 ，由上式可以得到,入射光的波长范围必须满足上式，才能保证第m级光谱不与第m+1级光谱重合，这一光谱范围，称作自由光谱范围，即光栅可以自由

24、工作的波长范围。,对于一级光谱（m=1），可以从光的短波端min计算出光的自由光谱范围， ，所以一级光谱的自由光谱范围为 。同样也可以从其长波端确定此范围，对于一级光谱有，,一级光谱的自由光谱范围为,光栅方程要求 自由光谱范围为,二、正弦（振幅）光栅 前面讨论的光栅称作黑白型光栅，即透光部分与遮光部分截然分开。与黑白型光栅不同，正弦光栅的具有可以用正弦或余弦函数表示的振幅透过率，其透过率往往表示为,其中d为光栅的空间周期。则在衍射屏上，其振幅分布可以写成 （设光栅透射系数沿x1方向变化）,求这N个单元（每个条纹看做一个衍射单元）的光栅衍射强度分布等于单元衍射因子乘以多光束干涉因子 即可。,单元

25、衍射因子产生的复振幅为,衍射图样的强度分布为,问题的提出与解决方案 前面所讨论的平面型光栅，无论是透射式的还是反射式的，m=0级的色散为零，但该衍射级的能量却是最大的。，能量集中是衍射的结果，即大部分能量都集中在几何像点上. 而色散是干涉的结果，来自不同狭缝的光具有不同的光程。对于平面型光栅，单元衍射零级的位置与缝间干涉的零级的位置恰好是重合的。如果让干涉零级与衍射的零级在空间上分开，则可以使衍射的绝大部分能量集中在一个有色散的衍射级上。即让光的几何像点偏离光栅平面的法线即可。,三、闪耀光栅 闪耀光栅具有这种能力。如果让光栅的反射面与光栅平面之间保持一定的夹角，则入射光相对于光栅平面法线的夹角

26、为 而相对于反射面（即衍射单元平面）法线的夹角为 ，则各个反射面的反射光进行干涉（即缝间干涉）的结果，m=0级出现在与反射面法线夹角为 的方向；而对于每一个反射面，衍射的结果，其主极大、即中央0级衍射出现在与光栅平面法线夹角为 的方向，即反射面的几何像方向。这两者是不重合的，因而，干涉的零级光谱不占据光强最大的位置，而是另外的 的谱线处于中央主极大处。如图所示。这种反射面与光栅平面不平行、而是保持一定夹角的光栅称作闪耀光栅。闪耀光栅同样也具有周期性结构，每一个反射面被称作闪耀面，闪耀面与光栅平面间的夹角称为闪耀角，记作,两种常用的照明方式 对于闪耀光栅，入射光通常采以特殊的角度入射，这种入射方

27、式被称作闪耀光栅的照明方式。,通常采用图示的两种方式入射（照明）。 第一种方式，光沿着闪耀面的法线入射，在反射光的方向上，缝间干涉的光程差为 ，在这一方向上的光谱线满足的条件是 。m=1时，衍射最强的波长为,称作一级闪耀波长。,其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度，所以，其它波长的一级谱线也有足够的强度。 第二种方式，光沿着光栅平面的法线入射，入射光与反射面（即闪耀面）简单夹角为 ,则反射光与入射光之间的夹角为 因而，在反射光的方向上，相邻两个单元干涉的光程差为,因而有在反射方向上，有,一级闪耀波长为,四、正弦相位光栅 振幅型衍射屏使得光的振幅发生变化，上述各种黑白

28、光栅和正弦光栅都属于振幅型光栅；而相位型光栅则通过改变光的相位，使波前变化，从而重新构建光波场。具有周期性变化的相位因子的衍射屏就是相位光栅。,例如，将光学玻璃做成阶梯形结构，每一阶都有相等高度d和宽度a，设玻璃的折射率为n，则从玻璃相邻台阶射出的光，光程差为 ，相位差为,第七节 二元光学元件,把利用二元光学技术制作的衍射型光学元件称为二元光学元件.二元光学元件的形状是以往折射型光学元件所没有的特殊形状。 二元光学元件以光的衍射为其工作原理，采用计算机设计与微电子加工技术在片基表面制作深度为亚微米级、台阶形分布的纯相位元件。 意义：二元光学是光学设计和元件制作工艺上的一场革命，它的诞生促进了光

29、学设计原理从折射向衍射发展，光学元件从宏观与散件向微型与集成发展。 一二元光学元件的原理,表明：随着相位分等数目的增加，衍射效率也随之增加。 当N=16时，理论衍射效率可高达 98.7%。,1台阶形表面台阶深度等级数目是2 n，是对连续波面相位的分等量化表示。 2二无光学元件的衍射效率 零级衍射效率：,二二元光学元件的设计与制作 1算法 (1) 特征尺寸大于光波长时，标量衍射理论 Gerchberg-Saxton（GS）算法、Yang-Gu（YG）算法、Simulating Annealing（SA）算法、Genetic Algorithm（GA）算法等。,(2) 特征尺寸为波长量级或亚波长量

30、级，矢量理论。 耦合波、时域有限差分等。 图6.9-2二元光学元件的制作过程,2制作流程： 第一步，确定元件表面的相位分布。 第二步，研制n个二元振幅型掩膜。四川大学精品课程光学 第三步，把掩膜覆盖于涂了感光层的片基上，并对其进行曝光与处理。 第四步，刻蚀。 第五步，通过母板复制大量的二元光学元件。 表明：二元光学对技术工艺和仪器设备的要求是很高的，因此，要设计和研制出高质量的二元光学元件并非易事。,第八节 菲涅尔衍射,菲涅耳衍射在非成像系统中，当光源或观察屏之一与孔径或障碍物之间的距离为有限时产生的衍射。这时衍射积分公式中的相因子不再像夫琅和费衍射情况那样，是波阵面次波坐标的线性函数，这种衍

31、射的数学分析就复杂多了；可根据惠更斯菲涅耳原理，用简化的半波带和细致的矢量图解法，可以求得圆孔圆屏在轴上的衍射光强。,一菲涅耳半波带法及圆孔、圆屏菲涅尔衍射 （一）菲涅耳半波带法,以P0为中心， 为半径在波面上作圆，这些圆将波面露出小孔部分划分成了n个环带，其中每一环带的相应边缘两点或相邻带的对应点到P0点的光程差为 ，所以把它们叫作半波带。,根据惠更斯一菲涅耳原理，S在P0点产生的振动应为波面上所有各带发出的子波在P0点振动的叠加，则P0点的合振动之振幅为,当波面为球面时，各半波带在P0点产生的振幅应是一个单调下降的收敛数列，即,则,即,对于自由空间传播（圆孔非常大或不存在圆孔衍射屏）的球面波，an实际上为零，上式成为,即球面波自由传播时整个波面上各次波源在P点产生的合振动之振幅等于第一半波带在同一点产生的振动振幅之半，