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1、 1 复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2012015 52012016 6 学年第一学期期末考试试卷学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院数学科学学院 1 （本题满分 40 分，每小题 5 分）计算下列各题： （1）确定常数 a，使得函数 0, 2 , 0, )()1ln( )( 2 2 x x x axxx xf在0 x点连续。 （2）确定常数 b，使得直线9yxb为曲线 3 3yxx的切线； （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2 （3）求极限 2 3 ln(31) lim ln(21) x xx xx ； （4）求函数( )(1)ln(1)f xxx的单调区间和极值
2、； （5）求不定积分 4 d 4 x x x ； 3 （6）设 ,01, ( ) 2,1, xx f x xx 求 4 2 (2)ed x f xx ； （7）问反常积分 3 3 1 cos d (2e) 1 x x x xx 是否收敛？请说明理由； （8）求矩阵 641 452 121 的逆矩阵。 4 2 （本题满分 10 分）问方程 32 1 230 2 xx有几个实根？请说明理由。 3 （本题满分 10 分）要制作一个体积为V的圆柱形无盖铁桶，问如何确定其底面半 径和高才能用料最省？ 5 4 （本题满分 10 分）若 42 2 1 3(1)(1) lim0 (1) x xAB xC x x ，求常数A，B，C。 5 （本题满分 10 分）证明：当0 x时成立 234 111 ln 1 234 xxxxx。 6 6 （本题满分 10 分）设函数f在(,) 上有连续二阶导数，且满足方程 6 ( )( ) 140 x fxf xx。 （1）求)(xf的表达式； （2）问曲线( )yf x是否有拐点？请说明理由。 （3）是否存在函数f，它在开区间) 1, 0(上大于零，并满足上面的方程，且曲线 )(xfy （0,1x）与直线1x和0y所围的图形D的面积为 2？请说明理由。 7 7 （本题满分 10 分）证明： 1 1 0 21 1 sind 21 n n xx n （
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