整式与恒等变形-初中数学联赛题型解读系列(一)

1、联赛题型解读（一）整式与恒等变形 一、“整式与恒等变形”真题分值分析 在近五年初中数学联赛中代数的分值占到了 54%之多，考察的题目数量也在 7 至 9 道 左右。而代数的基础便是整式，其中乘法公式、因式分解以及恒等变形，为代数提供了丰富 的知识和技巧。 下面我们通过统计近 15 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对 整式的考察才会计入分值统计），帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。 总结这几年来初中数学联赛对整式的考察， 整式一般会考察 2 道题左右， 考察的分值最 高达到 39 分（2 道一试题外加 1 道二试题），而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟 随几年

2、的低峰，我们可以认为在接下来的一两年内，会在一试中进行 2 题左右的考察。 二、整式中的知识与技巧 整式为后续分式和根式提供了方向，代数式是方程的基础，方程是函数的基础，而整式 恒等变形的技巧贯穿了整个代数，可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。 整式中的知识大体来说包含了：乘法公式，因式分解及恒等变形，三个部分，这里简单 的介绍前两个部分的基础知识。 1. 乘法公式 这里介绍常用的八个乘法公式： （1） 平方差： 22 ababab； （2） 平方： 2 22 2abaabb； （3） 三元完全平方： 2 222 222abcabcabbcca； （4） 222 222 1 2 abca

3、bbccaabbcca ； （5） 和（差）的立方： 33 3333 3;3ababab abababab ab； 0 7 7 34 39 0 14 7 7 14 7 39 34 14 21 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 近15年整式考察分值 （6） 立方和（差）： 33223322 ;ababaabbababaabb； （7） 333222 3abcabcabcabcabbcca （8） 444222222 222abca bb cc aabcabcbcacab 2. 因式分解 简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取

4、公因式：上午+下午=（上+下）午； （2） 公式法： 6633332222 xyxyxyxyxyxxyyxxyy； （3） 分组分解法：axaybxbya xyb xyabxy； （4） 十字相乘:二次三项式 2 abxadbc xcdaxbcxd； （5） 双十字相乘： 选定两个二次三项式进行十字相乘； 分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: 42244224222222 2aa bbaa bba baabbaabb; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单； （8） 主元法：多字母的代数式，可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理

5、：多项式 f x，当x a 的时候 0f a ，则 f x有因式x a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于x yz、 、 的轮换式有因式x y ，则其有因式 xyyzzx 前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握， 后 2 种有兴趣有精力的学生可以选 择性的进行学习。 3. 恒等变形的常见技巧 （1） 因式分解； （2） 配方； （3） 消元、降次； （4） 轮换对称； （5） 配对. 三、联赛中整式的考察方式 1、结合绝对值 结合绝对值非负性以及整数的离散性。 【例1】 （2009 年联赛）如果实数, a b满足条件 2222 1,1221abababa ，则 ab_ A1 B2 C

6、3 D4 【解析】 【解析】 1.分情况讨论，可得 22 1221ababa 或 22 (12)21ababa 如果是第一种， 则 22 2bba ， 消去 a 可得 2 230bb ， 可得1b 或 3 2 经检验， 1,0ba 符合，所求结果为 1； 如果是第二种，则 22 4abba 因为去绝对值符号的时候有120ab ，即 21ab，而10b ，则设法凑出含有1b的形式因为 22 40aabb ，所以 2222 11 4() 22 aabbab，即 222 38(1)4aaba，所以8a或0a，因此 只能有0a ，和第一种情况是同一个解 2、不定方程 这类问题通常是考虑整数解的问题，经

7、常使用到因式分解，配方或者放缩。 【例2】 (2007 年竞赛)方程 323 652xxxyy的整数解, x y的个数是（ ） A.0 B.1 C.3 D.无穷多 【解析】 【解析】 选 A.原方程可变形为： 1231122x xxx xy yy，左边是 6 的 倍数，而右边不是 6 的倍数 3、整体降次 结合整体和降次的思想， 利用大除法等工具,近些年来这类题目更多的会结合根式和 分式的形式出现，这类题目我们会在分式和根式中再次介绍，目的是希望大家牢固的掌 握。 【例3】 （1998 年联赛）已知 2 10 xx ，那么代数式 3 21xx的值是_ 【解析】 【解析】 2。 32 21112

8、2xxxxx . 【例4】 (2008 年联赛)设 51 2 a ，则 5432 3 22aaaaa aa _。 【解析】 【解析】 2。 2 2 5135 1 22 aa ， 2 1aa， 3232 5432 32 22 22 aaaaaa aaaaa aaa aa 3333 2 2 21211 1(1 1)2 11 aaaa aa aaaaa 【例5】 （2011 年竞赛）设 53 2 x ，则代数式 (1)(2)(3)x xxx的值为（ ） A0 B1 C1 D2 【解析】 C。 535359 31 224 x x ， 51515 1 121 224 xx 4、配方与最值 配方法是我们初

9、中阶段最重要的方法之一，某些题目里面需要我们把完全平方公式 理解和运用的比较熟练，同时在近些年中，利用乘法公式的一些变形以及函数的最值的 使用也渐渐融入进来，所以这类问题综合性在增加，需要我们平时多留心积累经验。 （1） 配方与最值 【例6】 （2005 年竞赛）若 22 38946 +13Mxxyyxy( , x y是实数)，则M的值一定 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数 【解析】 【解析】 选 A. 22 22 42111384 38946 +1330 331133 y Mxxyyxyxy 【例7】 （2001 年联赛）求实数 , x y的值，使得 222 (1)(3)(26

10、)yxyxy达到最小 值 【解析】 【解析】 222 1326yxyxy 22 563302046xxyyxy 2 563032046xyxyy 22 2 33 535332046 55 xyyyy 2 2 36 5321 55 xyyy 22 3651 53 5566 xyy 当 3 30 5 5 0 6 xy x 时，上式取得最小值，此时 5 2 x ， 5 6 y ，最小值为 1 6 （2） 乘法公式与最值 【例8】 （2012 年联赛）已知实数ab、满足 22 1ab，则 44 aabb的最小值为（ ） A 1 8 B0 C1 D 9 8 【解析】 【解析】 B. 4422222222

11、 19 ()21 22() 48 aabbaba baba babab . 因为 22 2|1abab，所以 11 22 ab，从而 311 444 ab， 故 2 19 0() 416 ab，因此 2 199 02() 488 ab ，即 44 9 0 8 aabb. 因此 44 aabb 的最小值为 0，当 22 , 22 ab 或 22 , 22 ab 取得. 5、乘法公式的运用 （1） 乘法公式的直接使用 这类问题结构特征与常见的基本乘法公式明显一致， 直接使用即可， 当然我们需要 注意一些限制条件，比如分母，取等条件等等。 【例9】 （2004 年联赛） 已知0abc ， 且0abc

12、， 则代数式 222 abc bccaab 的值是 （ ） A3 B2 C1 D0 【解析】 【解析】 A。 333222 30abcabcabcabcabbcca， 所以 222333 3 abcabc bccaababc . 【例10】 （2002 年竞赛）已知19992000, 19992001,19992002axbxcx，则多项 式 222 +abcabbcca的值为（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 【解析】 【解析】 D。 222 222 11 1 143 22 abcabbccaabbcca 。 （2） 乘法公式的变形使用 通常是在在代数变形过程中的将某些充分必要步骤用其他

13、条件代替， 变成充分或者 必要条件，所以需要我们观察题目的某些条件如何使用。 【例11】 （2004 年联赛）实数a，b满足 33 31abab，则ab_. 【解析】 【解析】 3 3322 131110abababababab ， 所以10ab 或 222 22 1 1110 2 ababababab 所以1ab或1ab ，所以1ab或 2。 【例12】 （2007 年联赛）设 1 21 x ，a是x的小数部分，b是 x 的小数部分，则 33 3abab_ 【解析】 【解析】 不难知1ab，所以 3 3333 331abababab abab。 （3） 乘法公式与方程组 轮换对称型的方程组，

14、 通常会大量的使用到乘法公式， 当然期中少量问题可以使用 一元二次方程来解决，这里我们就简单介绍如何使用乘法公式来处理。 【例13】 （2010 年联赛） 已知实数 , x y满足方程组 33 19 1 xy xy ， ， 则 22 xy_ 【解析】 【解析】 3 33 3xyxyxy xy，所以6xy ，所以 2 22 213xyxyxy （4） 乘法公式与不定方程 有一类问题需要先用乘法公式将问题变形或者简化，然后转化为不定方程的问题。 【例14】 （2010 年联赛）设整数abc abc ， ，为三角形的三边长，满足： 222 13abcabacbc，求符合条件且周长不超过 30 的三角

15、形的个数。 【解析】 【解析】 由已知等式可得令abm，bcn，则a cmn ，其中m，n均为自然数. 于是，等式变为 222 ()26mnmn，即 22 13mnmn由于m，n均为自然 数，判断易知，使得等式成立的m，n只有两组： 3 1 m n ， ， 和 1 3. m n ， 当3m，1n 时，1bc，34abc 又a，b，c为三角形的三边长， 所以bca，即( 1)4ccc ，解得3c 又因为三角形的周长不超过 30， 即 (4)(1)30abcccc ，解得 25 3 c因此 25 3 3 c ，所以c可以取 值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形. 当1m，3n

16、 时，3bc，14abc 又a，b，c为三角形的三边长， 所以bca，即( 3)4ccc ，解得1c 又因为三角形的周长不超过 30， 即 (4)(3)30abcccc ，解得 23 3 c因此 23 1 3 c ， 所以c可以取值 2，3，4，5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形 综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为5611 整体来说：代数式的知识点及可考察的题型多，技巧性高，整体来说难度不大。联赛要 求学生对基本的数学思想有所了解和运用， 所以只要我们对基本都是技巧和数学思想做到熟 练，对基本的题型都有所了解，应付这类问题不是很大。 四、联赛备战规划 1、 梳理整式的知识点和技巧。 整理和回顾八大乘法公式及十种因式分解的方法，做到巩固和提高。 2、 梳理基本的整式的技巧和题型。 这里我们梳理的五大类整式的基本考法， 并非是整式的全部考法和技巧， 但是基本包含 了整式在联赛中的题型、 方法及数学思想， 同学们可以使用下列几本书进行更全面的梳 理和练习强化： 学理科到学而思学理科到学而思 学而思联赛团队学而思联赛团队 专题篇推荐使用： 真题分类实训八年级，南山著，湖北长江出版集团，整式章节 32 到 40 页； 奥林匹克小丛书初中卷 2，因式分解技巧，葛军著，华东