信息技术应用收集数据并建立函数模型

1、函数在生活中的应用,辉县市高级中学 柳红霞,一、一次函数在生活中的运用 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入挖掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，

2、选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。,有一次在超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法： （1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）； （2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。 其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。 若需要4只壶和若干个杯，这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？,设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x3且xN)， 用第一种方法付款：y1=420+(x-4)5=5x+60; 用第二种方法付款

3、：y2=(204+5x)90%=4.5x+72. 接着比较y1、y2的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d0时，0.5x-120,即x24; 当d=0时，x=24; 当d0时，x24. 综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱； 恰好购买24只时，两种方法价格相等； 购买只数在423之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！,（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）； （2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。,二、二次函数在生活中

4、的运用 由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。 比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据： 已经有了一堵墙，材料总长为120米，粮仓必须是正方形或者长方形，问如何建面积最大。,如上图所示： 由于是长方形，我们设宽为x，则长为120-2x， S=(120-2x)x=-2x2+120 x， 所以x=30时,S有最大值1800,又例如：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场

5、平均每天可多售出2件每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 分析： 如果每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件，则平均每天可售出(20+2x)件，每件盈利(40-x)元 解：设每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件根据题意，得商场平均每天盈利 y =(20+2x)(40 -x) =-2x2 +60 x+800 根据函数的性质，可以得出当x=15时，函数有最大值1250 根据上面这两个例子，我们可以发现，二次函数在生活当中也有着重要的作用。,三、分段函数在生活中的运用 分段函数是数学的重要内容，涉及分段函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活同时，应用题与

6、现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质，因此在数学教学中倍受青睐 1、醉酒驾车问题 举例： 某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式 f(x)=,酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过_小时后才能开车。(精确到1小时),.,三、分段函数在生活中的运用 分段函数是数学的重要内容，涉及分段函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活同时，应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，

7、还能提高学生的思维素质，因此在数学教学中倍受青睐 1、醉酒驾车问题 举例： 某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式 f(x)=,酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过_小时后才能开车。(精确到1小时),解析:当0 x1时,f(x)为增函数， f(x)50-2=0.040.02 当x1时, f(x)= 0.02,3x30 33=2730即x4 故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.,2、学生听课注意力问题 举例：通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随

8、着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)， 经过试验分析得知: (1) 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (2) 讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中? (3) 一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过 适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目? -t2+24t+100 (024.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态

9、下讲授完这道题目。,3、商品利润最大问题 举例：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x，已知总收入满足函数: R（x）=,(1) 将利润表示为月产量的函数f(x); (2) 每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?( 总收入=总成本+利润),3、商品利润最大问题 举例：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x，已知总收入满足函数: R（x）=,(1) 将利润表示为月产量的函数f(x); (2) 每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?( 总收入=总成本+利润

10、),（2） 当0X400时, f(x)=-,(x-300)2+25000.,解析: （1）月产量为x台，则总成本为20000+100 x，从而 f(x)=,当X400时, f(x)=60000-100 x是减函数, f(x) 60000-10040025000. 故每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.,4、通讯收费问题,举例： 有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示 （1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元； （2）若你想买了一部手机，如

11、果你的月通话时间不超过100分钟。你选择哪家通迅公司更合算？如果你的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 解析：（1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数， 当0t100时，话费金额y=20； 当t100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b， 且函数经过点（100，20）和（200，40），,解得：k=0.2，b=0 所以 y=0.2t, 所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元,（2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5, 当0t100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5, 所以,你如果月通话时间不超过100分钟，你选择乙通迅公司更合算； 因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500， 所以，当通话时间t=500分钟时，