第三章 幂级数展开.ppt

1、第三章 幂级数展开,3.1 复数项级数（数值级数）,令un的实部和虚部分别为n与n，则,一个复数级数 完全等价于两个实级数 和 ，,级数的收敛与发散,定义 复数级数,-定义 对于任意给定的 0，存在N = N( )，使得当n N时，有|Sn S| ，则复数项级数收敛.,几何意义：当n N时所有都落在在以S为圆心以 为半径的圆内. 也就是说当n N时所有的Sn都聚集在S点的邻域内.,绝对收敛,若 收敛，则称级数 为绝对收敛级数.,绝对收敛的级数一定是收敛的，反之，一个收敛的级数不一定是绝对收敛的。,级数收敛的判断法,证明：若级数 收敛，有,即：,充要条件（科希收敛判据）：,总结：,2、 若 绝对

2、收敛，可得到 ；反推不成立.,1、 若 收敛，可得到 ；反推不成立.,3.2 复变项级数（函数级数）,复变项级数,若z0点为G内任意一点，则,这时复变项级数退化为复数项级数，可以利用上面方法来讨论它的收敛性. 其部分和为：,若 ，S(z0)为唯一确定的极限值，则称级数在z = z0收敛。,-说法 对于任意给定的 0，存在N = N(, z0 )，使得当n N时，有|Sn(z0) S(z0)| ，则级数收敛.,将上面的z0换成z，则称复变项级数 在z收敛.,一致收敛级数 对于任意给定的 0，存在N = N( )，N与z无关，使得当n N时，有|Sn(z) S(z)| ，则复变项级数在G内收敛.,

3、一致收敛级数的判别法：,证明：由于正项实级数 收敛，对于任意给定的 0，存在N = N( )，使得当n N时，有|SnS| ，即：,对于级数,一致收敛的重要性质：,1、若 为G内一致收敛的连续函数项级数，则,级数和 也是G内的连续函数（连续性）,可以逐项积分，即,这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛的级数可以逐项求极限，也就是说“求极限”和“求和”可以交换次序.,2、若 为G内一致收敛的解析函数项级数，则,若 在G内的解析函数.,证明：由于uk(z)在G内解析，uk(z)必连续，其和 因此也是G内的连续函数.,由于 为一致收敛的连续函数项级数，可逐项积分：,由于uk(z)

4、为G内的解析函数，根据科西公式：,代入上式得：,上式表明（z）可表示成边界的线积分，即（z）为单连通区G的科西公式，因此，为G内的解析函数。,可逐项微商，即：,证：由于（z）为G内的解析函数，根据高阶的科西公式：,由于uk(z)为G内的解析函数，根据高阶导数的科西公式：,3.3 幂级数,这是一种特殊形式的函数项级数，也是最基本、最常用的一种函数项级数. 其中a叫着幂级数中心，c0, c1, , cn, 叫着幂级数的系数.,幂级数 幂级数通常是指通项为幂函数的函数项级数,证： 因为 在z0收敛，故一定满足必要条件,因此存在正数q使得 . 所以,因为 即 时， 收敛，故,有界,收敛圆与收敛半径 对

5、于幂级数的收敛区域一定是一个圆域，称为收敛圆，该圆的半径称为收敛半径.,收敛半径可以是0，收敛圆退化为一个点. 除z = a外，幂级数在全平面处处发散. 收敛半径可以是无穷大，这时收敛圆为全平面，幂级数在全平面上收敛，但在无穷大是奇点.,收敛半径有以下两种判别法：,比值判别法,幂级数的解析性：,证明略,解：,当|z| 1时，,根值判别法,3.4 泰勒展开,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数. 如何将一个解析函数表示成幂级数？,证 根据科希积分公式，对于圆C内任意一点z，有,根据,此级数在 的区域中一致收敛，因此可逐项积分,高阶导数科希公式,泰勒级数也可称为解析函数f (z)的级数表达式.

6、 且这个展开式在|z a| R内是唯一的。,证（反证法）设在|za|R内f (z)可展成两个不同的泰勒级数,令z=a：,恒等式两边求导,令z=a：,则,二、收敛圆 函数f (z)的奇点完全决定了泰勒级数的收敛半径，设b为f (z)的离a点最近的奇点，则一般说来，收敛半径R=|b-a|.,继续求导，可得,这两个级数的系数全部相等，因此，f (z)展开式唯一.,函数的奇点z=i就决定了泰勒级数的收敛半径为R=|i|=1.,例如,如果收敛半径大于a到最近孤立奇点的距离，而泰勒级数在此圆内收敛，但在此圆内又至少有一个奇点，显然矛盾。可见，收敛半径应该为a点到最近孤立奇点的距离.,三、讨论,如果在同一点

7、展开的两个泰勒级数相等，则可以逐项比较系数，同一个函数在不同点展开得到的两个泰勒级数，即使有公共的收敛区域，也不能直接比较系数.,四、例子,1、把f (z)=z在z0邻域内展成泰勒级数。,不论用什么方法，得到的f (z)在同一个圆内的泰勒展开是唯一的，因此不一定要用导数.,2、把 在 邻域内展成泰勒级数.,解：,3、把 在 邻域内展成泰勒级数.,解：,4、把 在 邻域内展成泰勒级数.,解：,5、把 在 邻域内展成泰勒级数.,解：,两边对z积分，得：,当z0时，,的泰勒展开式的收敛半径为1，由于积分不改变泰勒级数的收敛半径，故f (z)的泰勒展开式的收敛半径也为1。收敛半径还可由z =0到f (

8、z)离z =0最近的奇点（即支点）z = -1的距离来确定。,时为主值分支：,可见，泰勒展开往往不直接由系数计算公式 来求系数。,也可以用公式求系数：,6、写出基本函数 在 邻域内的泰勒展开式.,3.5 解析延拓,考察泰勒级数：,问题：若f (z)在g内解析，能否找到一个在含有子区域g的区域G内解析的解析函数F（z），并使得在子区域g内F（z）= f (z). 这就是解析延拓，也就是扩大解析函数定义域。,解析延拓是唯一的.,证明（反证法）：设F1 (z)、F2 (z)为f (z)在区域G内的解析延拓，在g内F1(z)= F2 (z)=f (z).,在g内的边上取一点，F1 (z)、F2 (z)

9、在z0的邻域内展成泰勒级数：,z0的一部分邻域E内（在g内），,即：,式子两边对z求导，得：,继续求导，可得：,可见，在 邻域内的的泰勒展开式， 、 完全相同。即在 邻域内（包括不在g内的 ）上，其解析延拓是唯一的。,继续作有限次数收敛圆，可以将所有的G全部包括在这些收敛圆内。因此，解析延拓是唯一的。,解析延拓唯一性的内在原因：,由于f (z)是解析函数，延拓后的F (z)也是解析函数，根据科西公式：解析函数在区域内个点值可由边界的线积分表出，因此，解析函数在区域G内的值可由它在子区域g内的值来确定。,3.6 罗朗级数及展开方法,它和泰勒级数一起，都是研究复变函数的有力工具.,这就是我们下面要

10、讨论的问题: 罗朗级数.,我们已经知道，若函数f (z) 在圆域|z-z0|R 内解析，则f(z)在z0点可展开成幂级数，且由上面的推论知，当f (z)在z0 处不解析时，则f (z)在z0 处肯定不能展开成幂级数. 那么，如果我们挖去不解析的点z0 ，函数f (z)在解析的环域： 内是否可展开成幂级数呢？,一个函数除了可在解析点作泰勒展开外，有时还需要将它在奇点附近展成幂级数，这时就得到罗朗展开.,一、罗朗展开,证： 将环域的内外边界分别记为C1和C2，则根据复连通区域的科希积分公式，有：,积分方向为逆时针,对于C2上的积分，在C2上取值，,对于C1上的积分，在C1上取值，,代回积分式子：,

11、由一致收敛连续函数项级数可逐项积分，得,对等号右边的最后一项中的k+1换成-k,则：,设C为圆环内任一绕z=b的简单闭合曲线，根据复通区的科希定理,写成：,其中,c为圆环内任一绕的简单曲线,讨论：,罗朗展开既有正幂项，又有负幂项.,罗朗级数的解析部分（正则部分）,罗朗级数的主要部分,二、收敛域,罗朗级数的收敛域为一圆环 ，称为收敛环或正则环，在此环内罗朗级数收敛于一个解析函数，因此，罗朗级数代表一个环域内的解析函数。,罗朗级数收敛环的内、外半径的确定：圆环的外半径R2大到出现f (z)的一个奇点为止，内半径R1小到出现f (z)的一个奇点为止，这两个奇点到展开中心b的距离分别为正则环的外半径R

12、2和内半径R1.,若以为圆心，R2为半径的圆内无奇点，则罗朗级数退化为泰勒级数。,讨论：,若圆环内只有z=b是函数的奇点，则收敛域为 该收敛域称为孤立奇点的邻域.,若区域内环C1外只有是函数的奇点，则收敛域为,无限远点的邻域定义为 ，而不是 也就是说，无限远点的邻域应是以原点为圆心，半径大到能把所有的有限远奇点都挖去的圆的圆外部分.,解：z=1的邻域为 ，如图(a),z=的邻域为 ，如图（b）,例2. 把 在奇点z=0和z=1邻域分别展成罗朗级数.,解：在z=0的邻域，如图(a),在z=1邻域，图(b),解： 在 内，如图（a）,该结果与例2比较，它们都绕z=0作罗朗展开，但由于展开区域不同，

13、展开式也不同。在z=0邻域内展开只有一个，绕z=0展开则可能有多个.,在 内，图（b）,例4. 在邻域内z=0把 展成罗朗级数.,解：,两级数为绝对收敛 ，相乘依旧为绝对收敛,由于l, n为非负整数，上式中有无限多个正幂项和负幂项，将 的正幂项写成 ,则 ；将 的负幂项写成 ，则 .,将上式等号右边第二项 ，则：,在推导过程用了,此罗朗展开式的系数称为m阶贝赛尔函数，因此 称为整数阶贝赛尔函数的母函数.,3.7 孤立奇点,定义： 设为单值函数（或多值函数的一个单值分支），b点是它的奇点，如果在b点存在一个邻域，在该邻域内（除b点外），f (z)处处可导，则称b为f (z)的孤立奇点.,非孤立奇

14、点的例子：,奇点：,z=0是这些奇点的聚点（极限点），在z=0的任意一个邻域中，总存在无穷多个奇点，故z=0是非孤立奇点.,如果b是单值函数的孤立奇点，则f (z)一定存在一个环域 ，在该环域内可以展成罗朗级数:,出现三种情况：,级数展开式不含负幂项：b点称为f (z)的可去奇点.,级数展开是只含有限个负幂项，b称为f (z)的极点.,z=0是函数的极点,级数展开式含无穷多个负幂项：b点称为f (z)本性奇点.,z=0是函数的本性奇点,讨论：,可去奇点 由于在可去奇点处，级数展开式中不含负幂项，故级数不只是在环域内收敛，且在环域的中心，即可去奇点z=b处也是收敛的. 这时收敛区域是一个圆，圆心

15、在可去奇点z=b ，级数在收敛圆内的任何一闭区域中一致收敛，和函数连续.,函数在可去奇点处的极限值是有限的，用此极限值作为的定义,这样得到的f (z)在b点也就解析了，这正是可去奇点这一称谓的由来. 今后可去奇点将不作为奇点看待,如果z=b是函数f (z)的孤立奇点，而且在z=b的邻域内有界，则z=b是函数f (z)的可去奇点.,证： 将f (z)在z=b的邻域内作罗朗展开,在圆C： 上有界，,极点 函数在极点邻域内的罗朗展开有有限个负幂项,其中m为正整数，且,展开式的两边同乘于 ，再令,则b称为f (z)的m阶极点,若z=b是f (z)的m阶零点，则z=b必是 的m阶极点.,（m阶零点： 非

16、零有限值）,【证】若b是f (z)的m阶零点，则:,在z=b点解析，且,则 也在点z=b解析， 可在z=b邻域内展成泰勒级数：,显然，z=b是 的m阶极点.,本性奇点 函数在本性奇点邻域内的罗朗展开具有无穷多个负幂项.,如果z=b是函数的本性奇点，则当zb时， f (z)的极限不存在. 更准确地说， zb的方式不同，f (z)可以逼近不同的数值.,z=0是函数的本性奇点,当z以不同方式趋近于0时，就有不同的结果：,当z沿正实轴趋于0时，,当z沿正负轴趋于0时 ，,当沿虚轴趋于0时，不趋于一个不确定的数.,当z以序列 ， 趋于0时， 恒为1（以1为其聚点）；,当z以序列 ， 趋于0时， 恒为-1

17、（以-1为其聚点）；,例1. 判断函数 的有限远的各奇点的类型。,解：z=0，z=i是f (z)的奇点。 , z=0故是f (z)的极点,z=0故是f (z)的二阶极点.,z=i 故是的极点,z=i 故是f (z)的一阶极点.,例2. 判断函数 的有限远各奇点的类型。,解： 是f (z)的奇点。,故z=k为f (z)的极点，,故z=k为f (z)的单极点,例3. 判断函数 各奇点的类型。,因为 在 不为零，故这些点都是sinz的一阶零点，从而是(sinz )4的4阶零点. 因此这些点除了0, 3外（因为0, 3也是分子的零点，这些点都是f (z)的四阶极点.,对于z=3：,因此，z=3是f (

18、z)的可去奇点.,对于z=：因为f (z)的四阶奇点 k（k=4, 5,）以为极限，所以z=不是f (z)的孤立奇点.,3.8 无限远点为孤立奇点的情形,若函数f (z)在z=的邻域内解析，则称z=是的f (z)孤立奇点. 无限远点都认为是奇点，如果说f (z)在z=解析，是指z=是f (z)的可去奇点.,无穷远点的邻域为,其中r应该大到使圆|z|=r能把复平面上所有的有限远的奇点都包围在内,作变换 z：,若有无限个正幂项，则z=为f (z)的本性奇点。,若 则z=为f (z)的极点；,若 不存在，则z=为f (z)的本性奇点,因此，要判断z=是f (z)的奇点类型，可将f (z)在无限远的邻域内r|z|展成罗朗级数，看它的正幂项情况.,若罗朗展开式中没有正幂项，则z=为f (z)的可去奇点；,若有有限个正幂项，则z=为f (z)的极点；,也可求极限 来判断z=的奇点类型.,若 =确定的有限值，则z=为f (z)的可去奇点；,例1、判断z=是 何种类型的奇点.,解：,f (z)在z=