第九章多元函数微分法及其应用(三峡大学高等数学教案)

1、第九章第九章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】【教学目标与要求】 1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念， 会求全微分， 了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函

2、数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极 值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大 值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】【教学难点】 1、 二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、

3、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、 拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】【教学课时分配】 (18 (18 学时学时) ) 第 1 次课第 2 次课2第 3 次课3 第 4 次课4第 5 次课5第 6 次课6 第 7 次课7第 8 次课8第 9 次课习题课 【参考书】【参考书】 1同济大学数学系.高等数学（下），第五版.高等教育出版社. 2 同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育出版社. 3 同济大学数学系.高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教育出版社 1 / 43 9 9 1 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、平面

4、点集一、平面点集 n n 维空间维空间 1 1区域区域 由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P 与有序二元实数 组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R R2(x y) yR R就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作 (x y)| (x y)具有性质 P 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 (x y)| x22r2 如果我们以点 P 表示(x y) 以表示点 P 到原点 O 的距

5、离 那么集合 C 可表成 r 邻域邻域 设 P0(x0 y0)是平面上的一个点是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于的点 P (x y)的全体 称为点 P0的邻域 记为 U (P0 即 22U(P 0, )P|PP 0 |或U(P 0, )(x, y)| (xx0) (yy0) 邻域的几何意义邻域的几何意义 U (P0)表示平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 0 为半径的圆的内部的点P (x y) 的全体 点 P0的去心邻域 记作U(P 0, ) 即 U(P 0, )P|0|P 0P| 注注 如果不需要强调邻域的半径 则用U (P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作 U(P

6、 0) 点与点集之间的关系点与点集之间的关系 任意一点 PR R2与任意一个点集 ER R2之间必有以下三种关系中的一种 (1)(1)内点内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内点 (2)(2)外点外点如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P)E则称 P 为 E 的外点 (3)(3)边界点边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称 P点为E 的边 点 E 的边界点的全体称为 E 的边界边界记作记作E E E 的内点必属于 EE 的外点必定不属于E而 E 的边界点可能属于E也可能不属于 E 2 / 43 聚点聚点如果对

7、于任意给定的0点 P 的去心邻域U(P,)内总有 E 中的点则称 P 是 E 的聚点 由聚点的定义可知点集 E 的聚点 P 本身可以属于 E也可能不属于 E 例如设平面点集 E(xy)|1x2y22 满足 1x2y22 的一切点(xy)都是 E 的内点满足 x2y21 的一切点(xy)都是 E 的边界点 它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E 以及它的界边E 上的一切点都是 E 的聚点 开集开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集闭集如果点集的余集 Ec为开集则称 E 为闭集 开集的例子 (x y)|1x220 h0内取定一对值(r h)时

8、 V 对应的值就随之确定 例例 2 2 一定量的理想气体的压强p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 3 / 43 p RT V 其中 R 为常数 这里 当 V、 T 在集合(V ) | V0 T0内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确 定 定义定义 1 1设 D 是 R R2的一个非空子集称映射 fDR R 为定义在 D 上的二元函数通常记 为 (x y)(x y)D (或(P)PD) 其中点集 D 称为该函数的定义域该函数的定义域x x y y 称为自变量称为自变量z z 称为因变量称为因变量 上述定义中与自变量x、 y的一对值(xy)相对应的因变量z的值也称为f在点(xy)

9、处的函数值记作 f(xy)即 zf(xy) 值域值域 f(D) (x y) (x y)D 函数的其它符号 (x y) (x y)等 类似地可定义三元函数uf(xyz)(xyz)D 以及三元以上的函数 一般地把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间内的点集D映射 fDR R 就称为定 义在 D 上的 n 元函数通常记为 uf(x1 x2 )(x1 x2 )D 或简记为 uf(x x)x x(x1 x2 )D 也可记为 uf(P)P(x1 x2 )D 关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 (x x)时 就以使这个算式有意 义的变元 x x 的值所组成的点集为这个多元函数的自

10、然定义域因而对这类函数它的定义 域不再特别标出例如 函数()的定义域为(x y)0(无界开区域) 函数(x22)的定义域为(x y)221(有界闭区域) 二元函数的图形 点集(x y z)(x y) (x y)D称为二元函数(x y)的图形 二元函数的图形是 一张曲面 三三 多元函数的极限多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接 近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义定义 2 2 ：设二元函数 f(P)f(xy)的定义域为 DP0(x0 y0)是 D 的聚点 如

11、果存在常数 A对于任意给定的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P都有 0, )时 (P)(xy) 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 (x,y)(x0,y0) limf(x,y) A 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) 4 / 43 也记作也记作lim f(P) A或 f(P)A(PP0) PP0 上述定义的极限也称为二重极限 例例 4. 4. 设f(x,y)(x2y2)sin 证因为 | f(x,y)0|(x2y2)sin 1 求证limf(x,y)0 (x,y)(0,0) x y22 1 0|x2y2|sin 1 |x2y2 x

12、2y2x2y2 22可见 0 取 则当0 (x0) (y0) (x 因此 必须注意必须注意 y)0| 即P(x,y)DU(O,)时 总有 (x, y)(0,0) limf (x,y) 0 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论讨论 xy x2y20 函数f (x,y)x2y2在点(0 0)有无极限？ 22 0 x y 0 提示提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 (x,y)(0,0) 0)时 x0 limf (x,y)lim f (x,0)lim00 x0 当点

13、 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 (x,y)(0,0) 0)时 y0y0 limf (x,y)lim f (0, y)lim00 当点 P (x y)沿直线有 2xykx limlim 22 2 k 2 22 (x,y)(0,0) x y x0 x k x 1k ykx 因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似 例例 5 5 求 sin(xy) x (x,y)(0,2) lim 5 / 43 解 sin(xy)sin(xy)sin(xy) limy122limylim xy (x,y)(0,2)(x

14、,y)(0,2) xxy (x,y)(0,2)(x,y)(0,2) lim 四四 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义 3 3 设二元函数 f(P) (x y)的定义域为 D (x,y)(x0,y0) P0(x0 y0)为 D 的聚点且 P0D 如果 limf (x,y) f (x0,y0) 则称函数称函数 f f ( (x x y y) )在点在点 P P0 0( (x x0 0 y y0 0) )连续连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续那么就称函数 f (x y)在 D 上连续或者称 f (x y) 是 D 上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数

15、f(P)上去 例例 6 6 设 f() x证明 f(xy)是 R R2上的连续函数 证 设 P0(x0 y0) R R20由于 x 在 x0处连续故0当x0|时有 x x0| 以上述作 P0的邻域 U(P0)则当 P(xy)U(P0)时显然 (xy)f(x0y0)| x x0| 即 f(xy) x 在点 P0(x0 y0) 连续由 P0的任意性知x 作为 xy 的二元函数在R R2上连续 类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各 自的定义域内都是连续的 定义定义 4 4 设函数 f(xy)的定义域为 DP0(x0y0)是 D 的聚点如果函数 f(xy)在点 P0

16、(x0y0)不连续则称 P0(x0 y0)为函数 f(xy)的间断点 例如 xy x2y20 函数f (x,y)x2y2 22 0 x y 0 其定义域DR R2O(00)是 D的聚点f(x 点 O(00)是该函数的一个间断点 又如函数zsin y)当(xy)(00)时的极限不存在所以 y)2y21 1 x2y21 其定义域为D(xy)2y21圆周C(x 上的点都是 D 的聚点而 f(xy)在 C 上没有定义当然 f(xy)在 C 上各点都不连续所 以圆周 C 上各点都是该函数的间断点 注注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明多元连续函数的和、 差、 积仍为连续函数连续函数的商在分

17、母不为零处仍连 续多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而 6 / 43 得到的 xx2y2 例如 1y2 () ex2y2z2都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或 闭区域 例例 7 7 求 一般地一般地求lim f(P)时如果 f(P)是初等函数且 P0是 f(P)的定义域的内点则 f(P) PP 0 xy (x,y)(1,2) xy lim 在点 P0处连续于是 lim f (

18、P) f (P 0) PP 0 例 8 求 (x,y)(0,0) lim xy11 xy 五、多元连续函数的性质五、多元连续函数的性质 性质性质1 (1 (有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理) )在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值 性质1就是说若f(P)在有界闭区域D上连续则必定存在常数M0使得对一切PD 有(P)|M且存在 P1、P 2D 使得 f(P1)f(P)Df(P2)f(P)D 性质性质 2 2 ( (介值定理介值定理) ) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任 何值 小结小结 1. 区域的概念； 2

19、. 多元函数的定义； 3. 多元函数的极限及其求解； 4. 多元函数的连续性。 教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意区域的定义和多元函数的定义， 多元函数的极限和连续性的理解是本节 的重点，要结合实例，反复讲解。 师生活动设计师生活动设计 课后习题：7，8，9 讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计 作业作业P63: 5（2） （4） （6） ，6（2） （3） （5） （6） 7 / 43 9 9 2 2偏导数偏导数 一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x

20、的一元函数 这 函数对 x 的导数 就称为二元函数(x y)对于 x 的偏导数 定义定义设函数(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量x 时 相应地函数有增量 f(x0 x y0)f(x0 y0) 如果极限 x0 lim f(x0 x,y0) f(x0,y0) x 存在 则称此极限为函数(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作 fz xx0 xx z x yy0 x yy 0 0 x 例如 xx0 yy0 或fx(x0,y0) f x(x0,y0) lim x0 f(x0 x,y0) f(x0,y0) x 类似地 函数(x y)在

21、点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为 y0 lim f(x0,y0y) f(x0,y0) y 记作 fz x0 xx0 z y y x y yy0yy0 xx0 yy0 或(x0 y0) 偏导函数偏导函数 如果函数(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数 就是 x、y 的函数 它就称为函数(x y)对自变量x的偏导函数 记作 z f z 或f (x,y) xx xx f(xx,y) f(x,y) 偏导函数的定义式 fx(x,y) lim x x0 类似地 可定义函数(x y)对 y 的偏导函数 记为 8 / 43 z f 或f (x,y) y yy

22、y0 偏导函数的定义式 f y(x,y) lim 讨论讨论 f(x,yy) f(x,y) y 下列求偏导数的方法是否正确？ yy0 fx(x0,y0) fx(x,y) xx0 fx(x0,y0) f y(x0,y0) fy(x,y) xx0 yy0 d f(x ,y) d f(x,y )f (x ,y ) y0000 xx0 yy0 dydx yz)在点(xyz)偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x 处对 x 的偏导数定义为 fx(x,y,z) lim 其中(xy x0 f(xx,y,z) f(x,y,z) x y它们的求法也仍旧是一元函数的微分z)是函数uf(xz)的定义

23、域的内点 法问题 例例 1 1 求 23y2在点(1 2)处的偏导数 例例 2 2 求 2 2y 的偏导数 例例 3 3 设z xy(x0,x1) 求证 x z 1 z 2z y xlnx y 例例 4 4 求r x2y2z2的偏导数 例例 5 5 已知理想气体的状态方程为(R 为常数) 求证 p V T 1 V T p RT p RT VVV2 RT V R V pTp pVTV T pRR 证 因为p 所以 p V TR V RT 1 RT V T ppVV2p R 例例 5 5 说明的问题说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商不能看作分子分

24、母之商 二元函数(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 9 / 43 (x0 y0)f(x y0)x是截线(x y0)在点 M0处切线 Tx对 x 轴的斜率 (x0 y0) f(x0 y)y是截线(x0 y)在点 M0处切线 Ty对 y 轴的斜率 偏导数与连续性偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点 连续 例如 xy x2y20 f (x,y)x2y2 22 0 x y 0 在点(0 0)有 (0 0)0 (0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续 提示提示 f (0, y)0f (x,0)0 fx(0,0) d f(x,0)0f (0,0)

25、d f(0, y)0 y dydx 0)时有 x0 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 (x,y)(0,0) limf (x,y)lim f (x,0)lim00 x0 当点 P(x y)沿直线趋于点(00)时有 xykx2 k lim (x,y)(0,0) x2y2 x0 x2k2x2 1k2 lim ykx 因此 (x,y)(0,0) limf (x,y)不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续 类似地 可定义函数(x y)对 y 的偏导函数 记为 z f 或f (x,y) y yy y0 偏导函数的定义式 f y(x,y) lim 二二 高阶偏导数高阶偏导数 f(x,yy)

26、f(x,y) y 设函数(x y)在区域 D 内具有偏导数 z f (x,y) z f (x,y) y y x x 那么在 D 内(x y)、 (x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数(x y) 的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 10 / 43 如果函数(x y)在区域 D 内的偏导数(x y)、(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数 22 z z z () z fxy(x,y)() 2 fxx(x,y) y xxyx xx 22z zz () z f yy

27、(x,y) () f yx(x,y) y yy2x yyx 22z zz () f xy(x,y) () z f yx(x,y) 称为混合偏导数其中 y xxyx yyx (z) 2z (z) 2z (z) 2z (z) 2z x xx2y xxyx yyxy yy2 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 2223 z z z z 例例 6 6 设 y 3 1 求 2 、 3 、和 yxxyxx 3 23 22 z z 由例 6 观察到的问题 yxxy 22 z z 在区域 D 内连续 那么在该区域定理定理 如果函数(x y)的两个二阶混合偏导数及 yx

28、xy 内这两个二阶混合偏导数必相等 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数 例例 7 7 验证函数zln x2y2满足方程 2z 2z 0 x2y2 证 因为zln x2y2ln(x2y2) 所以 1 2 z x z y yx2y2xx2y2 11 / 43 2(x2y2)x2xy2x2 z 22 2 x2(x2y2)2(x y ) 2(x2y2)y2yx2y2 z 22 2 y2(x2y2)2(x y ) 22x2y2y2x2 z z 0 因此 2 2 2xy(x y2)2(x2y2)2 222 u u u1 例例 8 8证明函数u满足方程 2 2 2 0 rxyz 其中r x2y2z2 u

29、1 r 1 x x xr2xr2rr3 22 u13x r13x 3 4 3 5 x2rrxrr 证 2223y2 u1 u13z 3 5 2 3 5 同理 y2rrzrr 22223y2 u u u13x113z2 因此 2 2 2 ( 3 5 )( 3 5 )( 3 5 ) xyzrrrrrr 23(x2 y2z2)333r 3 3 5 0 rr5rr r3x (r3)r3x3r2 r 2 u ( x ) xx 提示 2366xxrrr 小结小结 1.偏导数的概念及有关结论：定义，记号，几何意义，偏导数的存在与连续性； 2.偏导数的计算方法：求导的先后顺序。 教学方式及教学过程中应注意的问

30、题教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意偏导数的定义以及偏导数的求法， 特别是求导先后顺序问题是本节的重 点，要结合实例，反复讲解。 师生活动设计师生活动设计 1.设z f (u)，方程u (u) x y p(t)dt确定u是x, y的函数，其中f (u),(u)可微， 12 / 43 p(t), (u) 连续，且(u) 1，求p(y) 2.课后习题：5，6 zz p(x) 。 xy 讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计 作业作业P69: 1（4） （6） （8）,4，6（3） ，8 9 9 3 3 全微分及其应用全微分及其应用 一、全微分的定义一、全微分的定义 根据一元函数微分

31、学中增量与微分的关系 有 偏增量与偏微分偏增量与偏微分 f( y)(x y)(x y) f( y)(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y)为函数对 x 的偏微分 f(x )(x y)(x y) f(x )(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y)为函数对 y 的偏微分 全增量全增量 f( )(x y) 计算全增量比较复杂我们希望用、的线性函数来近似代替之 定义定义如果函数(x y)在点(x y)的全增量 f( )(x y) 可表示为 zAxByo()( (x)2(y)2) 其中 A、B 不依赖于、 而仅与 x、y 有关 则称函数(x y)在点(x y)可微分 而称为函数(x

32、 y)在点 13 / 43 (x y)的全微分 记作 即 如果函数在区域D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分 可微与连续可微与连续 可微必连续可微必连续 但偏导数存在不一定连续但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果 zf(x y)在点(x y)可微 则 f( )(x y)() 于是limz0 0 从而 (x,y)(0,0) limf (xx,yy) limf (x,y)z f (x,y) 0 因此函数 zf(x y)在点(x y)处连续 定理定理 1(1(必要条件必要条件) ) 如果函数(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数 (x y)的全微分为 dz z 、z必定

33、存在 且函数(x y)在点 xy z x z y xy 证 设函数(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点P ( ) 有() 特别当 0 时有 f ( y)(x y)() 上式两边各除以 再令0 而取极限 就得 f(xx,y) f(x,y) A x x0 z 存在 且 z A 同理可证偏导数 z 存在 且 z B 所以 从而偏导数 yyxx zz dzxy xy lim 简要证明 设函数(x y)在点(x y)可微分 于是有() 特别当 0 时有 f ( y)(x y)() 上式两边各除以 再令0 而取极限 就得 f(xx,y) f(x,y)o(|x|) l

34、imA A xx x0 x0 z 存在 且 z A 同理 z 存在 且 z B 所以dz z x z y 从而 xyyyxx z 、 z 存在是可微分的必要条件 但不是充分条件偏导数 xy lim 14 / 43 例如 xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(0 0)处虽然有 f x(0 0)0 及 fy(0 0)0 但函数在 0 x2y20 (0 0)不可微分 即z(0 0)x(0 0)y不是较高阶的无穷小 这是因为当(x y)沿直线 yx 趋于(0 0)时 zfx(0,0)x f y(0,0)y xyxx 1 0 (x)2(y)2(x)2(x)22 定理定理 2(2(充分条件充分条

35、件) ) 如果函数(x y)的偏导数 z 、 z 在点(x y)连续 则函数在该点可微分 xy 定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯 、分别记作、 并分别称为自变量的微分 则函数 zf(x y)的全微分可写作 dz z dx z dy xy 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠 加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 (x y z) 的全微分为 du u dx u dy u dz xyz 例例 1 1 计算函数计算函数 2 2y y2 2的全微分 的全微分 例例 2 2 计算函数在点(2 1)处的全微分 例例 3 3 计算函数

36、uxsin y yze 的全微分 2 小结小结 1.全微分的定义； 2. 可微、可导、连续性之间的关系。 教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意全微分的定义， 可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点，要结合 实例，反复讲解。 师生活动设计师生活动设计 1.函数z f (x, y)在(x0, y0)可微的充分条件是（） (A) f (x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 连续 ; 15 / 43 (B) f x (x, y), f y (x, y)在 (x 0 ,在y 0( )x0, y0)的某领域内存在； (C) z f x (x, y)x

37、f y (x, y)y 当 (x)2(y)20 时是无穷小量； 时是无穷小量(D) z f x (x, y)x f y (x, y)y (x) (y) 22 当 (x)2(y)20 2.课后习题：5 讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计 作业作业P75: 1（1） （3） ，3 9 9 4 4多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 dz ？ dt z 和 z ？设(u v) 而(x y) (x y) 如何求 xy 设(u v) 而(t) (t) 如何求 1 1复合函数的中间变量均为一元函数的情形复合函数的中间变量均为一元函数的情形 v)具有连续偏导数 则复合函定理定理1 1 如果函数(t

38、)及(t)都在点t可导 函数(u v)在对应点(u 数(t)(t)在点 t 可导 且有 dz z du z dv dtu dtv dt 简要证明 1 因为(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有 dz z du z dv uv 又因为(t)及(t)都可导 因而可微 即有 du 代入上式得 dz du dtdv dv dt dtdt z du dt z dv dt (z du z dv)dt u dtv dtu dtv dt 16 / 43 从而 dz z du z dv dtu dtv dt 简要证明 2 当 t 取得增量时 u、 v 及 z 相应地也取得增量、 及 由(u v)、 (

39、t)及(t)的可微性 有 z u z vo() z duto(t) z dvto(t)o() uvu dtv dt z du z dv)t(z z)o(t)o( )( u dtv dtuv z z du z dv ( z z ) o(t) o() tu dtv dtuvtt z 令0 上式两边取极限 即得 dz z du z dv dtu dtv dt o()o()(u)2(v)2 注lim lim0 (du)2(dv)20 tdtdt t0 t t0 推广推广 设 (u v w) (t) (t) (t) 则(t)(t)(t)对 t 的导数为 上述 dz z du z dv z dw dtu

40、dtv dtw dt 2 2 dz 称为全导数 dt 复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形 y)v(xy)都在点(xy)具有对 x 及 y 的偏导数函数 y)的两个偏v)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数 (x y)(x y)在点(x 定理定理 2 2 如果函数 u(x zf(u 导数存在且有 z z u z v z z u z v xu xv xyu yv y 推广 设(u v w ) (x y) (x y) (x y) 则 讨论讨论 z z u z v z w z z u z v z w xu xv xw xyu yv yw y v)u(xy)v(

41、y)则(1)设 zf(u 提示 z ？ z ？ yx z z u z dv yu yv dy z ？ z ？ (2)设(u x y) 且(x y) 则 yx z z u xu x 17 / 43 z f u f z f u f xu xxyu yy z 与 f 是不同的 z 是把复合函数zf(xy)xy中的y 看作不变而对x 的偏这里 xxx fz 与 f 也朋类似的区导数是把 f(uxy)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数 yyx 提示 别 3 3复合函数的中间变量既有一元函数复合函数的中间变量既有一元函数 定理定理 3 3 如果函数 u(x 导 点(x 函数 zf(u y)的两

42、个偏导数存在 y)在点(x 且有 v)在对应点(u 又有多元函数的情形又有多元函数的情形 则复合函数 zf(xy)(y)在 y)具有对 x 及对 y 的偏导数函数 v(y)在点 y 可 v)具有连续偏导数 z z u z z u z dv yu yv dyxu x z 和 z 例例 1 1 设 v 求 xy 2 例例 2 2 设u f (x,y,z)ex y2z2 而zx2sin y 求 u 和 u xy 例例 3 3 设 t 而 ut 求全导数 dz dt 2 w w 例例 4 4 设( ) f 具有二阶连续偏导数 求及 xxz 例例 5 5 设(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转

43、换成极坐标系中的形式 22 u uuu 22 (1)( ) () (2) 2 2 xyxy 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 (x y)( 其中 )( ) x2y2arctan y x 应用复合函数求导法则 得 u u u u x u y u cos u ysin xxx 2 u u u u y u x u sin u cos yyy 2 两式平方后相加 得 18 / 43 (u)2(u)2(u)2 1 ( u )2 xy2 再求二阶偏导数 得 2u (u) (u) x2xxxx (ucos u sin )cos (ucos u sin )sin 2222 u u sincos u sin

44、2cos2 2 22 2u 2sincosu sin 2 同理可得 22222 u u u sincos u cos 2sin2 2y222 2u 2sincosu cos 2 两式相加 得 2u 2u 2u 1 1 2u x2y2222 21u () u 2 2 全微分形式不变性 设(u v)具有连续偏导数 则有全微分 dz z du z dv uv 如果(u v)具有连续偏导数 而(x y) (x y)也具有连续偏导数 则 dz z dx z dy xy 19 / 43 z u z v)dx(z u z v)dy u xv xu yv y z uu dy) z (vdx v dy)(dx

45、u xyv xy ( z du z dv uv 由此可见 无论 z 是自变量u、 v 的函数或中间变量u、 v 的函数 它的全微分形式是一样的 这 个性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性 例例 6 6 设vy 利用全微分形式不变性求全微分 解dz z du z dv eev uv ev(y) ev() (ev)(ev ) y ()() ex ()() 小结小结 1.复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导” ； 2. 全微分形式不变性。 教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意复合函数求导的链式法则 “分段用乘， 分叉用加，

46、 单路全导， 叉路偏导” ， 全微分形式不变性，要结合实例，反复讲解。 师生活动设计师生活动设计 1. 已知f (x, y)| yx21， f 1 (x, y) | yx2 2x，求f 2 (x, y) | yx2 2. 设函数z f (x, y)在点(1,1)处可微，且f (1,1) 1， ff | (1,1) 2，| (1,1) 3， yx (x) f (x, f (x,x)，求 d 3(x)| x1 dx 讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计 作业作业P82: 2，4，6，9，10 20 / 43 9 9 5 5 隐函数的求导法则隐函数的求导法则 一、一个方程的情形一、一个方程的情形 隐

47、函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 (x0 y0)0 则方程 F(x y)0 在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x) 它满足条件 y0(x0) 并有 Fdy x dxFy 求导公式证明 将(x)代入 F(x y)0 得恒等式 F(x f(x)0 等式两边对 x 求导得 F F dy 0 xy dx 由于 F y 连续 且(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同 0 于是得 Fdy x dxFy 例例 1 1 验证方程 x2210 在点(0 1)

48、的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0 时 1 的隐 函数(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在0 的值 解 设F(x y)221 则2x 2y F(0 1)0 (0 1)20 因此由定理1可知 方程x2210在点(0 1) 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0 时 1 的隐函数(x) Fdydy 0 x x dxFyydx x0 x) yx( d2yyxyyy2x2 2 1 3223dxyyyy d2y 1 dx2 x0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y)0 可以确定一个一元隐函数 一个三元方程 F(x y z)0 可以确定一个二元隐函数 21 / 43

49、隐函数存在定理隐函数存在定理 2 2 设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0)0 (x0 y0 z0)0 则方程 F(x y z)0 在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数 的函数(x y) 它满足条件 z0(x0 y0) 并有 Fy Fx zz FzxFzy 公式的证明公式的证明 将(x y)代入 F(x y z)0 得 F(x y f(x y)0 将上式两端分别对 x 和 y 求导 得 F x F z z 0F F z 0 yz yx 因为 F z 连续且 F z(x0 y0 z0)0 所

50、以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使 Fz0 于是得 z Fx z Fy FzxFzy 222 2 z 例例 2. 2. 设 x y z 4z0 求 2 x 解设 F(x y z) x2224z 则 2x 24 z Fx 2x x xFz2z42z 2 (2x)x z (2x)x( x ) (2x)2x2 z x 2z x2(2z)2(2z)2(2z)3 二、方程组的情形二、方程组的情形 在一定条件下 由个方程组 F(x y u v)0 G(x y u v)0 可以确定一对二元函数(x y) (x y) 例如方程 0 和 1 可以确定两个二元函数u yx v 222x yx y2 yx

51、y x v y x2 y2x2 y2 x2 y2 事实上0 v uyuxu1u 如何根据原方程组求u v 的偏导数？ 隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 x y x y 22 / 43 设 F(xyuv)、G(xy y0 u u0 v)在点 P(x0 v0)0 y0u0 y0 v0)的某一邻域内具有对 u0v0)0且偏导数各个变量的连续偏导数又 F(x0 所组成的函数行列式 G(x0 F (F,G) u J (u,v) G u 在点P(x0 在点 P(x0 y0 y0 u0 u0 F v G v yuv)0G(xyuv)0v0)不等于零则方程组F(x v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且

52、具有连续偏导数的函数 uu(x y0)v0v(x0y0)并有y)vv(xy)它们满足条件 u0u(x0 F x u 1 (F,G) Gx xJ (x,v)F u Gu F v Gv F v Gv F u v 1 (F,G) Gu xJ (u,x)F u Gu F x Gx F v Gv u 1 (F,G) yJ (y,v)F u F v GuGv FyF v GyGv v 1 (F,G) yJ (u,y)F u F v GuGv F u Fy GuGy 隐函数的偏导数隐函数的偏导数: : 设方程组 F(x y u v)0 G(x y u v)0 确定一对具有连续偏导数的 二元函数(x y) (

53、x y) 则 F Fu F v 0, xu x vx uv 偏导数由方程组确定 uv xx GxG u Gv0. xx F Fu F v 0, yuyvy uv 偏导数由方程组确定 uvyy GyG u Gv0. yy uv u 和 v 例例 3 3 设 0 1 求 xxyy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于 u 和 v 的方程组 xx 23 / 43 uxu y v 0 xx uv y vx0 x x 当 x220 时 解之得 u xu yv v yuxv xx2 y2xx2 y2 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于 u 和 v 的方程组 yy xu vy v 0 yy uv u

54、yx0 yy 当 x220 时 解之得 u xv yu v xu yv yx2 y2yx2 y2 例例 设函数(u v) (u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又 (1)证明方程组 yy(u,v) 在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(x y) (x y) (2)求反函数(x y) (x y)对 x y 的偏导数 解 (1)将方程组改写成下面的形式 G(x,y,u,v)yy(u,v)0 则按假设 J (x,y) 0 (u,v) xx(u,v) F(x,y,u,v)xx(u,v)0 (F,G)(x,y) 0. (u,v)(u,v) 由隐函

55、数存在定理 3 即得所要证的结论 (2)将方程组(7)所确定的反函数(x y)(x y)代入(7) 即得 y yu(x,y),v(x,y) 24 / 43 xxu(x,y),v(x,y) 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得 1 x u x v u xv x yy 0 u v u xv x 由于 J0 故可解得 同理 可得 u 1 y v 1 y xJ vxJ u u 1 x v 1 x yJ vyJ u 小结小结 1.隐函数（组）存在定理； 2. 隐函数（组）求导方法：方法（ 1）利用复合函数求导法则直接计算； （2）利用微分形式 不变性； （3）代公式。 教学方式及教学过程中应注意的问题教

56、学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意隐函数（组）存在定理和求导方法，要结合实例，反复讲解。 师生活动设计师生活动设计 1. 设函数u f (x, y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y y(x)及z z(x)分别由下列两式确 定：exy xy 2，ex xz 0 sintdu dt，求 。 tdx dz 。 dx 2.设y y(x)，z z(x)由方程z xf (x y)和F(x, y,z) 0所确定的函数，求 讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计 作业作业P89: 3，4，6，7，10（2） （4） 25 / 43 9 9 6 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用

57、 一一. . 一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数 x (t) 空间曲线的参数方程为：y (t)，t , z (t) 此方程也可以写成向量形式。若记 r xi yj zk，f (t) (t)i (t) j (t)k， 于是 r f (t)，t ,， 这就确定了一个从实数到向量的一个映射。 n 定义定义 1 1：设数集D R，则映射f : D R为一元向量值函数，记作 r f (t)，t D 其中数集 D 称为函数的定义域，t 称为自变量，r称为因变量。 在R中，f (t)可表示为： 3 f (t) f 1 (t)i f 2 (t) j f 3 (t)k，t D 或者 f (t) ( f

58、 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)，t D 下面研究向量值函数的极限，连续性，导数。 1. 1.向量值函数极限：向量值函数极限： 定义定义 2 2：设向量值函数f (t)在点t0的某一去心领域内有定义，若存在一个常向量r 0 ，对于 任意给定的正数，总存在正数，使得当 t 满足0 |t t 0 | 时，对应的函数值f (t)都满足 不等式 | f (t)r0| 则称常向量r 0 为向量值函数f (t)当t t0时的极限，记作 lim f (t) r 0 tt0 26 / 43 等价于等价于lim f (t) (lim f1(t),lim f 2 (t),lim f 3 (t) tt0tt0tt0 tt0 2. 2.向量值函数连续：向量值函数连续： 设向量值函数f (t)在点t0的某一领域内有定义， 若lim f (t) f (t0)， 则称向量值函数f (t) tt0 在点