数学建模SARS

1、北京航空航天大学北京航空航天大学 大学生大学生数学建模选拔数学建模选拔赛赛 2011 年 6 月 10 日6 月 12 日 参赛题目 A B （在所选题目上打勾） 参赛队队长 参赛队员 1 参赛队员 2 姓名 学号 学院 专业专业 年级年级 电话 Email 北京航空航天大学教务处北京航空航天大学教务处 数学建模数学建模指导组指导组 摘要摘要 论文解决问题的方法：论文中涉及到得方法有 1：公式推导的方法（如： 问题二中的新建 SARS 模型）:2：线性与非线性拟合，其中非线性拟合包括傅里 叶拟合（运用于问题三中求解 2003 月份理论值） 、指数拟合（运用于问题二中高 峰前的模型建立） 、自定

2、义拟合（运用于问题二中高峰期后的模型建立） 、折线图 拟合（运用于旅游业影响度的分析） ；3：对比法（运用于问题二中后期模型的建 立和问题三中） ；4：利用软件 matlab 进行模拟和求解（1、2、3 均用到） ； 主体结构： 问题 1：对已有模型评价 问题 2：新模型的建立，对模型进行分析和预测，如何建立更好的模型，对 政府部门采取的措施的评价 问题 3：模型的建立，对经济的损失的估计，2003 年各月旅游影响度预算； 问题 4：给报刊的一封信； 结论： 问题 1： 虽然模型能说明一些问题， 但是模型缺少更合理和更连续的分析， k， L 应为随时间变化的函数，实用性不高。 问题 2：部门应

3、该在高峰前一半时间内采取措施，这样有助于对潜伏期人数 的降低。新建立的模型通过自然增长和后期等比下降能较为科学的说明一些问 题。但模型还能进一步进行改进（比如寻求更好的 L（t） 、K（t）模拟） 。政府 采取的措施力度还应该加大，表现为隔离时间应该提前（具体见后面分析） ； 问题 3：由于“非典”的影响，北京 2003 年旅游外汇收入减少了 16 亿美元； 通过（偏差比）的走势，我们分析出了 2003 年“非典”期间对海外游客的总体 影响趋势，计算可知，到 2003 年底，实际游客人数可恢复到理论值的 90%以上。 关键词：关键词：SARS 传播，隔离强度，matlab 拟合，预测对比 问题

4、重述问题重述 题目是关于 2003 年 SARS 传播蔓延趋势的问题。 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗 称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和 蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响， 我们从中得到了许多重要的 经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创 造条件的重要性。根据所给资料，需要解决以下问题。 （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明 怎样才

5、能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、 足够的信息的模 型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延 后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的 数据供参考。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预 测。附件 3 提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 1.1.已有模型评价已有模型评价 1) 从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较 好，但对后期情况的预测出现较大偏差.尽管预测准确程度不高，但是该模 型确实预测出了整

6、个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际 的.该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于 模型本身的含义.因为模型中的 实际代表的是时刻全社会的累计SARS患者， 而公布数据仅为同期的累计确诊 SARS 患者，显然前者是大于或等于后者的. 如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实 际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！ 2) L 参数表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度 和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所 的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率

7、的值。文中 广东、香港、北京现有的数据用的参数都为 L=20，该参数虽然具有统计意 义，但是随着疫情的发展，政府对疫情防治的力度应该会加大，这就导致 L 的减小，所以 L 应该也是一个随时间变化的量。 3) 一般认为，K 的数值随着 SARS 发展的 2 个阶段不断变化.在 SARS 初期，由 于潜伏期的存在和社会对 SARS 病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未 引起重视，故维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断 增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使 得到一定的控制，但效果不 明显，此处假设呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施 后，病毒传播的有效接触率明

8、显减少，可以认为按天数呈指数形式衰减；此 后进入衰减期，就维持在一个较低值附近.从开始至到高峰期间均采用同样 的 K 值。北京市非典期间实行隔离的时间 4 月 23 日，北京非典开始的时间 为：3 月 1 日，非典高峰期为 4 月 29 日。疫情开始时，市民和政府警惕性比 较低，K 值应该比较大，随着疫情严重程度的增加。政府力度开始加大，此 时 K、L 均有下降（至于怎么下降后面给出分析） ；高峰期以后 K、L 进一步 减小，最后到达一个定值。所以 K 值如果写为时间的函数效果会更好。 2.2.新新建模型分析建模型分析 2.12.1 模型假设：模型假设： 1) 由于非典开始时政府、人民警觉性较

9、低，疾病自然增长。 2) SARS 的持续期不太长，可以忽略在 SARS 持续期内的城市人口的自然出生率 和自然死亡率。 3) 病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用。 4) 不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究 SARS 疫情的发展过程。 5) 已患 SARS 者被确诊的概率是一致的， 未患 SARS 者被确诊的概率也是一致的。 6) 疑似病人中真正患病的患者所占比例相同。 2.22.2 变量定义变量定义 t 疫情进行的时间，单位为/天； f(t) 确诊的人数，单位为/个； w(t) 潜伏期的人数（真正染上 SARS 的人数） ，单位为/个； v(t) 疑似病例的人数，单位为/

10、个； 比例系数，表示初期人口增长的快慢； 等比数列的系数； 2.32.3 模型分析模型分析 根据假设 1，初期时，由于病毒自然增长，所以我们可以利用自然增长模型 进行求解。当 t=1 时即第一例病人发病（3 月 1 日） ，f(t)=1； 1t=59 时（59 为 高峰期的时间，即 4 月 29 日） ，有关系式： 积分（离散求和）得关系式： 进入高峰期后，由于政府采取各种政策，自然增长模型不再适用，我们采取 如下模型： 根据假设 5、6，我们将新增确诊人数分为如下两部分：一部分 来自前一天的疑似病人 v(t)，另一部分来自潜伏期的病人 w(t)，由假设中所占比 例相同，所以将比例系数分别设为

11、 k1、k2。写成表达式为： 而 v(t)和 w(t)之间的关系还可以用如下表达式来表示 ： 积分（采用离散求和）得（即疑似病人量与潜伏期的病人量成 正比）. 所以， 可以进一步简化为：。 根据后期每天新增的病人数为单调递减变化，我们将这一过程进行等比模 拟，以求得到能与实际符合较好的公式。所以，我们又得到一个关系式: 综上我们得到： （其中=w(0)意义为高峰开始时潜伏者的基数） 。 2.42.4 模型的建立与求解模型的建立与求解 通过上一步的分析，我们明确了递推关系式： 但是其中， 的值需要我们进一步分析与计算才能得到。 值的计算：通过对高峰前的数据进行拟合(程序见附件附件 1 1),我们

12、得到： 值的计算：通过对高峰时（即 4 月 29 日、30 日）的数据分析: 图 2. 1 题目数据截图 我们得出 =w(1)=f (1)+v (1)f (0) v (0)= 用 matlab 自定义函数拟合工具 cftool （详细见附件附件 2 2） 。得： 所以我们得到了新的 f (t)表达式： 图 2. 2 高峰前得拟合图形（f-t） 图 2.3 高峰后 图 2. 4 图 2. 5 29 日之后真实数据与拟合函数对比 2.52.5 对比与分析政府采取措施的影响对比与分析政府采取措施的影响 在 SARS 传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施 中， 隔离开始的时间

13、和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情 传播能造成怎样的影响，现分析如下：改变隔离开始的时间通过对 L 调整实现， 减小 L 的数值就提前了隔离时间；而改变隔离的强度通过对调整实现，减小 的 数值就提高了隔离的强度.以北京的隔离强度为 100%，分别在 100%和 80%强度 下用改进 SIR 模型预测不同控制措施下累计病例总数（人）和疫情持续总时间 （天）.结果如表 1： 隔离强度 提前 5 天（人/天） 延后 5 天（人/天） 提前 20 天 （人/天） 隔离强度 100% 1449/93 4140/112 334/69 隔离强度 80% 2157/172 5887/205

14、475/128 表 2. 1 不同隔离强度下结果 分析表 1，得出结论： 1) 在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小. 2) 在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短. 3) 累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短 主要由隔离强度的大小决定.所以， 有关部门采取的措施确实对疫情的控制起 到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离” 能有效缩短疫情持续时间. 3.分析“非典”对北京市旅游外汇收入影响分析“非典”对北京市旅游外汇收入影响 3.1 基本假设基本假设 1) “非典”所造成的海外游客减少量，每个

15、国家减少的游客与同期比例相同。 2) 由于“非典”情况严重，忽略其他造成游客减少的原因。 3) 对任意月份而言，该月海外游客数量占全年总游客数量的比重基本不变（在 正常情况下） 。 3.2 符号说明符号说明 T 年份（以 1997 年为第 1 年，依次累计） ； N(T) T 年海外游客总人数； t 月份； n(T,t) 第 T 年、t 月的游客人数； f(T,t) 第 T 年、t 月的游客人数占该年总人数的百分比； 2003 年 t 月旅游业影响系数（等于 2003 年实际与计算值之差占计 算值的比例） 3.3 模型模型分析分析求解求解 每个月份游客占该年游客总数的比例为： f(T,t)n(

16、T,t)N(T) 对 6 年中相同月份对应的数据进行拟合，根据拟合所得到的函数，计算第 7 年（即 2003 年）该月对应的游客比例。因为相同月份的 f(T,t)在一个小范围内波 动，故采用傅里叶函数进行拟合。 以 1 月为例过程如下： 图 3. 1 一月份比例拟合过程 代入拟合得到的参数值，令 x=7，可知 f(7,1)=0.0387 同样方法处理其他 11 个月的数据，所得结果如下： 表格 3. 1 拟合参数值 月份 w 1 0.04072 -0.00219 0.001518 0.0001639 -0.0008341 1.305 2 0.06942 -0.01314 -0.01771 0.

17、0028 0.003341 0.743 3 0.07066 0.001294 0.0001036 -0.001078 0.001828 0.6283 4 0.08856 0.002508 -0.002384 0.001945 -9.75e-006 2.69 5 0.09082 0.005325 -0.0007605 0.001163 -0.003486 1.257 6 0.09021 0.005342 -0.0008701 0.003959 -0.001183 1.216 7 0.08532 -0.002779 0.002784 0.003522 0.001138 2.859 8 -1.065

18、 1.114 1.164 0.02471 -0.4471 0.2305 9 0.1017 -0.00605 -0.005455 -0.00866 0.003798 1.426 10 0.1052 -0.01082 0.004981 0.003967 0.001735 1.146 11 0.09241 -0.003708 -0.01104 -0.009208 -0.007833 1.3 12 -0.3997 0.4461 -0.4935 0.02553 0.2001 -0.2519 经过分析，2 月数据拟合效果较差，因此直接对 2000 年到 2002 年进行线性 拟合（见附件附件 3） 。 分

19、别将x=7 代入得到 2003 年的各月百分比： 表格 3. 2 2003 各月游客数目占总数百分比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.0387 0.0918 0.07117 0.0913 0.096 0.0933 0.087 0.0808 0.0875 0.09947 0.0758 0.0744 预测“非典”不发生情况的游客人数，对 19972002 年的游客总数增长趋 势进行拟合，可知 N(7)=345.33.（见附件附件 3） 2003 年各月海外游客数目： 2003 年 t 月旅游业影响系数： 表格 3. 3 19972003 年游客数目分析统计表 1 月 2

20、月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 总计 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003（实际值） 2003（预计） 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 229.2 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 217.3 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 250.0 11.4 26

21、.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 292.7 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 297.0 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 326.1 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 185.1 14.6 31.1 24.5 30.7 30.8 29.3 27.8 33.8 33.2

22、 34.6 30.7 24.3 345.33 5.48 -45 -4.8 -62.2 -94.2 -91.1 -68.3 -52.1 -39.5 -28.0 -13.7 -10.3 -46.4 （2月份数据与网上公布不一致， 望核实。 因此后续分析适当忽略 2月数据。 ） 将 2003 年海外游客的实际数据和预测不受“非典”影响的数据进行对比， 分别作出游客人数月增长折线图和的变化折线图如下： 图 3. 2 2003 年各月游客数目理论与实际对比图 从图中可以看出，受“非典”影响，旅游业损失惨重，游客比预测减 少了 46.4%。查阅资料，20002002 年间，海外游客人均外汇支出在 1000

23、 美元上下浮动。以这三年的平均值 1006 美元作为 2003 年游客的人均外汇 支出，则 2003 年，由于游客人数剧减造成的外汇损失为： 图 3. 3 “非典”对海外游客的总体影响趋势(忽略 2 月) 上图表示的是“非典”造成的影响，从图中可以看出，曲线下降很急，但上 升很缓慢，由此可见“非典”对经济造成了很大影响，恢复需要时间。计算可知， 到 2003 年底，实际游客人数可恢复到理论值的 90%以上。 图 3. 4 加入 2 月份数据的影响趋势 4.写给当地报刊的俗短文写给当地报刊的俗短文 亲爱的报刊员： 只有依靠科学的分析，建立合理的传染模型，才能真正战胜疫情。现今社 会， 随着物质文

24、化和人民生活水平的逐渐提高，健康成了人们日渐关心的重要话 题之一。然而，随着人口的快速递增城市的飞速发展，社会地理环境日渐恶 化传染病这个阴魂不散的恶魔始终盘旋在地球之上， 时刻威胁着人类的自由 发展： 对全球经济的发展和世界人民的生活带来了很大的负面影响，同时对人们 的身心健康也创成巨大的伤害， 因此我们依靠科学对传染病的统计分析和定量研 究已经刻不容缓。 通过建模专家在建模方面的努力我们确实战胜了很多疾病，例如：在传染 前期， 就已经正确预测和估计了整个传染病的走势和发展规律，对于高峰期的到 来的估计和持续时间的估计为政府和决策者制定相关政策以参照依据， 给医疗工 作者的工作以具体目标，也

25、使得人民了解 SARS，消除不必要的恐慌情绪。在传 染后期，又开始总结经验教训，对所有数据统计分析，掌握其传播规律，建立数 学模型。为病情的反复和其他传染病的传播规律研究提供参考，以预备和防治下 一次传染病的来临。 数学建模的实质就是：根据已有的传染病数据资料运用数学工具对以后可 能出现的传染病进行数学建模，从而准确科学地预测和有效的控制。这无论从科 学上讲还是经济上讲都是最具实际意义的因为我们根本不可能做人类的传 染病试验，在动物中开展，那似乎也不太现实。对此，只要我们新闻媒体等各宣 传部门能够正确地把握信息、舆论的导向，及时地向人民宣传传染病知识，我们 以后再也不会因突发的疫情而手忙脚乱，而是有条不紊的开展各项防治并举措 施，从而一举消灭病魔！传染病将不再可怕！依据我们建立的数学模型，采取有 效的手段严格控制恐慌的发生，把经济损失减小到最低限度，这对维持祖国和全 球经济稳定和世界和平，人类的文明开化都是大有裨益的，通过模型的建立我们 将人民的生命安全隐患降到最低， 让经济损失降到最低， 这都是具有重要意义的。 高工建模小组 2011/06/12 附件附件 1 1 f=zeros(1,59); f(1)=1; for t=1:59 if t=1 f(t)=1; elseif t x=1:59; plot(x,f); f=zeros(1,59); fo