2011届高考数学单元总复习课件42

1、第六节 椭圆,基础梳理,1. 椭圆的定义 （1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件: 到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a; 2a F1F2. (2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1F2.,2. 椭圆的标准方程和几何性质,F1、F2,-a,-a,-b,-b,(-a,0),(0,-b),(a,0),(0,b),(0,-a),(-b,0),(0,a),(b,0),2a,2b,2c,(0,1),a2-b2,典例分析,题型一 椭圆的定义及其标准方程,【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.,分析

2、 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解. 方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.,解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知 2a=PF1+PF2= , a= . 在方程 中,令x=c,得y= ； 在方程 中,令y=c,得x= . 依题意知 = ,b2= . 即椭圆的方程为,方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则 PF1= ,PF2= . 由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= .,由PF1PF2知，PF2垂直于长轴. 故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= , c2

3、=53，于是b2=a2-c2= . 又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为,学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成 （2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .,举一反三 1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.,解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0), 则 解得 此时所求的椭圆方程为,(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，

4、所求的椭圆方程为 或,题型二 椭圆的几何性质 【例2】 已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2 分别是左、右两个焦点. （1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.,分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可. （2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.,解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, . 由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).,学后反思 本

5、题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.,举一反三 2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.,解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6, |P |=2,又由余弦定理，得 ,题型三 直线与椭圆的位置关系,【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径

6、的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.,分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.,解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 , 由已知得a+c=3,a-c=1, .2 a=2,c=1,b2=a2-c2=3, 椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1， 得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6 则

7、由题意得 =64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20. 又x1+x2= ，x1x2= ， y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 8,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), kADkBD=-1,即 , y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, , 即7m2+16mk+4k2=0. 解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012 当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾； 当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0). 所以直线l过定点，定点坐

8、标为( ,0). 14,学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.,举一反三,3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.,解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)

9、+1, 代入椭圆C的方程，得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A,B关于点M对称，所以 , 解得k= . 所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0.,【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S. 求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域.,题型四 椭圆的实际应用,分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.,解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(

10、如下图）， 则半椭圆方程为 (y0), 解得 (0 xr).,S= (2x+2r) = (x+r), 由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xr.,学后反思 解答实际应用题可分四个步骤： (1)阅读理解材料：读懂材料中量与量之间的关系，模型是什么（是方程还是不等式等）; (2)建立变量关系：利用量与量的已知关系列出相应的关系式（建模）; (3)讨论变量性质：利用代数知识对所建立的变量关系式化简、推导并讨论变量具有的性质（单调性、最大值或最小值等）; (4)作出问题结论：最后的结论不可少，注意实际问题中变量的含义.,举一反三,4. 已知某荒漠上有两个定点A、B，它们相距2 km.现准备在荒漠上围

11、垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.问农艺园的最大面积能达到多少?,解析： 设平行四边形的另两个顶点为C、D，由围墙总长为8 km得CA+CB=4AB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.,易错警示,【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .,错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.,错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确

12、定，即焦点也有可能在y轴上的情况.,正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4; (2)若焦点在y轴上，即0k+89时， , ,解得 综上，k=4或,考点演练,10. 椭圆 的焦点为 , ，点P为其上的动点， 当 为钝角时，求点P的横坐标 的取值范围.,解析: 由题意 ( ,0), ( ,0),设 则 , . 又 , 由、得： ， 则点P的横坐标x0的取值范围为 ( , ),11. 求以坐标轴为对称轴，一焦点为（0， ）且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为 的椭圆方程.,解析： 根据题意所求椭圆的方程为 (ab0). c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点， 则 , 是上述方程的根，且有0, 即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为,12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1. （1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程； （2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.,解析： （1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 , 得