CHP4[1].1 数学期望.ppt

1、第四章,数字特征与特征函数,第一节 数学期望,第二节 方差、相关系数、矩,第三节 母函数,第四节 特征函数,第五节 多元正态分布,数学期望,第一节,二、 连续型场合,一 、离散型场合,三、 一般场合,四、 随机变量函数的数学期望,五、 多维场合,六、数学期望的基本性质,注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，,设离散型随机变量X 的分布律为,简称期望或均值，记为 EX.,则称此级数的和为X 的数学期望。,即,其与 X 取值顺序无关。,定义1,一 、离散型场合,当级数 发散时，则说 的数学期望不存在。,定义中对级数要求绝对收敛是为了数学处理的方便。从直观上来讲，它也是合理的：因为诸 的顺序

2、对随机变量并不是本质，因而在数学期望的定义中就应允许任意改变 的次序而不影响其在收敛性及其和值，这在数学上就相当于要求级数绝对收敛。,数学期望反映了随机变量取值的中心趋势。,几种重要的离散型分布的期望,(1) （01）分布,(2) 二项分布,(3) 泊松分布,(4) 几何分布,例1,随机变量 取值 对应的 概率为 ，则由于 ，因此 它是概率分布，而且,但是,因此 的数学期望不存在。,从上面的例子可以看出，其中重要的离散型分布的参数都可由数学期望算得，因此它是一个重要的概念。,设连续型随机变量X 的概率密度为,为X 的数学期望。,3、定义2,如果,绝对收敛，则称,简称期望或均值，记为 E (X)

3、 .,即,4、几种常用连续型分布的期望,(1) 均匀分布,二 、连续型场合,(2) 指数分布,(3) 正态分布,(4) 柯西分布,由于,故数学期望不存在。,三 、一般场合,现在，我们希望找到一种适合一切随机变量的数学期望的定义，把离散型和连续型这两种情况作为特例。,若随机变量 的分布函数为 ，类似于连续型的场合，作很密的分割 ，则 落在 中的概率等于 ，因此,与以概率 取值 的离散型随机变量近似，而后者的数学期望为,注意到上式是斯蒂尔切斯积分 的渐近和式，这启示我们引进下面的定义。,定义3,若 的分布函数为 ，则定义,为 的数学期望。这里我们还是要求上述积分绝对收敛，否则数学期望不存在。,关于

4、斯蒂尔切斯积分 ，我们仅列举它的如下性质：,（1）当 为跳跃函数，在 具有跃度 时，上面的积分化为无穷级数,（2）当 存在导数 时，积分化为普通积分,（3）线性性质,（4）,（5）,（6）,若 ， 单调不减， ，则,四、随机变量函数的数学期望,定理,若 是一元博雷尔函数，而 ，则,即这两个积分种，若有一个存在，则另一个也存在，而且两者相等。,这个定理的证明要用到积分论，超出了本课程的范围。,这个定理很重要，因为：一方面，它消除了随机变量的数学期望定义种的所出现的表面矛盾；另一方面，在计算随机变量函数的数学期望时也带来很大的方便，我们无须先计算 的分布函数 再求其数学期望，而直接从 的分布函数

5、出发利用上式计算即可。,（*）,（*）式有着明显的几何解释：,离散型场合，公式（*）化为,连续型场合，若 具有密度函数 ，则,例2 （报童问题）,解,设某报童每日的潜在卖报数 服从参数为 的泊松分布。如果每卖出一份报可得报酬 ，卖不掉而退回则每份赔偿 。若某日该报童买进 份报，试求其期望所得，进一步求最佳的买进份数 。,若记其真正卖报数为 ，则 与 的关系为,这里 服从截尾泊松分布，即,记所得为 ，则 与 的关系如下,因而，期望所得为,这个问题的最终解决是当 给定后，求 使 达到极大，这是一个典型的最优化问题。,一般计算泊松分布的部分和可用下列公式,其数值可在数学表中查到。这个公式是埃尔兰分布

6、的一个应用，也可直接证明。,五、多维场合,可以把上面的结果推广到随机向量的场合。,若 的分布函数为 ，而 为 元博雷尔函数，则,特别地，,其中 是 的分布函数。,定义,随机向量 的数学期望为 ，其中,其中 是 的分布函数。,六、数学期望的基本性质,性质1,若 ，则 。特别地，,这里 是常数。,对任意常数 及 ，有,若几乎处处地有 ，则,性质的证明是显然的。,例3,求超几何分布的数学期望。,解,则,则 ，因此 。利用性质3得：,设想一个相应的不放回抽样， 次抽样中抽出的次品数 服从超几何分布：,令,定理 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );,证明: 设,（当Xi 独立时）,注意:该性质不是充要条件。,推广：,例1、二项分布,解：,则,而,，则,所以,，求E(X