高中数学解析几何公式与题型

1、高中数学解析几何公式与题型高中数学解析几何公式与题型 解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若A(x1,y1),B(x 2 ,y 2 )，则AB (x 2 x 1 )2(y 2 y 1 )2 特别地：AB/x轴，则AB 。 AB/ y轴， 则AB 。 2、平行线间距离：若l1: Ax By C1 0, 则：d l 2 : Ax By C 2 0 C 1 C 2 A B 22 注意点：x，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：P(x ,y), l: Ax By C 0 则 P 到 l 的距离为：d Ax By C A B 22 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 2 y kx b F(x,

2、y) 0 消 y：ax bx c 0，务必注意 0. 若 l 与曲线交于 A(x1, y1),B(x2, y2) 则：AB (1 k2)(x 2 x 1 )2 5、若 A(x1, y1),B(x2, y2)，P（x，y） 。P 在直线 AB 上，且 P 分有向线段 AB 所成的比为， x 1 x 2 x 1 则，特别地：=1 时，P 为 y y 2 y 1 1 x 1 x 2 x 2 AB 中点且 y y 1 y 2 2 变形后： x x 1 y y 1或 x 2 xy 2 y 6、若直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，则 l1到 l2的角为,(0,) 适用范围：k1，k2都存

3、在且 k1k21 ， tan k 2 k 1 1 k 1k2 若 l1与 l2的夹角为，则tan k 1 k 2 ，(0, 21 k 1k2 注意： （1）l1到 l2的角，指从 l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围(0,) l1到 l2的夹角：指l1、l2相交所成的锐角或直角。 （2）l1l2时，夹角、到角= 。 2 （3）当 l1与 l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角，(0,)； （2）a,b夹角，0，； （3）直线 l 与平面的夹角，0， ； （4）l1与 l2的夹角为，0， ，其中 l1/l2时夹角=0； （5）二面角,(0,； （6）l1到 l2的角

4、，(0，) 8、直线的倾斜角与斜率 k 的关系 a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。 b)若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan。 9、直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 （1）若 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2k1=k2 l1l2k1k2=1 （2）若l1: A 1 x B 1 y C 1 0, 若 A1、A2、B1、B2都不为零 l1/l2 2 2 l 2 :A 2 x B 2 y C 2 0 A 1 B 1 C 1； A 2 B 2 C 2 l1l2 A1A2+B1B2=0； l1与 l2相交 A 1 B 1 A 2 B 2 A 1 B 1 C 1； A 2 B

5、 2 C 2 l1与 l2重合 注意：若 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。 10、直线方程的五种形式 名称方程注意点 斜截式：y=kx+b应分斜率不存在 斜率存在 点斜式： y y k(x x ) （1）斜率不存在：x x （2） 斜率存在时为y y k(x x) 两点式： y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式： xy 交 y 轴于(0,b)1其中 l 交 x 轴于(a,0)， ab 当直线 l 在坐标轴上， 截距相等时应 分： （1）截距=0设 y=kx （2）截距=a 0设 即 x+y=a 一般式：Ax By C 0（其中 A、B 不同时

6、为零） 10、确定圆需三个独立的条件 圆的方程（1）标准方程：(x a) (y b) r， (a,b) 圆心，r 半径。 （2）一般方程：x y Dx Ey F 0， （D E 4F 0) 2222 222 xy 1 aa DE (,) 圆心,r 22 222 D2 E2 4F 2 11、直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种 若d Aa BbC A B 22 ，d r 相离 0 d r 相切 0 d r 相交 0 12、两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O 1O2 d d r 1 r 2 外离 4条公切线 d r 1

7、r 2 外切 3条公切线 r 1 r 2 d r 1 r 2 相交 2条公切线 d r 1 r 2 内切 1条公切线 0 d r 1 r 2 内含 无公切线 外离外切 相交内切内含 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆 定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且PF 1 PF 2 2a F 1F2 （a为常数） 则 P 点的轨迹是椭圆。 定义：若 F1为定点，l 为定直线，动点P 到 F1的距离与到定直线 l 的距离之比为常 数 e（0e1） ，则动点 P 的轨迹是双曲线。 （二）图形： （三）性质 x2y2y2x2 方程： 2 2 1 (a 0,b 0) 2 2 1 (a 0,b

8、 0) abab 定义域：x x a或x a；值域为 R； 实轴长=2a，虚轴长=2b 焦距：2c a2 准线方程： x c 焦半径： a2a2 PF 1 e(x )，PF 2 e( x)，PF 1 PF 2 2a； cc 注意： （1）图中线段的几何特征：AF 1 BF 2 ca，AF 2 BF 1 a c a2a2a2a2 或a 或c 顶点到准线的距离：a ；焦点到准线的距离：c cccc 2a2 两准线间的距离= c x2y2x2y2 b （2）若双曲线方程为 2 2 1渐近线方程： 2 2 0 y x ababa x2y2xy b 若渐近线方程为y x 0双曲线可设为 2 2 abab

9、a x2y2x2y2 若双曲线与 2 2 1有公共渐近线，可设为 2 2 abab （ 0，焦点在 x 轴上， 0，焦点在 y 轴上） （3）特别地当a b时 离心率e 2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x， 22 此时双曲线为等轴双曲线，可设为x y ； （4）注意PF 1F2 中结合定义PF 1 PF 2 2a与余弦定理cosF 1PF2 ，将有关 线段PF 1 、 PF 2 、 F 1F2 和角结合起来。 （5）完成当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质。 二、抛物线 （一）定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之

10、比是常数 e（e=1） 。 （二）图形： （三）性质：方程： 焦点：( y2 2px,(p 0), p 焦参数； p ,0) ，通径 AB 2p； 2 p 准线： x ； 2 ppp 焦半径：CF x ,过焦点弦长CD x 1 x 2 x 1 x 2 p 222 p 注意： （1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=p；通径长=2p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （ 2 ） 抛 物 线 y 2px 上 的 动 点 可 设 为 2P(2pt2,2pt)或P(x , y)其中y 2px 2 y P( , y ) 或 2p 2 解析几何新题型解析几何新题型 【考点透视】【考点透视

11、】 一直线和圆的方程 1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点 式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系 3了解二元一次不等式表示平面区域 4了解线性规划的意义，并会简单的应用 5了解解析几何的基本思想，了解坐标法 6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程 二圆锥曲线方程 1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何

12、性质 4了解圆锥曲线的初步应用 【例题解析】【例题解析】 考点 1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 22 例 1若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 x y 1的右焦点重合，则p 的值为（） 62 A2B2C4D4 考查意图考查意图: : 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 22 解答过程：椭圆 x y 1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2 2px的焦点为(2,0)，则p 4， 62 故选 D. 考点 2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用 距离

13、公式解之. 例 2已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A.3B.4C.3 2 D.4 2 考查意图考查意图: : 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. y x23 x2 xb3 0 x 1 x 2 1， 解：设直线AB的方程为y xb，由 y xb 进而可求出AB的中点M(, 1 2 111 b)，又由M(,b)在直线x y 0上可求出 222 b1， x2 x2 0，由弦长公式可求出AB 11 故选 C 例 3如图，把椭圆x y 1的长轴 2516 22 2124(2) 3 2 AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线

14、交椭圆的上半部 分于P七个点，F是椭圆的一个焦点， 1,P2 ,P 3,P4 ,P 5,P6 ,P 7 则 PF _. P 12F P3F P4F P5F P6F P7F 考查意图考查意图: : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆x y 1的方程知a2 25,a 5. 2516 22 72a PF PF PF PF PF PF PF 7a 7535. 1234567 2 故填 35. 考点 3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率离心率 e c(0,1) (e 越大则椭圆越扁); a (2) 双曲线的离心率离心

15、率 e c(1, ) (e 越大则双曲线开口越大). a 结合有关知识来解题. 例 4已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为 22 222222 A x y 1 B x y 1 C x y 1 D x y 1 412124106610 考查意图考查意图: :本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程： Qe c 2,c 4,所以a 2,b212.故选(A). a 小结小结: : 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其 对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例 5已知双曲线3

16、x2 y2 9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距 离之比等于（） A.2B. 2 3 C. 2D.4 3 考查意图考查意图: : 本题主要考查双曲线的性质和离心率离心率 e c (1, )的有关知识的应用能力. a 解答过程：依题意可知 a 3,c a2b239 2 3 考点 4.求最大(小)值 求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求 最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. 例 6 已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点， 则 y12+y

17、22 的最小值是 . 考查意图考查意图: : 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点 P(4,0)的直线为y kx4,k2x28x16 4x, k2x28k24x16k2 0, 8k24 1 y 1 y 2 4x 1 x 2 4 162 2 32. 2kk 22 故填 32. 考点考点 5 5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容， 要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例 7 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象 限、半径为 2 原点 O.椭圆x

18、2 a2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标 y2 9 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆 C 的方程； （2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 考查目的考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程解答过程 (1) (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) m n, 则 n 2 2 2, m 2, 解得 n 2. 所求的圆的方程为 (x2)2(y2)28 (2)

19、 由已知可得 2a 10 ，a 5 22 椭圆的方程为 x y 1 ,右焦点为F( 4, 0) ; 259 假设存在 Q 点 22 2cos,2 2 2sin 使 QF OF , 22 2cos4 22 2sin 22 4 整理得 sin 3cos2 2， 代入sin2cos21 得:10cos212 2cos7 0, cos 12 2 8 12 2 2 2 1 1010 因此不存在符合题意的 Q 点. 例 8 如图,曲线 G 的方程为y2 2x(y 0).以原点为圆心，以t(t 0) 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于 A 与点 B. 直线 AB 与 x 轴相交于点 C. （

20、）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式； （）设曲线 G 上点 D 的横坐标为a2,求证：直线 CD 的斜率为定值. 考查目的考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. 解答过程解答过程 （I）由题意知，A(a, 2a). 因为| OA | t,所以a 2a t . 22 由于t 0,故有t a22a. （1） 由点 B（0，t） ，C（c，0）的坐标知，直线 BC 的方程为 又因点 A 在直线 BC 上，故有a 2a 1, ct xy

21、1. ct 将（1）代入上式，得a c 2a a(a 2) 1, 解得 c a22(a2). （II）因为D(a2 2(a2)，所以直线 CD 的斜率为 kCD 2(a 2)2(a 2)2(a 2) 1 ， a 2ca 2(a 22(a 2)2(a 2) 所以直线 CD 的斜率为定值. 例 9已知椭圆E: x2y2 2 1(a b 0)，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦 AB 的中点，若 2ab 以点M(2,1)为焦点， 椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4, 1)， 若椭圆离心率 e 和双曲线离心率e1之间满足ee11，求： （1）椭圆 E 的离心率； （2）双曲

22、线 C 的方程. 解答过程： （1）设 A、B 坐标分别为A(x 1,y1),B(x2,y2 )， 22 则x1 y 11， x 2 y 21，二式相减得： a2b2a2b2 22 k AB 2b21(1)y 1 y 2 (x 1 x 2 )b2 k 1， MN 2 2a24x 1 x 2 (y 1 y 2 )a a2 所以a2 2b2 2(a2c2)，a2 2c2，则e c 2 ； 22 1 （2）椭圆 E 的右准线为x a ( 2c) 2c，双曲线的离心率e1 cc e 2， 设P(x, y)是双曲线上任一点，则： 22 |PM| (x 2) (y 1) 2 ， |x2c|x 2c| 两端

23、平方且将N(4, 1)代入得：c1或c 3， 当c1时，双曲线方程为：(x 2)2(y 1)2 0，不合题意，舍去； 当c 3时，双曲线方程为：(x 10)2(y 1)2 32，即为所求. 小结： （1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点考点 6 6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量求曲线方程和解决相关问题 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题： 22 例 10双曲线 C 与椭圆 x y 1有相同的焦点，直线 y= 3x为 C 的一条渐近线. 84 (1)求双曲线 C 的方

24、程； (2)过点 P(0,4)的直线l， 交双曲线 C 于 A,B 两点， 交 x 轴于 Q 点 （Q 点与 C 的顶点不重合） . 当PQ 1QA 2QB ，且 1 2 8 时，求 Q 点的坐标. 3 uuu ruuu ruuu r 考查意图考查意图: : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用 数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 22 解答过程： （）设双曲线方程为 x y 1, 22ab 22 由椭圆 x y 1,求得两焦点为(2,0),(2,0) ， 84 对于双曲线C:c 2，又y 3x为双曲线C的一条渐近线 b 3 解得 a21,b2 3

25、， a 双曲线C的方程为 x2 y 1 3 2 （）解法一： 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零. 设l的方程：y kx4,A(x 1, y1) ，B(x 2 , y 2 ),则Q( 4 ,0) . k uuu ruuu r Q PQ1QA,( 4 ,4) 1(x1 4 , y 1) . kk 44x 1 44 k 1 k 1(x1 ) k k y 4 4 1y11 1 Q A(x 1, y1) 在双曲线C上， 16 (1 1)2 16 1 0. 2k 1 1 1632 1 16 1 2 16 k2k22 0. (16k2) 1 232 1 16 16 k2 0. 3 3 同理有：(16k2

26、) 2 232 2 16 16 k2 0. 3 若16k2 0,则直线l过顶点，不合题意.16k2 0, 1, 2 是二次方程(16k2)x2 32x16 16 k2 0.的两根. 3 1 2 328 ,k2 4，此时 0,k 2. k2163 所求Q的坐标为(2,0). 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程，y kx 4, A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )，则Q( 4 ,0) . k uu u ruuu ruuu r Q PQ 1QA，Q分PA的比为 1. 由定比分点坐标公式得 44 1x1 x (1 1) k1 1 k 1 1 4 0 4 1y1 y 1

27、1 1 1 下同解法一 解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程：y kx4,A(x 1, y1),B(x2, y2 )，则Q( 4 ,0) . k uuu ruuu ruuu r Q PQ 1QA 2QB ， ( 4 ,4) 1(x1 4 , y 1) 2 (x 2 4 , y 2 ). kkk 4 1 y 1 2 y 2 ， 1 4 ， 2 4 ， y 1 y 2 又 1 2 8， 1 1 2,即3(y 1 y 2 ) 2y 1 y 2 . 3y 1 y 2 3 2 将y kx4代入x2 y 1得(3k2)y224y483k2 0. 3 Q 3 k2 0，否则l与渐近线平行

28、. 24483k2 . y 1 y 2 , y 1y2 3k23k2 24483k2 .k 2 3 2 3k23k2 Q(2,0). 解法四： 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零， 设l的方程：y kx 4，A(x 1, y1),B(x2, y2 ), 则Q(4 ,0) k uuu vuuu v44 Q PQ 1QA,( ,4) 1(x1 , y 1) . kk 4 k 4 .同理 1 4 kx 1 4 x 1 k 1 4 . kx 2 4 1 2 即 448 . kx 1 4kx 2 43 （*） 2k2x 1x2 5k(x 1 x 2 )8 0 . y kx4 又 2 y2 1

29、x 3 消去 y 得(3 k )x 8kx 19 0. 22 当3k2 0时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3k2 0. 8kx x 12 3k2 由韦达定理有： x x 19 12 3k2 代入（*）式得 k2 4,k 2. 所求 Q 点的坐标为(2,0). 例 11 设动点 P 到点 A(l，0)和 B(1，0)的距离分别为 d1和 d2， APB2,且存在常数 (01,使得 d1d2sin2 （1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定 的范围, 使OMON0,其中点 O 为坐标原点 考查

30、目的考查目的 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知 识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程解答过程 解法 1： （1）在PAB中， AB 2，即22 d 1 2 d 2 2 2d 1d2 cos 2 ， ， 4 (d 1 d 2 )2 4d 1d2 sin2 ，即d 1 d 2 44d 1d2 sin2 2 1 2（常数） 点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a 2 1的双曲线 22 方程为： x y 1 1 （2）设M (x 1，y1) ，N(x 2，y2 ) 当MN垂直于x轴时，MN的方程为x 1， M (11)，N(1 ， 1)在双曲线上 即

31、1 1 121 0 15 ，因为01，所以 5 1 122 当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y k(x1) x2y2 1得： (1)k2 x 22(1)k2x(1)(k2) 0， 由 1 y k(x1) 22k (1) ， (1)(k2) 由题意知：(1)k 0，所以x 1 x 2 x 1x2 (1)k2(1)k2 2 于是： y y k2(x 1)(x 1) 1212 k22 2(1)k 因为OM ON 0，且M，N在双曲线右支上，所以 (1) x 1x2 y 1y2 0 k 2 (1) 2 5 12 1 2x x 011 12 23 x x 0k2 2 1 0 12 1 由知， 5 1

32、 2 23 解法 2： （1）同解法 1 （2）设M(x 1 ，y 1) ，N(x 2，y2 )，MN的中点为E(x 0，y0 ) 当x 1 x 2 1时， MB 2 121 0， 1 因为01，所以 5 1； 2 当x 1 x 1 2y 1 2 1 x 2 时，x 0 1 k 2 MN 21y 0 xy 221 1 x 0 1 22 又k MN k BE y 0 所以(1)y 0 x 0 x 0 ； MN ，由第二定义得 MN e(x 1 x 2 )2a2 22 由MON 得 x 0 y 0 2222 1 2 1 x 0 1 x 0 (1)2x 0 1 1 22所以(1)y 0 x 0 2(

33、1)x 0 (1)2 2 2 2 22 2(1)y x x 0 , 00 于是由 得 x 0 (1) . 22223 (1)y0 x 0 2(1)x 0 (1) , 因为x01，所以(1) 1，又01， 23 2 解得： 5 1 2 由知 5 1 2 2323 考点考点 7 7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系， 再利用函数求最值的方法求最值， 要比只利用 解析几何知识建立等量关系容易. 例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3，过点C(1,0)的直线 3 uuu ruuu r 交椭圆 E 于

34、A、B 两点，且CA 2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方 程. 解答过程：因为椭圆的离心率为 3，故可设椭圆方程为 2x23y2 t(t 0)，直线方程为 3 my x 1， 2x23y2 t得：(2m2 3)y24my2t 0，设A(x ,y ),B(x ,y )， 由 1122 my x 1 则y 1 y 2 4m 22m 3 uuu ruuu r 又CA 2BC，故(x 1 1,y 1) 2(1x2,y2 )，即y1 2y 2 由得：y 1 2 y C B A o x 4m ， 8m ，y 2 2m232m23 m | 22m 3 则S AOB 1 | y 1 y 2

35、 | 6| 6 2|m| 3 |m| 6， 2 当m2 3，即 m 6 时，AOB面积取最大值， 22 此时y y 2t 12 22m 3 32m2 ，即t (2m23)2 2 10， 所以，直线方程为x 6 y1 0，椭圆方程为2x23y210. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例 13已知PA (x 5, y)，PB (x 5, y)，且| PA | | PB| 6， 求| 2x 3y 12|的最大 值和最小值. 解答过程：设P(x, y)，A( 5,0)，B( 5,0)， 因为| PA | | PB| 6，且| AB| 2 5 6， 所以，动点

36、 P 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆， 椭圆方程为x y 1，令 x 3cos ,y 2sin ， 94 22 uuu r uu u ruuu ruu u r uuu ruu u r 则| 2x 3y 12|6 2cos( )12|， 4 当cos( ) 1时，|2x 3y 12|取最大值126 2 ， 4 当cos( ) 1时，|2x 3y 12|取最小值126 2 . 4 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点考点 8 8利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围， 一般情况下最终都转

37、化成方程是否有解或转化成求函数的值域 问题. 例 14 （2006 年福建卷） 已知椭圆 x2 y21的左焦点为 F， 2 O 为坐标原点. （I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点， 线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围. 考查意图考查意图: :本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程： （I）Q a2 2,b21,c 1,F(1,0),l : x 2. Q圆过点 O、F， 圆心 M 在直线 x 1上.

38、2 设M( 1 ,t),则圆半径r ( 1)(2) 3 . 222 由OM r,得 ( 1 2 )2t2 3 2 , 解得t 2. 所求圆的方程为(x1 2 )2(y 2)2 9 4 . （II）设直线 AB 的方程为y k(x 1)(k 0), 代入 x2 2 y21,整理得(12k2)x24k2x2k22 0. Q直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根. 记A(x 1, y1),B(x2, y2 ), AB中点N(x 0 , y 0 ), 则 2 x 1 x 2 4k 2k21 , AB的垂直平分线 NG 的方程为y y 0 1 (x x 0 ). k 令y 0,得 2k2k2

39、 x k211 G x 0 ky 0 2k21 2k21 2k21 2 4k22 . Q k 0, 1 2 x G 0, 点 G 横坐标的取值范围为(1 ,0). 2 y B l FGO x A 22 例 15已知双曲线C： x 2 y 2 1(a 0,b 0)，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在 x 轴正半 ab 轴上，且满足|OA |,| OB|,| OF|成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂 线l，垂足为 P， uuu r uuu ruuu r uu r （1）求证：PAOP PAFP； uuu ruuu ruuu r （2）若l与双曲线 C 的左、右两支分别相

40、交于点 D,E，求双曲线C 的离心率 e 的取值范围. uuu ruuu ruuu ruuu r |2a2 ，即A( a 解答过程： （1）因|OA |,| OB|,| OF|成等比数列，故|OA| |OB uuu r uuu r 2 |OF|c c ,0)， y 直线l：y a (x c)， b ay (x c) a2ab，由 b P(,) bcc y x a D P O E F AB x uuu rrr ab uuu a2ab uu b2ab ,)， 故：PA (0, ),OP (,),FP ( ccccc uuu r uuu ruuu r uu ruuu r uuu rr uu r a2

41、b2 uuu 则：PAOP 2 PAFP，即PAOP PAFP； c uuu r uuu ruuu r uu ruuu ruuu ruuruuu ruu ruuu ruuu r uuu r （或PA(OP FP) PA(PF PO) PAOF 0，即PAOP PAFP） ay (x c) a4 2 a4a4c2 2 （2）由 (b 2 )x 2 2 cx ( 2 a2b2) 0，b bbb b2x2 a2y2 a2b2 a4c2 ( 2 a2b2) b 0得：b4 a4 b2 c2a2 a2 e2 2 e 2. 由x1x 2 4a b2 2b ab 22222 （或由k DF k DO b c

42、 a a e 2 e 2） ba 小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重， 而要运用数量积， 必须先恰当地求 出各个点的坐标. rrrrrr 例 16已知a (x,0)，b (1,y)，(a 3b) (a 3b)， （1）求点P(x, y)的轨迹 C 的方程； （2）若直线y kx m(m 0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D(0,1)，且|AD|BD|， 试求 m 的取值范围. rr 解答过程： （1）a 3b(x,0) 3(1,y) (x 3,3y)， rr a 3b(x,0) 3(1,y) (x 3, 3y)， rrrrrrrr 因(a 3b) (a 3b)，故(a 3b)

43、(a 3b) 0， 22 即(x 3,3y) (x 3, 3y) x 3y 3 0， x2 y21. 故 P 点的轨迹方程为 3 y kxm 222 （2）由 2 得：(13k )x 6kmx 3m 3 0， 2 x 3y 3 设A(x 1,y1),B(x2 ,y 2 )，A、B 的中点为M(x 0 ,y 0 ) 则 (6km) 4(13k )(3m 3) 12(m 13k ) 0， 22222 x 1 x 2 6km3kmm ，x y kx m 000 213k213k213k2 3kmm 即 A、B 的中点为(,)， 2213k13k m13km 则线段 AB 的垂直平分线为：y ()(x

44、 )， 2213kk13k x 1 x 2 将D(0,1)的坐标代入，化简得：4m 3k21， 22 m 13k 0 则由得：m24m 0，解之得m0或m 4， 2 4m 3k 1 又4m 3k21 1，所以m 1 ， 4 故 m 的取值范围是(,0) U (4,). 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点考点 9 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题， 其一般解法是先假设命题存在， 用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐 标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例 17已知 A,B

45、,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的 1 4 uuu r uuu ruuu ruuu r 中心 O，且ACBC 0，| BC| 2| AC|， （1）求椭圆的方程； （2）如果椭圆上的两点 P,Q 使PCQ的平分线垂直于 OA，是否总存在实数，使得 uuu ruuu r PQ AB？请说明理由； 解答过程： （1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)， y O C A Q x 设椭圆方程为 xy 2 1，不妨设 C 在 x 轴上方， 4b 22 B P uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 由椭圆的

46、对称性，| BC| 2| AC| 2|OC | AC|OC |， uuu r uuu r 又ACBC 0ACOC，即OCA为等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b2 4 ， 3 x23y2 1； 即，椭圆方程为 44 uuu ruuu r （2）假设总存在实数，使得PQ AB，即AB/ PQ， 由C(1,1)得B(1,1)，则k AB 0(1)1 ， 2(1)3 若设 CP：y k(x 1)1，则 CQ：y k(x 1)1， x 23y2 1 由 4 (13k2)x26k(k 1)x3k26k 1 0，4 y k(x 1)1 由C(1,1)得x 1是方程(13k

47、)x 6k(k 1)x3k 6k 1 0的一个根， 222 3k26k 13k26k 1 由韦达定理得：x P x P 1 ，以k代 k 得x Q ， 13k213k2 故k PQ y P y Q x P x Q k(x P x Q )2k x P x Q 1 ，故AB/ PQ， 3 uuu ruuu r 即总存在实数，使得PQ AB. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及 探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点考点 1010利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题， 一般情况下，

48、是把直线的方程和曲线的方程组成方程组， 进 一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. uuuu ruuu r 例 18 设 G、M 分别是ABC的重心和外心，A(0, a)，B(0,a)(a 0)， 且GM AB， （1）求点 C 的轨迹方程； （2）是否存在直线m，使 m 过点(a,0)并且与点 C 的轨迹交于 P、Q 两点，且 uuu r uuu r OPOQ 0？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程： （1）设C(x, y)，则G(,)， uuuu ruuu r x 因为GM AB，所以GM/ AB，则M(,0)， 3 由 M 为ABC

49、的外心，则|MA |MC|，即 ( ) a x y 3 3 x 3 22 x (x)2 y2 ， 3 x2y2 整理得： 2 2 1(x 0)； 3aa （2）假设直线 m 存在，设方程为y k(x a)， y k(x a) 22222 由 x 2得：(13k )x 6k ax 3a (k 1) 0，y2 2 2 1(x 0) a3a 6k2a3a2(k21) 设P(x 1,y1),Q(x2 ,y 2 )，则x 1 x 2 ，x1x 2 ， 13k213k2 2k2a2 y 1y2 k (x 1 a)(x 2 a) k x 1x2 a(x 1 x 2 )a ， 213k 222 uuu r u

50、uu r 由OPOQ 0得：x1x 2 y 1y2 0， 3a2(k21)2k2a2 0，解之得k 3， 即 13k213k2 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)， 故存在直线 m，其方程为y 3(x a). 小结： （1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的 结果，然后做出正确的判断； （2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组 成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】【专题训练与高考预测】 一、选择题 1如果双曲线经过点(6, 3)，且它的两条渐近线方程是y 1 x，那么双曲线方程是（） 3 2222

51、2 22xyxyxxy 2 A 1 B 1 C y 1 D 1 8191839369 2222 2已知椭圆 x 2 y 2 1和双曲线 x 2 y 2 1有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方 3m5n2m3n 程为（） A.x 15 y B. y 15 x C. x 3 y D. y 3 x 4422 xy 3已知F 1,F2 为椭圆 2 2 1(a b 0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1 垂直于 x 轴， ab 22 且FMF，则椭圆的离心率为（） 12 60 A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 2232 22xy 4二次曲线 1，当m2,1时，该曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）

52、 4m A. 2 , 3 B. 3 , 5 C. 5 , 6 D. 3 , 6 22222222 5直线 m 的方程为y kx 1，双曲线 C 的方程为x2 y21，若直线 m 与双曲线 C 的右 支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（） A.( 2, 2) B.(1, 2)C. 2, 2) D.1, 2) 6已知圆的方程为x2 y2 4，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线， 则抛物线的焦点的轨迹方程为（） 22 22xyxy A. 1(y 0)1(y 0) B. 4334 2222 C. x y 1(x 0) D. x y 1(x 0) 3443 二、填空题

53、22 7 7已知 P 是以F 1 、F2为焦点的椭圆 x y 1(a b 0) 上一点，若 PF 1 PF 2 0 22ab tanPF 1F2 1 ，则椭圆的离心率为 _ . 2 8 8已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆 截得的弦长为 4 13 ，点 A 的坐标是_ . 3 9P 是椭圆 x y 1上的点，F 1,F2 是椭圆的左右焦点，设|PF 1 |PF 2 | k，则 k 的最大值 43 22 与最小值之差是_ . 10给出下列命题： 圆(x 2)2(y 1)21关于点M(1,2)对称的圆的方程是(x 3)2(y 3)21

54、； 双曲线x y 1右支上一点 P 到左准线的距离为 18， 那么该点到右焦点的距离为 29 ； 1692 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)的抛物线方程只能是 y2 9 x； 4 22 P、Q 是椭圆x2 4y216上的两个动点，O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为 1 ， 4 则|OP|2|OQ|2等于定值 20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_ . 三、解答题 uuuu r uuu r uu u r 11已知两点A( 2,0)，B( 2,0)，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q，PAPB 2PQ2， （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）设直线m 过点

55、A，斜率为 k，当0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点C 到直 线 m 的距离为 2，试求 k 的值及此时点 C 的坐标. 12 如图，F 1 (3,0)，F 2 (3,0)是双曲线 C 的两焦点， 直线x 4 是双曲线 C 的右准线，A1,A2 3 是双曲线 C 的两个顶点，点 P 是双曲线 C 右支上异于A 2 的一动点，直线A1P、A 2P 交 双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点， （1）求双曲线 C 的方程； uuu u r uuu u r （2）求证：FM是定值. F N 12 F1 A1o N y P M F2 A2 x 13已知OFQ的面积为 S，且OFFQ 1，建

56、立如图所示坐标系， （1）若S 1 ，|OF| 2，求直线 FQ 的方程； 2 uuu ruuu r （2）设|OF| c(c 2)，S 3 c，若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆过点 Q，求当|OQ |取 uuu r uuu r uuu r y Q o 4 F x 得最小值时的椭圆方程. 14已知点H(3,0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满 足HPPM 0，PM 3 MQ， 2 uuu r uuu r uuu ruuuu r （1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C； （2）过点T(1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A

57、、B 两点，若在 x 轴上存在一点 y P H o T QE M B E(x 0 ,0)，使得ABE为等边三角形，求x 0 的值. A x 22 1515已知椭圆 x y 1(a b 0)的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 22ab 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量 AB与OM是共线向量 （1）求椭圆的离心率 e； （2）设 Q 是椭圆上任意一点， F 1、 F 2 分别是左、右焦点，求F 1QF2 的取值范围； 1616已知两点 M（-1，0） ，N（1，0）且点P 使MPMN,PM PN,NM NP成公差小于零的等 差数列， 【参考答案】【参考答案】 一. 1C .提示，设双曲线方程为(1x y)(1x y) ，将点(6,3)代入求出即可. 33 （）点 P 的轨迹是什么曲线？ （）