数学导学案34第2课时简单线性规划

1、3.3.23.3.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题(2)(2) 知能目标解读知能目标解读 1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念 . 2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤. 重点难点点拨重点难点点拨 重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法. 难点：线性目标函数最值（即最优解）求法. 学习方法指导学习方法指导 一、简单线性规划的几个概念 1.目标函数： 我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c 叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的 一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数. 2.约束条件：目标函

2、数中的变量所满足的不等式组称为约束条件 .如果约束条件是关于变量的一次不等 式（组） ，又称线性约束条件. 3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题， 也称为二元线性规划问题. 4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解. 5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域. 6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边 界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个. 二、目标函数的最值问题 在求目标函数 z=ax+by+c 的最值时,根据 y 的系数的正负,可分为以下两种情

3、形求最值. 1.求目标函数 z=ax+by+c,b0 的最值. 在线性约束条件下,当 b0 时,求目标函数 z=ax+by+c 的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可行域； (2)作出直线 l0：ax+by=0； (3)确定 l0的平移方向,若把 l0向上平移,则对应的 z 值随之增大；若把 l0向下平移,所对应的 z 值随之减 小,依可行域判定取得最优解的点. (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值. 2.求目标函数 z=ax+by+c,b0 的最值. 在线性约束条件下,当 b0 时,求目标函数 z=ax+by+c 的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可

4、行域； (2)作出直线 l0:ax+by=0; (3)确定 l0的平移方向:若把 l0向上平移,所得相应 z 值随之减小；若把 l0向下平移,所对应的 z 值随之增 大,依可行域判定取得最优解的点. (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值. 注意： 确定最优解的方法:将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；利用围成可 行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线 l1,l2,ln的斜率分别为 k1k2kn,且目标函数的斜率为 k, 则当 kik0,y0 误解依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑 x、y 为整数的条件，则当直线 5x+4y=S 过点

5、A( , 9 2391 )时，S=5x+4y取最大值，Smax. 5 105 因为 x、y为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2) ，这时 S=13,所要求的最大值为 13. 辨析显然整点 B(2,1) 满足约束条件，且此时 S=14,故上述解法不正确. 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点. 而要先对边界点作目标函数t=Ax+By 的图像， 则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By 最近的整点. 正解依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l ：5x+4y=0, 平行移动直线 l经过可行 域内的整点 B(2,1) 时，Smax14. 课堂巩固训练课堂巩固训练 一、选

6、择题 x2 1.若 x,y 满足约束条件y2,则目标函数 z=x+2y 的取值范围是（） x+y2 A.2,6 答案A B.2,5C.3,6D.3,5 x2 解析画出不等式组y2表示的可行域为如图所示的ABC. x+y2 作直线 l:x+2y=0,平行移动直线 l,当直线 l 经过可行域内的点 B(2,0)时 z 取最小值 2，当直线 l 经过可行域 内的点 A(2,2)时，z 取最大值 6，故选 A. x1, 2.（2011天津文，2）设变量 x,y 满足约束条件x+y-40, 则目标函数 z=3x-y 的最大值 x-3y+40, 为（） A.4B.0C. 4 3 D.4 答案D 解析本题考

7、查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端 点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可. x1, 由x+y-40, x-3y+40, 作出可行域如图： 当直线 z=3x-y 过点 A(2,2)点时 z 有最大值.z 最大值 =32-2=4. 0 x 2 3.(2011广东理，5)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y2给定. x 2y 若 M(x,y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为( 2,1)，则 z=OMOA的最大值为（ ） A.4 2 B.3 2 C.4D.3 答案C 解析本题考查线性规划、数量积的坐标运算. OMOA=（x,y

8、） （ 2,1）=2x+y,做直线 l0：2x+y=0，将 l0向右上方平移，当l0过区域 D 中 点( 2，2)时，OMOA=2x+y 取最大值22+2=4.选 C. 二、填空题 x-y+20 .4.设 x、y 满足约束条件5x-y-100，则 z=2x+y 的最大值为 x0 y0 答案11 x-y+20 解析不等式组5x-y-100 表示的可行域如图阴影部分所示. x0 y0 x-y+2=0 x=3 由，得 5x-y-10=0y=5 点 A 的坐标为（3，5） ，作直线 l：2x+y=0，平行移动直线 l 至过点 A 时，z=2x+y 取最大值 11. 5.某实验室需购买某种化工原料 10

9、6 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元，在满足需要的条件下，最少要花费 答案500 解析设第一种原料 x 袋，第二种原料 y 袋，花费为 z， 由题意知，线性目标函数z=140 x+120y，线性约束条件 x0 y0， 35x+24y106 其可行域如图， 元. 可得 z 的最优整数解为（1，3） ，此时 zmin=500. 课后强化作业课后强化作业 一、选择题 x0 1.不等式组x+3y4 ，所表示的平面区域的面积等于（） 3x+y4 A. 3 B. 2 C. 4 D. 3 233 答案C 解析不等式组表

10、示的平面区域如图所示， x+3y=4 由，得点 A 的坐标为(1,1). 3x+y=4 又 B、C 两点坐标分别为（0,4） 、 (0, 4 3 ), S ABC= 1 2 (4- 4 3 )1= 4 3 . yx, 2.设变量 x，y 满足约束条件：x+2y2,则 z=x-3y 的最小值为（ x-2. A.-2B.-4C.-6 答案D 解析作可行域（如图） ， 令 z=0 得 x-3y=0，将其平移，当过点（-2，2）时，z 取最小值， zmin=-2-32=-8. 4 ） D.-8 x+2y-50 3.(2011浙江理，5)设实数 x、y 满足不等式组2x+y-70，若 x、y 为整数，则

11、 3x+4y x0，y0 的最小值为（） A.14B.16C.17D.19 答案B 解析本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如图， 作出不等式组表示的平面区域 ，作直线l0：3x+4y=0 平移 l0与 平面区域有交点，由于x，y 为整数，结合图形可知当x=4，y=1 时，3x+4y 取最小值为 16，选 B. x-1 4.若变量 x、y 满足约束条件yx , 则 z=2x+y 的最大值为（） 3x+2y5 A.1B.2C.3D.4 答案C 解析如图所示，由约束条件作出可行域，将目标函数z=2x+y 化为 y=-2x+z,由图知在 A 点 z 取最大值. y=x 联立得 A（1，1）. 3

12、x+2y=5 zmax=21+1=3. 2x+y4 5.设 x，y 满足x-y-1，则 z=x+y（） x-2y2 A.有最小值 2，最大值 3B.有最小值 2，无最大值 C.有最大值 3，无最小值D.既无最小值，也无最大值 答案B 解析如右图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y 的斜率大于 2x+y=4 的斜率，因此当z=x+y 过点（2，0）时， 但 z 没有最大值. x+3y-30 6.若实数 x,y 满足不等式2x-y-30，且 x+y 的最大值为 9，则实数 m=（） x-my+10 A.-2B.-1C.1D.2 答案C 解析如图，作出可行域. z 有最小值 2， x-my+1=

13、0 由，得 A（ 2x-y-3=0 平移 y=-x,当其经过点 A 时，x+y 取最大值，即 解得 m=1. x0 7.若不等式组x+3y4 所表示的平面区域被直线y=kx+ 3x+y4 的值是（） A. 13m5 ,）, 1 2m 1 2m 13m5 +=9. 1 2m1 2m 4 分为面积相等的两部分，则k 3 7 3 B. 3 7 C. 4 3 D. 3 4 答案A 解析不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线 y=kx+ 444 过定点（0，）.因此只有直线过 AB 中点时，直线 y=kx+能平分平面区域.因为 A 333 15 ，). 22 （1，1） ，B(0,4)，所以 AB

14、中点 M( 当 y=kx+ 155k44 过点（，）时，=+, 322223 k= 7 . 3 8.设 G 是平面上以 A(2，1)、B(-1，-4)、C(-2,2)三点为顶点的三角形区域（包括边界点） ，点（x,y）在G 上 变动，f(x,y)4x-3y 的最大值为 a,最小值为 b,则 a+b 的值为（） A.-1B.-9C.13D.-6 答案D 解析设 4x-3y=c,则 3y=4x-c,y= 4c x-, 33 - c 表示直线 l:4x-3y=c 在 y 轴上的截距， 3 54 ,而 kl=, 33 c 有最大值； 3 kAB= l 过 C(-2,2)时，- - c144 =2-（-

15、2）， 333 cmin=b=-14, l 过 B(-1,-4)时，- c 有最小值; 3 - c48 =-4-（-1）-， 333 cmax=a=8,a+b=-6. 二、填空题 0 x4 9.已知 x、y 满足条件0y3 ，则 z=2x+5y 的最大值为 x+2y8 答案19 解析可行域如图. . 当直线 y=- 2z x+经过直线 y=3 与 x+2y=8 交点（2，3）时,z 取最大值 zmax=19. 55 32x+y9, 10.(2011新课标理，13)若变量 x,y 满足约束条件则 z=x+2y 的最小值为 6x-y9, . 答案-6 解析本题主要考查了线性规划求最值. 依题意，可

16、行域为如图阴影部分，则最优解为A(4,-5), zmin=4+2(-5)=-6. x-y+20 11.不等式组x+y+20，所确定的平面区域记为D.若点（x,y）是区域 D 上的点，则 2x+y 2x-y-20 的最大值是 ；若圆 O:x2+y2=r2上的所有点都在区域D 内，则圆 O 面积的最大值是 答案14 4 5 24 ,面积 S=. 55 解析如图，令z=2x+y 可知，直线z=2x+y 经过（4,6）时z 最大，此时z=14;当圆 O：x2+y2=r2和直 线 2x-y-2=0 相切时半径最大.此时半径 r= x1 12.已知x-y+10，则 x2+y2的最小值为 2x-y-20 答

17、案5 . 解析画出可行域如下图所示, 可见可行域中的点 A(1,2)到原点的距离最小为 d= 5,x2+y25. 三、解答题 x-y+20 13.已知变量 x,y 满足约束条件x1，求 x+y-70 解析由约束条件作出可行域（如图所示） ，A 点坐标为（1，3） ，目标函数 z= y 的最大值和最小值. x y 表示坐标是（x,y） x 与原点（0，0）连线的斜率.由图可知，点 A 与 O 连线斜率最大为 3;当直线与 x 轴重合时，斜率最小为 0.故 y 的最大值为 3，最小值为 0. x x-4y-3 14.设 x,y 满足约束条件3x+5y25，分别求： x1 （1）z=6x+10y 的

18、最大值、最小值; （2）z=2x-y 的最大值、最小值; （3）z=2x-y(x,y 均为整数）的最大值、最小值. 解析 （1）先作出可行域， 如图所示中ABC 表示的区域， 且求得 A（5,2） 、B（1，1） 、C（1，22）. 5 作出直线 l0：6x+10y=0，再将直线 l0平移，当 l0的平行线 l1过 B 点时，可使 z=6x+10y 达到最小值，当 l0的平行线 l2过 A 点时，可使 z=6x+10y 达到最大值. zmin=61+101=16；zmax=65+102=50. (2)同上，作出直线 l0:2x-y=0，再将直线 l0平移，当 l0的平行线 l1过 C 点时，可使 z=2x-y 达到