2013版高中数学全程复习方略 2.11 变化率与导数、导数的计算课件 理

1、第十一节 变化率与导数、导数的计算,三年9考 高考指数: 1.了解导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x2,y=x3, y= ，y= 的导数；,4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于f(ax+b)的复合函数)的导数.,1.导数的几何意义是考查重点； 2.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，常在考查导数应用的同时进行考查. 3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中会渗透导数的运算.,1.导数的定义及几何意义 (1)定义：函数在x0处的平均变化率

2、，当x0时的极限 (即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0) 或 ，即_. (2)几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点P(x0,y0)处的_.,切线的斜率,【即时应用】 (1)思考：f(x)与f(x0)有何区别？ 提示：f(x)是x的函数，f(x0)只是f(x)的一个函数值.,(2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_. 【解析】y=2x，曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案：2,(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是_. 【解析】f(e)= ， 所求的切线方程为y-f(e)=f(e

3、)(x-e)， 即y-lne= ，化简得x-ey=0. 答案：x-ey=0,2.基本初等函数的导数公式 (1)(c)=_；(c为常数) (2)(x)=_；(Q*) (3)(sinx)=_； (4)(cosx)=_； (5)(ex)=_；,0,x-1,cosx,-sinx,(6)(ax)=_(a0)； (7)(lnx)=_； (8)(logax)=_(a0且a1).,axlna,【即时应用】 (1)y=x-5，则y=_. (2)y=4x，则y=_. (3)y=log3x，则y=_. (4)y= ，则y=_. 答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) (4)0,3.导数的运算法则 若y=f

4、(x)，y=g(x)的导数存在，则 (1)f(x)g(x)=_； (2)f(x)g(x)=_； (3) =_(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【即时应用】 (1)y=x3+sinx，则y=_. (2)y=x4-x2-x+3，则y=_. (3)y=(2x2+3)(3x-2)，则y=_. (4)f(x)= ，则f(x)=_. 【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx. (2)y=4x3-2x-1.,(3)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9. 或：y=6x3-4x

5、2+9x-6,y=18x2-8x+9. (4)f(x)= 答案：(1)3x2+cosx (2)4x3-2x-1 (3)18x2-8x+9 (4),4.复合函数的导数 若y=f(u),u=ax+b,则yx=_， 即yx=_.,yuux,yua,【即时应用】 (1)y= (0),则y=_. (2)y=ex2,则y=_. (3)y= ,则y=_. 【解析】(1)设u= ,则yx=yuux= =,(2)设u=x2,则yx=yuux=(eu)2x =2xex2 (3)设u=2x-1,则yx=yuux= = 答案：,导数的运算 【方法点睛】 求函数的导数的方法 (1)总原则：先化简解析式，再求导.,(2)

6、具体方法 连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导. 根式形式：先化为分数指数幂，再求导. 复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导. 复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.,【例1】(1)(2011湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射 出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰 变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位： 太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系： ，其中 M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137的含量的变化率 是-10ln2(太贝克/年)，则M(60)=( ) (A)5太贝克 (B)75ln2太贝克 (C)

7、150ln2太贝克 (D)150太贝克,(2)求下列函数的导数. y=x2sinx； y= ； 【解题指南】(1)利用已知条件先确定M0,再代入t=60求解. (2)利用积的导数法则；利用商的导数法则或先化简分式再求导.,【规范解答】(1)选D.因为M(t)= ，则 M(30)= =-10ln2，解得M0=600，所以 M(t)= ，那么M(60)= =150(太贝克)， 所以选D. (2)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.,方法一： y= = 方法二：y= y= ,即y=,【互动探究】把本例(2)中函数改为y= ，如何求导？ 【解析】y= =,【反思感悟】准

8、确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，确定求导方法.,【变式备选】求下列函数的导数： (1)y= (2)y=3xex-lnx+e (3)y=ln(3x-2)+e2x,【解析】(1)y=,导数的几何意义 【方法点睛】 导数几何意义的应用 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：k=f(x0)；,(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)=k； (3)已知过某点M(x1,f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需 设出切点A(x0，f(x0)，利用k

9、= 求解. 【提醒】审题时注意所给点是否是切点.,【例2】(1)(2011湖南高考)曲线y= 在点M( ,0) 处的切线的斜率为( ) (2)(2011山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴 交点的纵坐标是( ) (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15,(3)(2011大纲版全国卷)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( ) 【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以直接求出切线斜率；(2)先求出切线方程，得到与y轴交点的纵坐标；(3)求切线与直线y=0和y=x的交点，进一步求面积.,【规范解答】(1)选B. y= =

10、所以 (2)选C.y=3x2，切线斜率为3,切线方程为y=3x+9，与y轴交点的纵坐标是9.,(3)选A. ，故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切 线方程为y=-2x+2，易得切线与直线y=0和y=x的交点分别为(1， 0)， ，故围成的三角形的面积为,【互动探究】若把本例(2)中“在点P(1，12)处”改为“过点P(1，12)”其他条件不变，求此时切线与y轴交点的纵坐标.,【解析】当P为切点时，由例题(2)知，切线与y轴交点的纵坐 标为9. 当P不是切点时，设切点坐标为(x0,y0)， 则 即 切点为 ，切线方程为 与y轴交点的纵坐标为,【反思感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想，

11、由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合(切点). 2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时，一定要抓住切点的多面性：在曲线上、在切线上，该点处的导数是切线斜率.,【变式备选】(2012惠州模拟)过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为( ) (A)2x+y+2=0 (B)3x-y+3=0 (C)x+y+1=0 (D)x-y+1=0,【解析】选D.y=2x+1,设切点坐标为(x0,y0), 则切线的斜率为2x0+1(易知其斜率存在),且y0=x02+x0+1. 于是切线方程为y-x02-x0-1=(2x0+1)(x-x0) 因为点(-1,0)在切线上, 可解得x0

12、=0或-2,当x0=0时,y0=1;x0=-2时,y0=3, 这时可以得到两条直线方程,验证D正确.,【易错误区】导数几何意义应用的易错点 【典例】(2012杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线 y=x3和y= 都相切，则a等于( ),【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上，所以应从设切点入 手来求切线方程，再利用切线与曲线y= 相切求a的值.,【规范解答】选A.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03)，所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0), 即y=3x02x-2x03，又(1,0)在切线上，则x0=0或x0= ， 当x0=0时，由y=0与y= 相切可得a

13、= 当x0= 时，由y= 相切可得a=-1，所以 选A.,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程 为( ) (A)y=3x-1 (B)y=-3x+5 (C)y=3x+5 (D)y=2x 【解析】选A.由y=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3. 所以切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.,2.(2012深圳模拟)已知f(x)=lnx(x0),f(x)的导数是(x)， 若a=f(7),b=f( ),c=f( )，则a、b、c的大小关系是 ( ) (A)cba (B)abc (C)bca (D)bac 【解析】选B.a=f(7)=ln7,又f(x)= , 故b=,3.(2012江门模拟)函数f(x)=mx3