经济数学微积分 6-8

1、,一、由边际函数求原函数,二、由变化率求总量,第八节 定积分的经济应用,三、收益流的现值和将来值,一、由边际函数求原函数,设经济应用函数u(x)的边际函数为u(x)， 则,于是,例1 已知边际成本为 ,固定成本为1000,求总成本函数,解：,另解：,先求不定积分,例2 设边际收益函数为R(x)=78-2x (x为产量，x0), 求收益函数R(x)。,解：R(0)=0,二、由变化率求总量,解 (1),例3 某工厂生产某商品在时刻 t 的总产量的变化率为 x(t ) = 100 + 12t (单位小时)。求(1) 生产4小时时的总产量；(2)这4小时中后两个小时的产量。,=496(单位),=272

2、(单位),例4 生产某产品的边际成本为 C(x)=150-0.2x.当 产量由200增加到300时，需追加的成本为多少？,解：追加的成本,例5 在某地区消费者个人收入为x元时消费支出W的 变化率为W(x)= .当个人收入由900增加到1600时， 消费支出会增加多少？,解：,三、收益流的现值和将来值,收益若是连续地获得，则收益被看作是一种随 时间连续变化的收益流。,收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。,将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。,收益流对时间的变化率。,收益流,收益流量,收益流 将来值,收益流 现 值,货

3、币资金未来的价值，即一定量的资金在将来 某一时点的价值，表现为本利和。,将来值,货币资金现在的价值，即将来某一时点的一定 量的资金折合成现在的价值。,现 值,收益现值,总 现 值,分析：,若有一笔收益流的收益流量为p( t )(元/年)，考虑从现在开始(t = 0)到T 年后这一段时间段的将来值和现值(以连续复利率计息),在区间0,T内任取一小区间t, t+dt，在t, t+dt 内所获得的金额近似为 p( t )dt，从t = 0开始， p( t )dt这一金额在 t 年后的将来获得，从而在 t, t+dt内,收益流的将来值,总的将来值,对于将来值，p( t )dt在T-t 年获得利息，从而

4、在t, t+dt内,例6 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益流量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.,解:,现值,将来值,864.66(元),6 389.06(元),四、 小结,由边际函数求原函数,由变化率求总量,收益流的现值和将来值,思考题,思考题解答,练 习 题,一、已知边际成本为C(x) =30+4x，边际收益为 R(x) =60-2x ，求最大利润。(假定固定成本为零),解：,当边际收益等于边际成本时，取得最大利润，,即R (x) = C (x)，,60-2x =30+4x,x = 5,最大利润为：,另解：,成本函数为,最大利润为：,收益函数为,利润函数为,当产量x=

5、5,取得最大 利润,如果再增产一个 单位，利润会怎样？,二、已知某产品生产x个单位时总收益R的变化率为 试求(1)生产100个单位时的总收益； (2)再继续生产100个单位，增加的总收益。,解：(1),= 19950(单位),= 19850(单位),三、某地区居民购买冰箱的消费支出W(x)的变化率 的居民消费支出x总收入的函数， ， 当收入由4亿元增加到9亿元时，购买冰箱的消费支出 增加多少？,解：,=0.01(亿元),即当地居民购买冰箱的消费支出增加0.01亿元。,四、设某商品从时刻0到时刻t的销售量为 x ( t ) = kt，t0,T, k0,欲在时刻T将数量A的该商品销售完，试求(1) t时刻的商品剩余量，并确定k值； (2)在时间段 0,T上的平均剩余量。,（2003年研究生入学考试试题）,解 (1)商品剩余量是时刻t的函数，记为y(t),即 y(t)=A-x(t)=