高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数的最值习题精选精讲

1、三角函数的值域或最值 常见的三角函数最值的基本类型有： （1）y=asinx+b（或 y=acosx+b）型，利用，即可求解，此时必须注意字母 a 的符号对最值的影响。1cos1sinxx或 （ 2 ） y=asinx+bcosx 型 ， 引 入 辅 助 角 ， 化 为 y=sin （ x+） , 利 用 函 数即 可 求 解 。 Y=asin 22 ba 1sinx 2 x+bsinxcosx+mcosx+n 型亦可以化为此类。 2 （3）y=asinx+bsinx+c（或 y=acosx+bcosx+c） ，型，可令 t=sinx（t=cosx）,-1t1,化归为闭区间上二次函数的最值问题

2、。 22 （4）Y=（或 y=）型，解出 sinx（或 cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。 dxc bxa sin sin dx bxa cos cos 1cos1sinxx或 （5）y=（y=）型，可化归为 sin（x+）g（y）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当 a=c 时，还 dxc bxa cos sin dxc bxa sin cos 可利用数形结合的方法去处理上。 （6）对于含有 sinxcosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令 sinxcosx=t,将 sinxcosx 转化为 t 的函数关系式，2t 从而化为二次函数的最值问题。 一、

3、利用三角函数的有界性 求 解 这 类 问 题 ， 首 先 利 用 有 关 三 角 函 数 公 式 化 为的 形 式 在 化 简 过 程 中 常 常 用 到 公 式 ：sin()yAxk+ 22 sincossin(),tan, b axbxx a ab 其中 由及点(a,b)的位置确定. 例 1 、(2000 年高考)已知：求的最大值及此时的集合 2 1 2 3 sincos1 2 sin yxxxxR，yx 解：，当时， 2 1 2 3 sincos1 2 sin yxxx 1 cos2315 sin21sin(2) 44264 x xx sin(2)1 6 x 此时，即 max 157 2

4、44 y 22 62 xk ， 6 xk 所以的最大值为，此时的集合为y 7 4 x | 6 x xkkZ ， 例 2、求函数的值域 1 cos 3cos x y x 解： ，由得 1 cos 3cos x y x (1)cos2yx 2 cos 1 x y |cos| 1x 2 | 1 1y ， ，解得，所以函数的值域是|1| 2y即31yy 或 1 cos 3cos x y x 31 （，+ ） 二、利用二次函数最值性质 求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为的形式 2 sin sin yxbxc a 例 3、求函数的值域 2 78cos2, 6 3 sin yxxx ， 解 ：， ，

5、 2 78cos2sinyxx 2 78cos2(1) cos xx 2 23, (cos2)x , 6 3 x 1 cos1 2 x， 3 1 2 y ， 例 4、 （90 年高考）求函数的最小值 sin cossincosyxxxx 解：设则，所以，当sincosxxt ，22t ， 2 1 sin cos 2 xx t ( )yf t 2 1 1, 2 (1)t (2,2)t 时，有最小值1 22t ，y1 三、利用均值不等式* 利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等 例 6、当时，求的最大值0 x sin 2cos x y x 解：设（当且仅当

6、时取等号） 。所以 2 223 tan0,(0), 232 3 3 xtt txy t t 则tan3 2 x t sin 2cos x y x 的最大值为 3 3 四、利用判别式 例 7、求函数的值域 3sin 2cos x yxR x ， 解：当时，2xk，(kz)0y 当时，设，则，即，由2xk，(kz)0y tan 2 x tR 2 22 2 2 3 12 3 13 2 1 t t y t tt t 2 2 330yty t 得， 2 0 430 (2 3) y yy 110yy ，且 由得函数的值域为 11 ， 五、利用数形结合* 形如的函数最值问题，可以看成是连接两点的直线的斜率的

7、最值问题 sin cos nxq y mxp (cos , sin ), ( , )A mx nx B p q 例 8，求函数的最大值和最小值 sin 2cos x yxR x ， 解：本题可转化为圆上动点与定点 A（-2，0）连线的斜率(cossin )Mxx， 的最大值和最小 值如图， 当 MA 与O 相切时取得斜率最小值， 当 PA 与O 相切时取得斜率最大值， 由平面几何知 识可得=，即 MA 的斜率=， PA 的斜率=，tanOAPtanOAM 3 3 3 3 3 3 所以函数 的最大值和最小值分别为、 sin 2cos x yxR x ， 3 3 3 3 例 1：已知,f（） =s

8、in(cos)的最大值为 a,最小值为 b，g()=cos(sin)的最大值为 c,最小值为 d,则 a,b,c,d 的大小顺序, 0 cosx，sinx y x O A（-2，0） P M 为 。 0cos1,1,sin cossin1,sin1 2 2 sin1,sin1, 0sin0,10,cos sincos1,1 2 1,cos1sin1 ab cdabdac 分析：， ， 例 2：函数 f(x)=cosx+sinx 在区间上的最小值是什么？ 2 , 4 4 2 2 2 min sinsin1, 2 , 4 42 15 1 24 212 22 f xxx x f xttt tf x

9、分析：化为 2 ,设t =si nx- 2 时， 例 3 求函数 f()=的最大值与最小值是什么？ 2cos 1 Sin 2 sincos1 21sin1 2tanyyyyy si n -1 分析：法一：设y=f=, 去分母整理化为 cos -2 2 1 24 sin10 3 1 y y y 22 A 2,1B cos ,sin B cos ,sin1 f xy si n -1 法二：可看作经过两点、 cos -2 的直线的斜率，点在单位圆：上运动， 由图可知当直线 AB 处于 L1 的位置时，斜率取最小值 0，当直线处于 L2 的位置时，斜率取最大值。所以 4 3 4 0 3 f 例 4、函

10、数 f(x)=的最大值是，最小值是 2sin 1sin3 x x maxmin 3 sin2772 34, sin2sin23 3sin11 2 sin1,1 sin23 22 ,44 33 x f x xx xy yf xx xy yy 分析：与上例不同。法一：分离常数法： 法二：设 即f x 的最大值是 ，最小值是 例 5、求 y=的最值？ xx xx cossin1 cossin 2 maxmin sincos,2sin2,21 4 112121 sin cos, 2222 xxttxt tt xxyyy 分析：设则但 例 6、已知 f(x)=2cosx+sin2x+a,若 x2,求 a

11、 的取值范围。 2 3)(, 2 , 0 xf且 2 2cos3sin2 1 cos23sin2 2sin 21 6 7 0,212sin 22 26666 22222sin 212 6 1 2sin 2 16 2 32sin 2 6 f xxxa xxa xa xxx f xf xxa ax a a ax 分析： 又 2, 1a 即 注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。 高考中的三角函数最值问题解析 三角函数的最值是高考重点考查的内容，求与三角函数有关的最大值、最小值是高考的热点题目。在高考中，主要以选择题、填空题为

12、主，有时也可是解答题的一部分。解答时，要注意灵活运用三角函数的有界性及三角变换。 解析 1 应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例 1 函数 y的值域是（ ）。 x x x x x x x x cot |cot| |tan| tan cos |cos| |sin| sin A.2，4B.2，0，4C.2，0，2，4D.4，2，0，4(90 全国) 解析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。当 x 在第一象限时，函数值为 4；当 x 在第二象限时，函数值为-2； 当 x 在第三象限时，函数值为 0；当 x 在第四象限时，函数值为-2；所以选择 B。 解析 2 直接应用

13、三角函数的有界性解题 例 2 设 M 和 m 分别表示函数的最大值和最小值，则 M+m 等于（ ） （A）（B）（C） （D）-2（2003 北京1cos 3 1 xy 3 2 3 2 3 4 春季） 解析：由于 y=cosx 的最大值与最小值分别为 1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,即 M+m+1cos 3 1 xy 3 2 3 4 3 2 （）=-2,选 D. 3 4 练习：函数 f(x)Msin(x)(0)在区间a，b上是增函数，且 f(a)M，f(b)M，则函数 g(x)Mcos(x)区间a，b 上 。(99 全国) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可

14、以取得最小值M（参考答案 C） 例 3 已知函数，求 f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。(2003 春季) x xx xf 2cos 1cos5cos6 )( 24 分析：本题主要是考查三角函数的基本知识，考查三角变换能力，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 解：由 cos2x0 得，解得，kZ。 2 2 kx 42 k x 所以 f(x)的定义域为 x|xR 且， kZ。 42 k x 因为 f(x)的定义域关于原点对称，且 ， 所以 f(x)是偶函数。 又当（kZ）时， ， 42 k x 3cos2x-1 x xx x xx xf 2cos ) 1cos3)(1cos2(

15、 2cos 1cos5cos6 )( 2224 =，所以 f(x )的值域为y|-1y或0 时，那么当时，)(xfy ),()()(yfxfyxf 1)( xf0 x 一定有（ ）. A、1)( xfB、0)(1 xfC、1)( xfD、1)(0 xf 分析 令 x = y =0,得 f (0) = f(0)f(0), 又，所以 f (0) =1; 再令 y = - x , 得(0)0f f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设 x 0, 由已知得( )0f x xR f (- x) 1, 所以 0 0,则 2 33 1 1 sincos 1sin2 2 r 得 ，又，

16、所以的取值范围是2，6 2 26r 222 xyr 22 xy 5 函数的图象如图所示，其定义域为)(xfy -4，4，那么不等式的解集为0 sin )( x xf 。 分析 函数 y = sinx 在区间 或上取正值，在区间4,0, 或上取负值，,0,4 在数轴上分别标出函数 f (x), sinx 在区间-4，4上的零点， 0 4-4 -2-3.14 13.14 - +-+ - + 容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意 f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉 sinx 的零点，于是的 ( ) sin f x x 0 sin )( x xf 解集为 . 4,2,01,4 6非等边

17、三角形ABC的外接圆半径为 2，最长的边，求的取值范围.2 3BC sinsinBC 解：由正弦定理 得r SinA BC 2 2 3 sinA BC 是最长边，且三角形为非等边三角形 3 2 A ) 3 sin(sinsinsinBBcB , 又 , 13 sincos 22 BBsin() 3 B 3 0 B 2 333 B 3 sin()1 23 B 故 的取值范围为cBsinsin 3 (,1 2 7 如图， 已知在等边ABC 中， AB3， O 为中心， 过O 的直线交AB 于M， AC 于N， 设AOM(60120)， 当分别为何值时， ONOM 11 取得最大值和最小值 解：由题

18、意可知：OAM30，则AMO180（30） 由正弦定理得：， AMO OA sin30sin OM 又 OA= 3 3 2 3 2 3 )30sin(2 3 OM 同理： )30sin(2 3 ON )cos 2 1 sin 2 3 cos 2 1 sin 2 3 ( 3 2 3 )30sin(2 3 )30sin(211 ONOM sin2 60120，2sin23 故当60或 120时，的最小值为； ONOM 11 3 当90时，的最大值为2 ONOM 11 8在锐角中，角 A、B、C 成等差数列，ABC 2 13 )2cos1)(2cos1 ( CA （）证明：；（）试比较与的大小，并说明理由。 1 coscos()cos() 2 cosACACACba2c3 分析（）证明 CACACAcoscos2)cos()cos( （）解