第一章 基本概念.ppt

1、代数是慷慨的，它提供给人们的 常常比人们要求的还要多. 达朗贝尔,课程名称：高等代数 课程性质：专业基础课 使用教材：霍元极、寇福来编著 高等代数 出 版 社：北京师范大学出版社 主讲教师：寇福来,关于代数方程求解的历程,用配方法解二次方程早在古代巴比伦（公元前18491595年）就已经知道了. 三次方程的求根公式最先由意大利数学家卡尔达诺(Cardano Jerome,15011576) 得到，并于1545年刊登在卡尔达诺出版的著作大法中. 四次方程的求根公式由意大利数学家费拉里(Lodovico Ferrali,15221565）给出，也发表在卡尔达诺的著作大法中.,拉格郎日（Lagran

2、ge) 法，1770，“关于代数方程解法的思考”（文中指出：用代数运算解一般的高次方程 看来是不可能的. 阿贝尔（Abel，18021829） 挪威 ，1824，“五次及其以上的代数方程没有根式解（公式解）. 伽罗瓦（Evariste Galois,18111832）法， 1831，“方程可用根式解的条件”.,第一章 预备知识,1.1 集合 1.2 数环和数域 1.3 数学归纳法 1.4 整数的整除性与因数分解 1.5 连加号,1.1集合,内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 ：掌握集合的概念

3、、运算及证明 集合相等的方法. 重点、难点 ：集合的运算、证明两个集合 相等.,1.1.1 集合的描述性定义,例如,设A是一切偶数所成集合,那么4A,而,所谓集合（简称集）是指作为整体看的一些 东西或事物. 集合常用大写拉丁字母 表示. 组成一个集合的那些东西（事物）叫做该集合的元素. 集合的元素常用小写拉丁字母 表示. 如果 是集合 的元素，就记作,如果b不是集合A的元素，就记作 ,读作 b不属于A.,一个集合可能只含有限多个元素，这样的集合叫做有限集. 例如，前10个自然数的集合；一所学校的全体学生的集合；一本书中所有汉字的集合等等，这些都是有限集. 如果一个集合是由无限多个元素组成的，就

4、称之为无限集. 例如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于2的全体有理数的集合等等都是无限集. 不含任何元素的集合叫做空集. 空集用符号 表示.,1.1.2 集合的表示方法,1. 列举元素法：把集合中的元素一一列举出来（包括按照一定的规律列出无限集）.例如,2. 描述性质法：指出集合中的元素所具有 的性质、特征.一般用记号,来表示.例如,表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.,几个常用的数集： 表示全体自然数的集合，简称 自然数集. Z表示全体整数的集合，简称 整数集. Q表示全体有理数的集合,简称 有理数集. R表示全体实数的集合，简称 实数集. C表示全体复数的集合，简称 复数集

5、.,又如,1.1.3 集合的包含和相等,设A,B 是两个集合.如果A 的每一元素都是B 的元素，那么就说是的一个子集合（简称子集），或者说B 是A 的一个扩集，记作 （读作含于），或记作 （读作包含）. 根据上述定义，集合是的子集当且仅当对于每一个元素 ，如果 ，就有 .即,例如，,若A不是B 的子集，则记作 或 . 显然，A不是B 的子集当且仅当A中至少有一个元素不属于B，即：,例如，集合1，2，3不是2，3，4，5的子集.,由定义，集合A 总是它自己的子集，即：,如果集合A 与B 由完全相同的元素组成，就说A与B 相等，记作A =B . 即,例如，设A =1，2，B 是一元二次方程 的根的

6、集合，则A =B.,命题 集合之间的包含关系具有以下性质： （1） 反 身 性： （2） 反对称性： （3） 传 递 性：,1.1.4 集合的运算,1.集合的并 设A,B是两个集合. 由A的一切元素和B 的一切元素所构成的集合叫做A与B 的并集（简称并）,记作 .,例如,若A是一切有理数的集合,B 是一切无理数的集合，则 是一切实数的集合.,根据定义，我们有,显然，,2.集合的交 由集合A与B 的所有公共元素组成的集合叫做A与B 的交集(简称交)，记作 .,例如，若 A =1，3，5，7，9，B =1，2，3，4， 则,由定义，,如果两个集合A与B 没有公共元素，我们就说它们的交集是空集.,例

7、如，设A是一切有理数的集合，B 是一切无理数的集合，那么 就是空集. 又如方程 的实数根的集合为空集.,规定：空集是任意集合的子集合.,命题 集合的交与并满足以下运算规律:,（1）交换律 :,（2）结合律 :,，,（3）分配律:,3.集合的差 设A，B是两个集合.令,也就是说， 是由一切属于A 但不属于B 的元素 所组成的，称为A与B 的差集（简称差）.,4. 集合的积 设A，B 是两个集合.集合 称为A与B 的积（笛卡儿积）.,1.2 数环和数域,定义1.1 设R是复数集C 的一个非空子集. 如果对于R中任意两个数a,b 来说，a+b,ab,ab 都在R内，那么就称R是一个数环.,例如，取定

8、一个整数a，令 那么R 是一个数环. 事实上,R 显然不是空集.又设 ,那么,如果取a =2，那么上面的R 就是全体偶数所组成的数环.,定义2 设F 是一个数环. 如果,（1） F 含有不等于零的数；,（2） 如果,那么就称F 是一个数域.,例1.1 设,因为,那么，,例1.2 是一个数域.,定理1.1 任何数域都包含有理数域.,1.3 数学归纳法,1.3.1 最小数原理 1.3.2 数学归纳法原理,1.3.1 最小数原理,定理1.2(最小数原理) 自然数集N的任一非空子集都有最小数.,1最小数原理并不是对于任意数集都成立；,2 设c是任意一个整数. 令,注意：,那么最小数原理对于 也成立.,

9、1.3.2 数学归纳法原理,定理1.3（第一数学归纳法原理） 设 是一个与自然数 有关的命题. 如果 满足以下两个条件，那么这个命题对于一切自然数 都成立. （i） 当 =1时，命题成立； (ii) 假设当 =k时命题成立，则当 =k+1时命题也成立.,例1.3 证明：含有 个元素的集合共有 个子集.,定理1.4（第二数学归纳法原理） 设 是一个与自然数n有关的命题. 如果 满足以下两个条件，那么该命题对于一切自然数n都成立. （i） 当n=1时，命题成立； (ii) 假设当 时命题成立,则当 时命题也成立.,一、整数的整除性、带余除法,定义1.3 设a，b 是两个整数.如果存在一个整数c，使

10、得 b =ac，那么就说a整除b, 或者说b 被a 整除.我们用符号a|b表示a 整除b.这时a 叫做b 的一个因数，而b 叫做a 的一个倍数. 如果a不整除b，那么就记作 .,1.4 整数的整除性与因数分解,整除的基本性质：,(b),(c),(d),(e),(f),定理1.5（带余除法） 设a,b 是两个整数，并且 .那么,存在唯一的一对整数q 和r,使得,二、 最大公因数,定义1.5 设a,b是两个整数.满足下列条件的整数d 叫做a与b的最大公因数：,(1),如果,(2),(1),一般地，设 是n个整.满足下列条件的整数d 叫做 的一个最大公因数：,(2),定理1.6 任意两个整数都有最大公因数.,三、整数的互素,四、 整数的因数分解,定义1.7 设p 是一个大于1的整数. 如果p 除了1和p外没有其它因数，则称p是一个素数（质数）.否则称p是一个合数.,素数具有以下性质： (a) 如果p是一个素数,那么对于任意一个整数a,或者p与a互素,或者p整除a； (b) 一个素数p如果整除两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b 中的一个. (c) 对于任意一个不等于0和1的整数a,一定存在一个素数p,使得p整除a(p是a 的素因数）.,定理1.8（算术基本定理） 任何大于1的整数a都可以唯一地分解成有限个素