高考数学专题复习（精选精讲）练习7-三视图体积习题精选

1、三视图 习题精选三视图 习题精选 1填出下列几何体的三视图 2三种视图都相同的几何体有_、_3有两种视图相同的几何体有_、_ 4请你画了下图中两个几何体的三种视图 5请你根据下图给出的俯视图，画出棱柱的主视图和左视图 6画出下图中几何体的三种视图 7下列视图中，可能是棱柱的三视图的是（） 8 （1）根据三视图，填写几何体的名称 几何体是_ （2） 几何体是_ （3） 几何体是_ （4） 几何体是_ （5） 几何体是_ 9一物体的三视图如下图所示，试画出它的草图 10如图所示，桌上放着一个杯子和一本书，则下列三个视图从左到右依次是_视图，_视图和 _视图 12将一个乒乓球，一个羽毛球和一个圆盘如

2、下图所示放在一起，你能画出它的三种视图吗？ 12如图，根据主视图和俯视图找出物体 13请画出图中所示棱柱的三视图 答案：答案： 1依次填 2答案：正方体、球 3答案：圆柱体、圆锥体 直棱柱的三视图 4答案： 5答案： 5 题图 依据几何体画三视图 6答案： 由三视图描述几何体的形状 7答案：D 8答案：（1）六棱柱 （2）圆锥 （3）圆柱 （4）三棱锥（5）底面为圆环的柱体 9答案：如图 10答案：左、俯、主 11答案：（1）c (2)d (3)b (4)e (5)f (6)a 12答案：（1）B （2）C （3）A 13答案： 第八章多面体和旋转体 一、考纲要求 1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆

3、柱、圆台、球及其有关概念和性质. 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公 式不要求记住)，并 能运用这些公式进行计算. 3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的 直观图. 4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直 截面，圆柱、圆锥、 圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的 全部顶点的其他截面的有关问题. 二、知识结构 1.几种常凸多面体间的关系 2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质 名称棱柱直棱柱正棱柱 图 形 定 义 有两个面互相平 行，

4、而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边 形的直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等 侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形 对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的 截面的形状 与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的 正多边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台 图形 定义 有一个面是多边 形，其余各面是 有一个公共顶点 的三角形的多面 体 底面是正多边形， 且顶点在底面的 射影是底面的射 影是底面和截面 之间的部分 用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥，底面和 截面之间的部分 由正棱锥截得的 棱台 侧棱 相交于一点但不 一定相等

5、相交于一点且相 等 延长线交于一点相等且延长线交 于一点 侧面的形状 三角形全等的等腰三角 形 梯形全等的等腰梯形 对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形 平行于底的截 面形状 与底面相似的多 边形 与底面相似的正 多边形 与底面相似的多 边形 与底面相似的正 多边形 其他性质 高过底面中心； 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角都 相等 两底中心连线即 高；侧棱与底面、 侧面与底面、相 邻两侧面所成角 都相等 3.几种特殊四棱柱的特殊性质 名称特殊性质 平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线 交于一点，且被该点平分 直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条 对角

6、线交于一点，且被该点平分 长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等， 交于一点，且被该点平分 正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线 相等，交于一点，且被该点平分 4.面积和体积公式 下表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长 . 名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V) 棱柱直截面周长l S底h=S直截 面h 棱 柱 直棱柱ch S侧+2S底 S底h 棱锥各侧面积之和 棱 锥正棱锥ch 2 1S侧+S底S底h 3 1 棱台各侧面面积之和 棱 台正棱台 (c+c)h 2 1S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底 3 1 +) 下底

7、下底 SS 5.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a，则这个正四面体的 (1)全面积 S全=a2；3 (2)体积 V=a3； 12 2 (3)对棱中点连线段的长 d=a； 2 2 (4)相邻两面所成的二面角 =arccos 3 1 (5)外接球半径 R=a； 4 6 (6)内切球半径 r=a. 12 6 (7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质： 如图，在直角四面体 AOCB 中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c.则 不含直角的底面 ABC

8、是锐角三角形； 直角顶点 O 在底面上的射影 H 是ABC 的垂心； 体积 V=abc； 6 1 底面ABC=； 2 1 222222 accbba S2ABC=SBHCSABC； S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC =+; 2 1 OH 2 1 a 2 1 b 2 1 c 外切球半径 R=； 2 1 222 cba 内切球半径 r= cba ABCBOCAOB S-SS 6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式 (1)面积和体积公式 圆柱圆锥圆台球 S侧2rlrl(r1+r2)l S全2r(l+r)r(l+r) (r1+r2)l+ (r21+r22) 4R2 Vr2h(即r2l)r

9、2h 3 1 3 1 h(r21+r1r2+r22) R3 3 4 表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表 示半径. (2)圆锥、圆台某些数量关系 圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. 如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为 l，高为 h，底面半径为 r，则 sin=cos = ， 2 l h +=90 2 cos=sin = . 2 l r 圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为 l，高为 h，上、下底面半径分别 为 r 、r，则 h=lsin r-r=lcos. 球的截面 用一个平面去截一个球，截

10、面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面. (3)球心和截面距离 d,球半径 R，截面半径 r 有关系： r=. 22 d-R (3)球冠、球带和球缺 球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一 段叫做相应球冠的高. 球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面. 球冠的面积公式 若球的半径为 R，球冠的高为 h，则 S球冠=2Rh 其中 h 表示球冠的高，R 是球冠所在的球的半径. 球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.

11、球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面. 球带的面积公式 若球的半径为 R，球带的高为 h，则 S球带=2Rh 球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫 做球缺的高. 球缺的体积公式 若球的半径为 R，球缺的高 h，底面半径为 r，则 V球缺=h2(3R-h)= h(3r2+h2) 3 1 6 1 三、知识点、能力点提示 (一)多面体 例 1例 1 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱 柱分成体积为 V1、V2的两部分，那么 V1V2= _. 解：设三棱柱

12、的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2Sh. E、F 分别为 AB、AC 的中点， SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh， V1 4 1 3 1 4 1 4 1 S 12 7 12 5 V2=75. 例 2例 2 一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 2(xy+yz+zx)=20 依题意得： 4(x+y+Z)=24 由2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 由-得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 l=4(cm

13、). 例 3例 3 如图，正三棱锥 SABC 的侧棱和底面 边长相等，如果 E、F 分别为 AB、SC 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成 的角等于( ) A.90 B.60 C .450 D.30 解：取 AC 的中点 G，连结 FG，EGFGSA GFE 为异面直线 EF 与 SA 所成的角.正三棱锥的棱长为 1，则 GF=GE=.顶点到 A、B、C 等距，ABC 等边 2 1 顶点在底面 ABC 的射影 O 是ABC 的中心，从而 SA 在底面上的射影BCSABC，即“正三 棱锥中两相对 棱垂直”. FGE=90.tgEFG=1,EFG=45.应选 C. GF EG 例 4例 4

14、 设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为，那么它的体 积为( )5 A.6 B.2 C. D.2333 解：由已知可得正六棱锥的底面积 S=6 4 3 设正六棱锥的高为 h，则 h=2.V=2=.应选 C. 22 1)5( 3 1 4 36 3 例 5例 5 如果三棱锥 SABC 的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等，且顶点 S 在底面的射影 O 在ABC 内，那么 O 是ABC 的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D .内心 解：作 OEAB，OFBC，OMCA SEO=SFO=SMO,SEOSFOSMO.OE=OF=OM. O 为ABC 的内心，应选 D. 例 6例 6

15、在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 和 N 分别为A1B1和 BB1的中点，那 么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 2 3 10 10 5 3 5 2 解：如图，设 P 为 AA1的中点，Q 为 A1M 的中点，则 DPCN，PQAM， DPQ 是异面直线 AM 和 CN 的成角. 在DPQ 中，DP= =， 22 APDA 22 ) 5 1 (1 2 5 PQ=AM=，DQ=. 2 1 2 1 2 5 4 5 2 1 2 1 QADA 2 1 2 11 2 1 QAADDD 4 33 由余弦定理得 cosDPQ=-. PQDP 2 DQ

16、-PQDP 222 4 5 2 5 2 ) 4 33 () 4 5 () 2 5 ( 222 5 2 又异面直线所成的角的范围是（0，90）.直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是.应选 D. 5 2 例 7例 7 已知三棱锥 ABCD 的体积是 V，棱 BC 的长是 a，面 ABC 和面 DBC 的面积分别是 S1和 S2.设面 ABC 和面 DBC 所成的二面角是，那么 sin=_. 解：如图，作 AO面 BCD 于 O，作 OEBC 于 E，连结 AE. 由 V=AOS2， 3 1 得 AO=又 S1=AEBC，得 AE=由三垂线定理知，AEBC， 2 3 S V a S12 AEO 是

17、二面角 ABCD 的平面角.即AEO=，sin=sinAEO=. AE AO 21 2 3 SS V 例 8例 8 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥 一定不是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥解：该棱锥一定不是正六棱锥. 否则设正棱锥 SABCDEF 符合题设，则在SAB 和OAB 中(O 为顶点 S 在底面的射影)， SA=SB=AB=OA=OB,SABOAB 但OAB 是SAB 在底面的射影，不可能. 应选 D. 例 9例 9 如图，A1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA= 90，点 D1 、F1分别是 A1B1、A1C1的中 点，若 BC=CA=CC1，则 B

18、D1与 AF1所成的角的余 弦值是( ) A. B. C. D. 10 30 2 1 10 30 10 15 解：设 BC=CA=CC1=1.取 BC 中点 E，连结 EF、D1F，则 EFBD1EFA 为 BD1和 AF 所成的角. 易知 FE=D1B= =. 2 11 2 1 DBBB 22 ) 2 2 (1 2 6 由BCA=90，得 AE=. 22 CEAC 22 ) 2 1 (1 2 5 AF= =1 2 11 FAAA 22 ) 2 1 (1 2 5 由余弦定理有 cosEFA= = FAEF 2 AE-FAEF 222 2 5 2 6 2 ) 2 5 () 2 5 () 2 6

19、( 222 = 即 BD1和 AF1成角的余弦值是.应选 A. 10 30 10 30 例 10例 10 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) A.必然都是非直角三角形 B.至多只能有一个是直角三角形 C.至多只能有二个直角三角形 D.可能都是直角三角形 解：如图，三棱锥 PABC 中，ABC=90，PA面 ABC. 则 PAAC，PAAB，PAC 和PAB 都是直角三角形.又ACB=90，即 ACBC， PCCB，即PCB=90，PCB 也是直角三角形.应选 D. 例 11例 11 侧棱长为 3cm，底面边长为 4cm 的正四棱锥的体积为_cm3. 解：由已知有底面对

20、角线长为 4cm.h=1(cm)V=hS= (cm)32 22 )22(3 3 1 3 1 3 16 例 12例 12 已知长方体 ABCDABCD中，棱 AA=5，AB=12，那么直 线 BC和平面 ABCD的距离是 _. 解：如 图 BCBC，BC面 AC，BC面 AC，BC面 AC. 点 B 到平面 ABCD的距离即直线 BC到平面 ABCD的距离. 作 BHAB 于 H， 又 CB面 AABB，BH面 AABB，BH面 AB，所 以 BHCB，从而 BH平 面 ABCD.BHAB=BABB， BH=即直线 BC到平面 ABCD的距离是. BA BBAB 13 512 13 60 13

21、60 (二)旋转体 例 13例 13 如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R， 中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比 为 1：2，那么 R=( )A.10 B.15 C.20 D.25 解 D. 例 14例 14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为 3，4，5，且它的 8 个顶点都在 同一球面上，这个球的 表面积是 ( )A.20 B.25 C.50 D.200 22 解：设长方体的对角线长为 l，球半径为 R，由已知及对称性知 l=2R, l=5，得 R=.S球=4R2=50应选 C. 222 5432 2 5 2 例 15例 15 若母线长为 4 的圆锥的轴截面的面积为

22、8,则圆锥的侧面积为_(结果中保留). 解：设轴截面为SAB，则 SA=SB=4,SSAB=8=SASBsinSBA，得 sinASB=1， 2 1 ASB=90，AB=SA=4,22 S侧=rl=()SA=24=8. 2 AB 22 例 16例 16 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体 积是 16cm3，那么它的底半径等于( )A.4cm 3 2 B.4cm C.2cm D.2cm 3 2 解：16=r2(2r)=2r3，得 r=2(cm)应选 D. 例 17例 17 圆柱轴截面的周长 1 为定值，那么圆柱体积的最 大值是( ) A.()3 B.()3 C.()3 D. ()3

23、6 1 3 1 4 1 4 1 4 1 解：设 r 为底半径，l 为母线. 由 4r+2l=1，得 l=V=r2l=(2r)(2r)(2l)()3 2 4r-1 8 1 8 1 3 2l2r2r =()3=()3=()3 .等号仅当 2r=2l 即 r=l=时成立.应选 A. 8 1 3 2l4r 8 1 3 1 6 1 6 1 例 18例 18 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥 顶点到 直线 AB 的 距离为， AB 和圆3 锥的轴的距离为 1,则该圆锥的体积为_. 解：如图 O 为底面圆心，OCAB 于 C.由 OA=OB 得 C 为 AB 中点，由 SA=SB，C 为

24、AB 中点得 SCAB 于 C. OC=1,SC=,AC=CB=1, SO=，3 22 OC-SO 22 1)3(2 OB= = .V=OB2SO= ()2=. 22 BCOC 2 3 1 3 1 2 3 22 例 19例 19 在一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边 长为 10 厘米的等边三角 形，现要在它的整个表面镀上一 层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为 0.1 元，则需要费 用_元(取 3.2). 解：设圆锥的底半径为 r,由已知有 r=5cm,母线长为 10cm. S全=52+510=75240(cm2)工料价为 2400.1=24 元. . 例 20例 20 圆锥母线长为 l，

25、侧面展开圆心角为 240，该 圆锥的体积是( ) A. B. C. D. 81 22 81 8 81 54 81 10 解：设圆锥底半径为 r，由已知有 240=，得 r= . 3 4 l r2 3 2 h=.V=r2h=()2=应选 C. 22 r-l 22 ) 3 2 (l 3 5 3 1 3 1 3 2 3 5 81 54 (三)综合题赏析 例 21例 21 如图，平面和相交于直线 MN，点 A 在平面上，点B 在平面上， 点 C 在直线 MN 上，ACM=BCN =45，A-MN-B 是 60的二面角，AC=1. 求：(1)点 A 到平面的距离； (2)二面角 ABCM 的大小. 解：

26、(1)作 AH平 面于 H，HDMN 于 D，连结 AD，则 ADMN 于 D，故ADH 是二面角 AMNB 的平面角，所以ADH=60. 在 RtACD 中，ACD=45，ADC=90，AD=AC=1=. 2 2 2 2 2 2 在 RtADH 中，AH=ADsinADH=sin60即点 A 到平面的距离是， 2 2 4 6 (2)设二面角 ABCM 为度，在等腰 RtADC 中，由斜边 AC=1，得 DC=AD= 2 2 在 RtADH 中，DH= =在 RtDHC 中，HC= = 22 AH-AD 4 2 22 DHCD 4 10 作 HE直线 BC 于 E，则AEH 是二面角 ABCM

27、 的平面角. HCB =180-(HCD+BCN)=180-HCD-45， sinHCE=sin(45+HCD)=(sinHCD+cosHCD)= 2 2 HC2 DC)(DH2 4HC 3 HE=HCsinHCE=tgAEH=.即=arctg为所求. 4 3 HE AH 3 6 3 6 例 22例 22 如图，ABCD 是边长为 4 的 正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC 垂直平面 ABCD，GC=2. 求点 B 到平面 EFG 的距离. 解：连 GB、GE、GF、FE、FB，设点 B 到面 EFG 的距离为 d. VBEFG=dSGFE. VBEFG=VG-BEF=GCSBE

28、F=BEF 3 1 3 1 3 2 d=SBEF=ABF=(AFAB)=2, EFG BEF S SGC EFG BEF S S 2 2 1 2 1 2 1 在EFG 中，GF=GE=2,EF=2,故它的周长之 半 P=(EF+FG+GE)=2+2 22 CFGC 62 2 1 6 SEFG= P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=2GE)-EF)(P-EF)(P-P(P11 d=.即点 B 到平面 EFG 的距离是 2 112 22 11 112 11 例 23例 23 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90，BAC=30， BC=1,AA1=,M 是6 CC的中点. 求证

29、：AB1A1M 证明：由题设知 B1C1A1C1，B1C1C1CB1C1侧面 A1ACC1. 连 C1A，则 C1A 是 B1A 在面 A1ACC1上的射影.设 AC1 与 A1M 交于点 D. 在 RtA1B1C1中，B1C1=1,B1A1C1=BAC=30，得 A1 C1= .=3 11 1 CA AA 3 6 2 在 RtA1C1M 中，=，又AA1C1=A1C1M=90， 1 11 MC CA 6 6 3 2 11 1 CA AA 1 11 MC CA AA1C1A1C1M,得3=4 由 AA1CC1，得1=2，C1DM=C1A1A90，AC1A1M. 由三垂线定理，得 AB1A1M.

30、 例 24例 24 如图，圆锥的轴截面为 等腰 RtSAB，Q 为底面圆周上一点. (1)若 QB 的中点为 C，OHSC，求证 OH平面 SBQ； (2)如果AOQ=60，QB=2，求此圆锥的体积；3 (3)如果二面角 ASBQ 的大小为 arctg，求 AOQ 的大小. 3 6 解：(1)连 OC.SQ=SB，OQ=OB,QC=CB，QBSC，QBOC，得 OB面 SOC. OH面 SOC，得 QBOH，又 OHSC，OH面 SQB. (2)连 AQ.Q 为底面圆周上的一点，AB 为直径，AQQB 在 RtAQB 中，QBA=30，QB=23 AB=4SAB 是等腰直角三角形.SO=AB=

31、2，V圆锥=OA2SO= 30cos 32 2 1 3 1 3 8 (3)过 Q 作 QMAB 于 M.由于面 SAB面 ABQ， 得 QM面 SAB.作 MPSB 于 P， 连 PQ， 则由三垂线定理知 QPSB. MPQ 是二面角 ASBQ 的平面角.MPQ=arctg为已知，设圆锥底半径为 r,AOQ=， 3 6 在 RtMPB 中，PBM=45，MB=r(1+cos)，MP=r(1+cos)tgMPQ=， 2 2 3 6 =,即=.即 tg=，故 )cos1 ( 2 2 sin r R 3 6 cos1 sin 3 3 2 3 3 AOQ=60 例 25例 25 如图，A1B1C1 A

32、BC 是正三棱柱，D 是 AC 中点. (1)证明 AB1平面 DBC1； (2)假设 AB1BC1，求以 BC1为棱、以 DBC1与 CBC1为面的二面角 的度数. 证明 ： (1)由于 A1B1C1ABC 是正三棱柱， 故四边形 B1BCC1是矩形连 B1C 交 BC1于 E， 则 B1E=EC,连 DE.在AB1C 中， AD=DC， 得 DEAB1 又 AB1面 DBC1， DE 面 DBC1， AB1平面 DBC1. (2)作 DFBC 于 F，则 DF面 B1BCC1；连 EF，则 EF 是 ED 在面 B1BCC1上的射影. AB1B1C1，又由(1)知，AB1DE，DEBC1，

33、从而 BC1EF DEF 是二面角的平面角.设 AC=1,则 DC=.ABC 是正三角形. 2 1 在 RtDCF 中，DF=DCsinC=，CF=DCcosC=. 4 3 4 1 取 BC 中点 G，因 BE=EC，故 EGBC.在 RtBEF 中，EF2=BFGF，又 BF=BC-FC=,GF=. 4 3 4 1 EF2=，得 EF=tgDEF=1.DEF=45 4 3 2 1 4 3 EF DF 4 3 4 3 即二面角为 45. 例 26例 26 如图，梯形 ABCD 中，ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a, 2 ADC=arcsin,PA面 ABCD,PA=a 求:(1)二面角

34、 PCDA 的大小(用 5 5 反三角函数表示)： (2)点 A 到平面 PBC 的距离. 解：(1)作 AE直线 CD 于 E 连 PE.由 PA面 ABCD 据三垂线定理知 PECD. PEA 是二面角 PCDA 的平面角.在 RtAED 中,AD=3a,ADE=arcsin. 5 5 AE=ADsinADE=a 在 RtPAE,中 tgPEA=.PEA=arctg 5 53 AE PA 3 5 3 5 即二面角 PCDA 的大小为 arctg. 3 5 (2)作 AHPB 于 H 由 PA面 ABCD,得 PBBC.又 ABBC,得 BC面 PAB 得 BCAH AH面 PBC，AH 的

35、长为点 A 到面 PBC 的距离在等腰 RtPAB 中,AH=a. 2 2 点 A 到平面 PBC 的距离是a 2 2 例 27例 27 如图，已知 RtABC 的两直角边 AC=2、BC=3，P 为 斜边 AB 上一点，现沿 C P 将此直三角形析成直二面角 APCB，AB=，求二面角7 PACB 的大小. 解：由已知 ACPB 是直二面角，作 BDCP 于 D，则 BD平面 ACP 作 DEAC 于 E， 则 BEAC，BED 是二面角 PACB 的平面角.作 AFDC 于 F，连 BF，则AFB=.设ACP=，则BCP=-， 2 2 在 RtAFB 中 AB2=AF2+FB2=AF2+D

36、B2+DF2=7AF=2sin,CF=2cosBD=3sin(90-)-3cosCD=3sin(90-)-3cos DF=CD-CF=3sin-2cos(2sin)2+(3cos)2+(3sin-2cos )2=7 解得=.在 RtBED 中 DE=CDsin 4 =3sin2=.tgBED=.BED=arctg即二面角 PACB 的大小是 arctg 2 3 DE BD 222 例 28例 28 设三棱锥 SABC 的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC 长为 10，三棱锥的侧棱 SA=SB=SC=13，求： (1)顶点 S 到底面的距离； (2)侧棱 SB 与底面所有角的大小

37、(用反三角函数表示)； (3)二面角 ASBC 的大小(用反三角函数表示)； 解：如图 (1)作 SO底面 ABC，由已知 SA=SB=SC 知，O 为底面ABC 的外心， 又ABC 为直角三角形，故 O 为斜边 AC 的中点. SO=12.即顶点 S 到底面的距离是 22 AO-SA 22 5-13 12. (2)SOB 是 SB 与底面 ABC 所成的角.COB=arcsin=arcsin SB SO 13 12 (3)作 ADSB 于 D，连结 CD.SBAD,SBAC.SB平面 ADCCDSB,ADC 是二面角 ASBC 的平面角. 易得 AB=BC=5AD=DC=2 13 3135

38、ADC=arccos(-) 313 25 即二面角 ASBC 的大小是 arccos(-). 313 25 例 29例 29 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB=5. AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD=. 3 (1)求证：顶点 A1在底面 ABCD 的射影 O 在BAD 的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积 V. 解：(1)连 A1O，则 A1O底面，作 OMAB 于 M，ONAD 于 N，连 AM，AN，A O，由三垂线定理得 A1MAB，A1N AD 又A1AM=A1AN. RtA1NARtA1MAA1M=A1N,得 OM=ON.点 O 在BAD 的

39、平分线上(2)V=30 2 用等体积法解点到面的距离和体积立几题 立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立体几何题需要我 们的看图、读图、绘图能力；也需要我们的转化能力及空间想象能力.因此许多同学学习起感觉到很困难很 麻烦，导致在高考中失分较多，影响考试的成绩。纵观近年的高考,我们不难发现，在立体几何的考试中， 经常考查到求点到面的距离和体积的问题，而这些问题的解决有时借助常规的方法并不能轻松地获得结果. 这时如果能想到等体积法，则可以给你一种“柳暗花明又一村”的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到 这种方法带给我们的好处。 （一） 用等体积法求点到平面的距

40、离 【2005 赣文（理）20】如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2， 点 E 在棱 AB 上移动 (1) 证明：D1EA1D； (2) 当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1的距离； (3) AE 等于何值时，二面角 D1ECD 的大小为 4 (1)， （3）略 （）解：设点到平面D1的距离为 h，在D1中，D1，2 D1， 故， 而 5 S CAD1 2 1 52 2 1 2 3 sACE BCAE 2 1 2 1 h=, 3 1 3 1 1 1 1 hDD SSV CADAECAECD , 2 3 1 2 1 h 3 1 【04 年文（21）理（20） 】如图，已知四棱锥 PABCD ，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底 面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。 （）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。 （）解：取 AD 的中点 E，连结 PE，BE。 PAD 为等边三角形 PEAD 又PBAD AD平面 PBE ADBE PEB